10.1 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ออกจากบ้านเดินไปทางทิศตะวันออก 400 เมตร แล้วเลี้ยวซ้ายเดินขึ้นทิศเหนืออีก 300 เมตรก็ถึงโรงเรียน ถ้ามีทางเดินตรงจากบ้านไปโรงเรียน ทางนั้นยาวกี่เมตร

ตอบ 700 เมตรไม่ได้ เพราะทางตรงต้องสั้นกว่าทางที่เลี้ยว ถ้าวาดรูปย่อส่วนให้แม่นแล้วเอาไม้บรรทัดวัดก็พอได้คำตอบ แต่ช้าและคลาดเคลื่อนง่าย ทางที่เดินกับทางตรงประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมฉากหนึ่งมุม หน้านี้จะหาความสัมพันธ์ของด้านทั้งสามของรูปแบบนี้ แล้วหน้า 10.2 จะกลับมาตอบคำถามนี้ด้วยการคำนวณ

ส่วนต่างๆ ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

มุม C เป็นมุมฉาก ด้าน c อยู่ตรงข้ามมุมฉาก

นิยาม

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ด้านประกอบมุมฉาก คือด้านสองด้านที่เป็นแขนของมุมฉาก ในรูปคือ $a$ และ $b$
ด้านตรงข้ามมุมฉาก คือด้านที่อยู่ตรงข้ามกับมุมฉาก ในรูปคือ $c$ ด้านนี้ยาวที่สุดเสมอ

หนังสือเรียนนิยมตั้งชื่อด้านด้วยตัวพิมพ์เล็กของมุมที่อยู่ตรงข้าม ด้าน $a$ อยู่ตรงข้ามมุม $A$ ด้าน $c$ อยู่ตรงข้ามมุม $C$ แต่โจทย์ไม่จำเป็นต้องให้มุมฉากอยู่ที่ $C$ เสมอ จึงต้องหาให้เป็นว่าด้านไหนอยู่ตรงข้ามมุมฉาก

ตัวอย่าง 1

บอกด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้

(1) รูปสามเหลี่ยม $PQR$ มีมุม $R$ เป็นมุมฉาก (2) รูปสามเหลี่ยม $XYZ$ มีมุม $X$ เป็นมุมฉาก

ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมใด คือด้านที่ไม่มีชื่อของมุมนั้นอยู่ในชื่อด้าน
มุม $R$ เป็นมุมฉาก ด้านที่ไม่มีตัว $R$ คือ $PQ$ จึงเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ส่วน $PR$ กับ $QR$ เป็นด้านประกอบมุมฉาก
มุม $X$ เป็นมุมฉาก ด้านที่ไม่มีตัว $X$ คือ $YZ$ จึงเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก ส่วน $XY$ กับ $XZ$ เป็นด้านประกอบมุมฉาก

สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านทั้งสาม

นักคณิตศาสตร์กรีกโบราณไม่ได้มองความยาวของด้านตรงๆ แต่สร้างสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนแต่ละด้าน แล้วเทียบพื้นที่ สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านที่ยาว $a$ มีพื้นที่ $a^2$ บนด้าน $b$ มีพื้นที่ $b^2$ และบนด้าน $c$ มีพื้นที่ $c^2$

ก่อนลากจุด ลองเดาก่อนว่าพื้นที่ $c^2$ จะสัมพันธ์กับ $a^2$ และ $b^2$ อย่างไร แล้วลากจุด $A$ ขึ้นลงและจุด $B$ ซ้ายขวา ดูว่าเดาถูกไหม

ลากจุดสีส้ม $A$ และ $B$ ความยาวด้าน $a$ และ $b$ เปลี่ยนทีละ 1 หน่วย ตัวเลขในสี่เหลี่ยมคือพื้นที่

ทุกตำแหน่งที่ลากไป พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสสีส้มบนด้าน $c$ เท่ากับพื้นที่ของสองรูปที่เหลือรวมกันพอดี เครื่องคำนวณพื้นที่ให้ก็จริง แต่ตรวจเองได้ด้วยการนับช่องตาราง

ตัวอย่าง 2

รูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่ $a = 4$ และ $b = 3$ หน่วย สี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้าน $c$ วางเอียงอยู่ นับช่องตรงๆ ไม่ได้ จงหาพื้นที่ของมันจากตาราง

สี่เหลี่ยมจัตุรัสเอียงรูปนี้มีจุดยอดอยู่ที่ $(4, 0)$ $(0, 3)$ $(3, 7)$ และ $(7, 4)$ ล้อมมันด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสตั้งตรงด้านยาว $3 + 4 = 7$ หน่วย มีพื้นที่ $49$ ตารางหน่วย
ส่วนที่เกินมาคือรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มุมทั้งสี่ ทุกรูปมีด้านประกอบมุมฉากยาว $3$ และ $4$ หน่วย มีพื้นที่รูปละ $\tfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ ตารางหน่วย
พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเอียงคือ $49 - 4 \times 6 = 25$ ตารางหน่วย
เทียบกับอีกสองรูป $a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25$ เท่ากันจริง

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

สำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวของด้านประกอบมุมฉาก

ถ้าด้านประกอบมุมฉากยาว $a$ และ $b$ หน่วย ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว $c$ หน่วย จะได้

c^2 = a^2 + b^2

ทฤษฎีบทนี้ตั้งชื่อตามพีทาโกรัส นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก แม้คนในหลายอารยธรรมจะรู้ความสัมพันธ์นี้มาก่อนแล้ว และจากสูตรจะเห็นว่า $c^2$ มากกว่าทั้ง $a^2$ และ $b^2$ ด้านตรงข้ามมุมฉากจึงยาวที่สุดเสมอ

ทำไมจึงเป็นจริงทุกรูป

ตัวอย่างที่ 2 ใช้ได้กับรูปเดียว ถ้าจะบอกว่าจริงกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากทุกรูป ต้องพิสูจน์ด้วยความยาว $a$ และ $b$ ที่เป็นอะไรก็ได้ วิธีที่เห็นภาพชัดที่สุดคือย้ายชิ้นส่วน

เปลี่ยนค่า $a$ และ $b$ ก่อน แล้วติ๊กช่องย้ายรูปสามเหลี่ยม ดูว่าส่วนสีส้มเปลี่ยนจากอะไรเป็นอะไร

วาดสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านยาว $a + b$ แล้ววางรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉาก $a$ และ $b$ ไว้ที่มุมทั้งสี่ ช่องที่เหลือตรงกลางมีด้านทั้งสี่ยาว $c$ และทุกมุมเป็นมุมฉาก จึงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีพื้นที่ $c^2$
ย้ายรูปสามเหลี่ยมทั้งสี่มาจับคู่เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสองรูปในกรอบเดิม ช่องที่เหลือกลายเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้าน $a$ กับด้าน $b$ มีพื้นที่รวม $a^2 + b^2$
กรอบใหญ่เท่าเดิม รูปสามเหลี่ยมสี่รูปก็เท่าเดิม พื้นที่ที่เหลือจึงต้องเท่ากัน ได้ $c^2 = a^2 + b^2$

ทำไมช่องตรงกลางมีมุมฉาก

ดูที่มุมของช่องตรงกลางตรงจุดที่อยู่บนขอบล่าง มุมบนเส้นตรงรวมกันได้ $180^\circ$ ประกอบด้วยมุมแหลมสองมุมของรูปสามเหลี่ยมคนละรูปกับมุมของช่องตรงกลาง มุมแหลมสองมุมนั้นเป็นมุมแหลมคนละมุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากรูปเดียวกัน จึงรวมกันได้ $90^\circ$ มุมของช่องตรงกลางจึงเป็น $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

ตรวจด้วยพีชคณิตก็ได้ผลเดียวกัน พื้นที่ช่องตรงกลางเท่ากับกรอบใหญ่ลบรูปสามเหลี่ยมสี่รูป

c^2 = (a + b)^2 - 4 \times \tfrac{1}{2}ab = a^2 + 2ab + b^2 - 2ab = a^2 + b^2

ลองคิดก่อน

รูปสามเหลี่ยม $ABC$ มีมุม $A$ เป็นมุมฉาก และใช้ชื่อด้านแบบหนังสือเรียน คือ $a$ อยู่ตรงข้ามมุม $A$ เพื่อนเขียนว่า $c^2 = a^2 + b^2$ เพราะสูตรในหนังสือเขียนแบบนี้ เพื่อนเขียนถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก สูตร $c^2 = a^2 + b^2$ ใช้ได้เมื่อ $c$ เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก รูปนี้มุมฉากอยู่ที่ $A$ ด้านตรงข้ามมุมฉากคือ $a$ จึงต้องเขียนว่า $a^2 = b^2 + c^2$ จำสูตรเป็นคำพูดจะไม่พลาด กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากอยู่ข้างหนึ่ง ผลบวกกำลังสองของอีกสองด้านอยู่อีกข้าง

ตัวอย่าง 3

รูปสามเหลี่ยม $DEF$ มีมุม $E$ เป็นมุมฉาก จงเขียนความสัมพันธ์ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส

มุม $E$ เป็นมุมฉาก ด้านที่ไม่มีตัว $E$ คือ $DF$ จึงเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก
ด้านประกอบมุมฉากคือ $DE$ และ $EF$
ได้ $DF^2 = DE^2 + EF^2$

สรุป

ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านที่ไม่มีชื่อของมุมฉากอยู่ และยาวที่สุดเสมอ
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส $c^2 = a^2 + b^2$ เมื่อ $c$ เป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก
พิสูจน์ได้ด้วยการวางรูปสามเหลี่ยมสี่รูปในสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้าน $a + b$ สองแบบ แล้วเทียบพื้นที่ที่เหลือ
ถ้ามุมฉากไม่ได้อยู่ที่ $C$ ให้เขียนสูตรจากชื่อด้านจริง ไม่ใช่จากตัวอักษรในสูตร