descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 40 เมทริกซ์ตรงกับหนังสือ เพิ่มเติม ม.5 เล่ม 1 บทที่ 2เพิ่มเติม

40.5 แก้ระบบสมการด้วยเมทริกซ์

งานกีฬาสีขายบัตรเข้าชมการแสดงสองแบบ บัตรผู้ใหญ่ใบละ 8080 บาท บัตรเด็กใบละ 5050 บาท ขายไป 120120 ใบ ได้เงิน 75007500 บาท ขายบัตรแต่ละแบบไปกี่ใบ ในบทที่ 27 เราแก้โจทย์แบบนี้ด้วยการกำจัดตัวแปรหรือการแทนค่า ซึ่งใช้ได้ดีกับสองตัวแปร แต่พอเป็นสามตัวแปรขึ้นไป ขั้นตอนจะยาวและสับสนง่าย

หน้านี้เขียนระบบสมการทั้งระบบเป็นสมการเมทริกซ์สมการเดียว แล้วใช้ผกผันจากหน้า 40.4 และดีเทอร์มิแนนต์จากหน้า 40.3 แก้ วิธีนี้ทำขั้นตอนเหมือนเดิมทุกครั้ง ไม่ว่าตัวเลขจะเป็นอะไร และยังบอกล่วงหน้าได้ว่าระบบมีคำตอบเดียวหรือไม่

เขียนระบบสมการเป็น AX = B

ระบบ ax+by=uax + by = u และ cx+dy=vcx + dy = v เขียนเป็น AX=BAX = B ได้ เมื่อ

A=[abcd]X=[xy]B=[uv]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \qquad X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \qquad B = \begin{bmatrix} u \\ v \end{bmatrix}

ลองคูณ AXAX ดู แถวแรกได้ ax+byax + by แถวสองได้ cx+dycx + dy ตรงกับด้านซ้ายของสมการทั้งสองพอดี AA เรียกว่าเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ XX เป็นเมทริกซ์ตัวแปร และ BB เป็นเมทริกซ์ค่าคงตัว

ก่อนเขียน ต้องจัดทุกสมการให้ตัวแปรเรียงลำดับเดียวกัน และย้ายค่าคงตัวไปไว้ทางขวา ถ้าสมการไหนไม่มีตัวแปรใด ให้ใส่สัมประสิทธิ์ 00 ในตำแหน่งนั้น เช่น y=7−2xy = 7 - 2x ต้องจัดเป็น 2x+y=72x + y = 7 ก่อน แถวของ AA จึงเป็น 2,12, 1 ไม่ใช่ 1,−21, -2

แก้ด้วย X = A⁻¹B

ถ้า det⁡A≠0\det A \ne 0 แล้ว AA มีผกผัน คูณ A−1A^{-1} ทางซ้ายทั้งสองข้างของ AX=BAX = B ได้ A−1AX=A−1BA^{-1}AX = A^{-1}B ซึ่งด้านซ้ายคือ IX=XIX = X จึงได้

X=A−1BX = A^{-1}B

ต้องคูณทางซ้ายเพราะ AA อยู่ทางซ้ายของ XX และมิติก็บังคับด้วย A−1A^{-1} เป็น 2×22 \times 2 และ BB เป็น 2×12 \times 1 จึงคูณ A−1BA^{-1}B ได้ 2×12 \times 1 พอดี

ตัวอย่าง 1

สมุดสองเล่มกับปากกาหนึ่งด้ามราคา 5555 บาท สมุดหนึ่งเล่มกับปากกาหนึ่งด้ามราคา 3535 บาท จงหาราคาแต่ละชนิด

  1. ให้สมุดเล่มละ xx บาท ปากกาด้ามละ yy บาท ได้ 2x+y=552x + y = 55 และ x+y=35x + y = 35 จึงมี A=[2111]A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} และ B=[5535]B = \begin{bmatrix} 55 \\ 35 \end{bmatrix}
  2. det⁡A=1≠0\det A = 1 \ne 0 และจากหน้า 40.4 ได้ A−1=[1−1−12]A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}
  3. X=A−1B=[55−35−55+70]=[2015]X = A^{-1}B = \begin{bmatrix} 55 - 35 \\ -55 + 70 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20 \\ 15 \end{bmatrix}
  4. สมุดเล่มละ 2020 บาท ปากกาด้ามละ 1515 บาท ตรวจ 2(20)+15=552(20) + 15 = 55 และ 20+15=3520 + 15 = 35

ตัวอย่าง 2

แก้โจทย์บัตรกีฬาสีตอนต้นหน้าด้วย X=A−1BX = A^{-1}B

  1. ให้ขายบัตรผู้ใหญ่ pp ใบ บัตรเด็ก qq ใบ สมการจำนวนบัตร p+q=120p + q = 120 สมการเงิน 80p+50q=750080p + 50q = 7500
  2. A=[118050]A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 80 & 50 \end{bmatrix} มี det⁡A=1(50)−1(80)=−30≠0\det A = 1(50) - 1(80) = -30 \ne 0
  3. A−1=−130[50−1−801]A^{-1} = -\tfrac{1}{30}\begin{bmatrix} 50 & -1 \\ -80 & 1 \end{bmatrix} คูณกับ B=[1207500]B = \begin{bmatrix} 120 \\ 7500 \end{bmatrix} ได้ −130[6000−7500−9600+7500]=−130[−1500−2100]=[5070]-\tfrac{1}{30}\begin{bmatrix} 6000 - 7500 \\ -9600 + 7500 \end{bmatrix} = -\tfrac{1}{30}\begin{bmatrix} -1500 \\ -2100 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 50 \\ 70 \end{bmatrix}
  4. ขายบัตรผู้ใหญ่ 5050 ใบ บัตรเด็ก 7070 ใบ ตรวจ 50+70=12050 + 70 = 120 และ 80(50)+50(70)=4000+3500=750080(50) + 50(70) = 4000 + 3500 = 7500 จำนวนบัตรเป็นจำนวนเต็มบวก สมเหตุสมผล

ลองคิดก่อน

เพื่อนเขียนคำตอบเป็น X=BA−1X = BA^{-1} เพราะคิดว่าการคูณสลับลำดับแล้วได้ผลเท่ากัน ผิดตรงไหน

ดูคำตอบ

BB มีมิติ 2×12 \times 1 และ A−1A^{-1} มีมิติ 2×22 \times 2 เรียง (2×1)(2×2)(2 \times 1)(2 \times 2) ด้านในเป็น 11 กับ 22 คูณไม่ได้ตั้งแต่ต้น ต่อให้มิติคูณได้ การคูณเมทริกซ์ก็ไม่สลับที่ ต้องคูณ A−1A^{-1} ฝั่งเดียวกับที่ AA อยู่ คือทางซ้าย จึงได้ X=A−1BX = A^{-1}B

กฎของคราเมอร์

ถ้าต้องการแค่ค่าของตัวแปร ไม่ต้องการ A−1A^{-1} ทั้งเมทริกซ์ มีวิธีที่ใช้ดีเทอร์มิแนนต์อย่างเดียว ดูที่มาจากระบบ ax+by=uax + by = u และ cx+dy=vcx + dy = v คูณสมการแรกด้วย dd สมการสองด้วย bb แล้วลบกัน พจน์ yy หายไป เหลือ (ad−bc)x=ud−bv(ad - bc)x = ud - bv ด้านซ้ายคือ det⁡A\det A คูณ xx ส่วนด้านขวาคือดีเทอร์มิแนนต์ของ AA ที่เอาคอลัมน์ของ xx ออกแล้วใส่ BB แทน

กฎของคราเมอร์

ถ้า det⁡A≠0\det A \ne 0 ระบบ AX=BAX = B มีคำตอบเดียว คือ

x=det⁡Axdet⁡Ay=det⁡Aydet⁡Az=det⁡Azdet⁡Ax = \frac{\det A_x}{\det A} \qquad y = \frac{\det A_y}{\det A} \qquad z = \frac{\det A_z}{\det A}

เมื่อ AxA_x คือ AA ที่แทนคอลัมน์ของ xx ด้วย BB และ AyA_y AzA_z ทำแบบเดียวกันกับคอลัมน์ของ yy และ zz

ตัวอย่าง 3

นักโภชนาการผสมข้าวกล้องกับถั่วเขียวเป็นอาหารหนึ่งชุด ข้าวกล้องทุก 100100 กรัมมีโปรตีน 88 กรัม ใยอาหาร 33 กรัม ถั่วเขียวทุก 100100 กรัมมีโปรตีน 2424 กรัม ใยอาหาร 1616 กรัม ต้องการโปรตีน 5656 กรัม ใยอาหาร 2828 กรัม ต้องใช้อย่างละกี่กรัม

  1. ให้ใช้ข้าวกล้อง xx ร้อยกรัม ถั่วเขียว yy ร้อยกรัม สมการโปรตีน 8x+24y=568x + 24y = 56 สมการใยอาหาร 3x+16y=283x + 16y = 28
  2. det⁡A=∣824316∣=128−72=56≠0\det A = \begin{vmatrix} 8 & 24 \\ 3 & 16 \end{vmatrix} = 128 - 72 = 56 \ne 0 จึงมีคำตอบเดียว
  3. แทนคอลัมน์แรกด้วย BB ได้ det⁡Ax=∣56242816∣=896−672=224\det A_x = \begin{vmatrix} 56 & 24 \\ 28 & 16 \end{vmatrix} = 896 - 672 = 224 จึงได้ x=22456=4x = \tfrac{224}{56} = 4
  4. แทนคอลัมน์สองด้วย BB ได้ det⁡Ay=∣856328∣=224−168=56\det A_y = \begin{vmatrix} 8 & 56 \\ 3 & 28 \end{vmatrix} = 224 - 168 = 56 จึงได้ y=5656=1y = \tfrac{56}{56} = 1
  5. ใช้ข้าวกล้อง 400400 กรัม ถั่วเขียว 100100 กรัม ตรวจ โปรตีน 32+24=5632 + 24 = 56 ใยอาหาร 12+16=2812 + 16 = 28

กฎของคราเมอร์คุ้มที่สุดกับระบบสามตัวแปร เพราะการหาผกผัน 3×33 \times 3 ด้วยมือยาวมาก ขณะที่คราเมอร์ใช้แค่ดีเทอร์มิแนนต์ 3×33 \times 3 สี่ตัว ซึ่งหาได้ด้วยวิธีของซาร์รัส

ตัวอย่าง 4

ร้านข้าวมันไก่ขายสามแบบ คือ ต้ม ทอด และผสม โต๊ะแรกสั่งต้ม 22 ทอด 11 ผสม 11 จ่าย 190190 บาท โต๊ะที่สองสั่งต้ม 11 ทอด 22 ผสม 11 จ่าย 200200 บาท โต๊ะที่สามสั่งต้ม 11 ทอด 11 ผสม 22 จ่าย 210210 บาท หาราคาจานละของแต่ละแบบ

  1. ให้ราคาต้ม ทอด ผสม เป็น xx yy zz บาท ได้ A=[211121112]A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} และ B=[190200210]B = \begin{bmatrix} 190 \\ 200 \\ 210 \end{bmatrix}
  2. det⁡A\det A ด้วยวิธีของซาร์รัส เส้นลง 8+1+1=108 + 1 + 1 = 10 เส้นขึ้น 2+2+2=62 + 2 + 2 = 6 ได้ det⁡A=4≠0\det A = 4 \ne 0
  3. det⁡Ax\det A_x แทนคอลัมน์แรกด้วย BB กระจายตามแถวแรก 190(4−1)−1(400−210)+1(200−420)=570−190−220=160190(4 - 1) - 1(400 - 210) + 1(200 - 420) = 570 - 190 - 220 = 160 จึงได้ x=1604=40x = \tfrac{160}{4} = 40
  4. det⁡Ay=2(400−210)−190(2−1)+1(210−200)=380−190+10=200\det A_y = 2(400 - 210) - 190(2 - 1) + 1(210 - 200) = 380 - 190 + 10 = 200 จึงได้ y=50y = 50
  5. det⁡Az=2(420−200)−1(210−200)+190(1−2)=440−10−190=240\det A_z = 2(420 - 200) - 1(210 - 200) + 190(1 - 2) = 440 - 10 - 190 = 240 จึงได้ z=60z = 60 ตรวจโต๊ะแรก 80+50+60=19080 + 50 + 60 = 190 ถูก

ระบบนี้มีทางลัดด้วย ถ้าบวกสามสมการจะได้ 4(x+y+z)=6004(x + y + z) = 600 ดังนั้น x+y+z=150x + y + z = 150 แล้วเอาไปลบแต่ละสมการก็ได้คำตอบเดียวกัน กฎของคราเมอร์ไม่ได้บังคับว่าทุกข้อต้องใช้ แต่เป็นวิธีที่ใช้ได้เสมอเมื่อ det⁡A≠0\det A \ne 0 ส่วนระบบที่เป็นรูปสามเหลี่ยม เช่น x+y+z=9x + y + z = 9 y+z=5y + z = 5 z=2z = 2 ไม่ต้องใช้วิธีไหนเลย อ่าน z=2z = 2 จากแถวล่าง แทนขึ้นไปได้ y=3y = 3 และ x=4x = 4 ทันที เมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของระบบนี้มีดีเทอร์มิแนนต์เป็นผลคูณแนวทแยง 1⋅1⋅1=11 \cdot 1 \cdot 1 = 1 จึงมีคำตอบเดียว

เมื่อ det A เป็นศูนย์

ทั้ง X=A−1BX = A^{-1}B และกฎของคราเมอร์ต้องหารด้วย det⁡A\det A จึงใช้ไม่ได้เมื่อ det⁡A=0\det A = 0 แต่นั่นไม่ได้แปลว่าระบบไม่มีคำตอบ ในบทที่ 27 สมการเชิงเส้นสองตัวแปรแต่ละสมการคือเส้นตรงหนึ่งเส้น det⁡A=0\det A = 0 หมายถึงสองเส้นมีความชันเท่ากัน ซึ่งเป็นได้สองแบบ

  • เส้นขนานกันไม่ทับกัน ระบบไม่มีคำตอบ
  • เส้นทับกันเป็นเส้นเดียว ระบบมีคำตอบมากมายไม่จำกัด

ส่วนกรณี det⁡A≠0\det A \ne 0 คือสองเส้นตัดกันที่จุดเดียว ระบบมีคำตอบเดียว วิธีแยกสองแบบแรกคือดูว่าด้านขวาเป็นสัดส่วนเดียวกับด้านซ้ายหรือไม่

ตัวอย่าง 5

ระบบ x+2y=6x + 2y = 6 และ 2x+4y=132x + 4y = 13 มีคำตอบหรือไม่ ถ้าเปลี่ยน 1313 เป็น 1212 จะเป็นอย่างไร

  1. det⁡[1224]=4−4=0\det \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} = 4 - 4 = 0 จึงใช้ผกผันหรือคราเมอร์ไม่ได้ ต้องดูสมการเอง
  2. คูณสมการแรกด้วยสอง ได้ 2x+4y=122x + 4y = 12 แต่สมการที่สองบอกว่าด้านซ้ายเดียวกันเท่ากับ 1313 ขัดแย้งกัน จึงไม่มีคำตอบ สองเส้นขนานกัน
  3. ถ้าเปลี่ยนเป็น 2x+4y=122x + 4y = 12 สมการที่สองคือสมการแรกคูณสองทั้งสองข้าง เหลือสมการเดียว x+2y=6x + 2y = 6 ให้ y=sy = s ได้ x=6−2sx = 6 - 2s ทุกจำนวนจริง ss เป็นคำตอบ เช่น (6,0)(6, 0) (4,1)(4, 1) (2,2)(2, 2)

ลองคิดก่อน

เพื่อนเห็นว่า det⁡A=0\det A = 0 แล้วตอบทันทีว่าระบบไม่มีคำตอบ ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูกเสมอไป det⁡A=0\det A = 0 บอกแค่ว่าไม่มีผกผันและไม่มีคำตอบเดียว ระบบอาจไม่มีคำตอบเลย หรือมีคำตอบมากมายไม่จำกัดก็ได้ ตัวอย่าง 5 ใช้ AA ตัวเดียวกันทั้งสองกรณี ต่างกันแค่ด้านขวา ต้องกลับไปดูสมการว่าด้านขวาสอดคล้องกับความสัมพันธ์ของแถวหรือไม่

สรุป

  • จัดตัวแปรให้เรียงลำดับเดียวกันทุกสมการ แล้วเขียนเป็น AX=BAX = B
  • ถ้า det⁡A≠0\det A \ne 0 ได้คำตอบเดียว X=A−1BX = A^{-1}B ต้องคูณ A−1A^{-1} ทางซ้าย
  • กฎของคราเมอร์ x=det⁡Axdet⁡Ax = \dfrac{\det A_x}{\det A} เมื่อ AxA_x คือ AA ที่แทนคอลัมน์ของ xx ด้วย BB
  • ถ้า det⁡A=0\det A = 0 ระบบไม่มีคำตอบ หรือมีคำตอบไม่จำกัด ต้องตรวจจากสมการ
  • ตรวจคำตอบโดยแทนในทุกสมการ และดูว่าเข้ากับความหมายของโจทย์