descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 17 ความเท่ากันทุกประการตรงกับหนังสือ ม.2 เล่ม 2 บทที่ 2

17.3 ม.ด.ม. ด.ด.ด. ม.ม.ด. และ ฉ.ด.ด.

ด.ม.ด. ไม่ใช่ทางเดียว ในบทที่ 2 ยังสร้างรูปสามเหลี่ยมได้อีกสองแบบ คือรู้มุมสองมุมกับด้านในระหว่าง และรู้ความยาวของด้านทั้งสาม ทั้งสองแบบสร้างแล้วได้รูปเดียวเสมอ จึงกลายเป็นเงื่อนไขของความเท่ากันทุกประการได้อีกสองข้อ และยังมีเงื่อนไขพิเศษสำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากอีกหนึ่งข้อ

มุม ด้าน มุม

มุม ด้าน มุม (ม.ด.ม.)

ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีมุมที่มีขนาดเท่ากันสองคู่ และด้านในระหว่างมุมคู่ที่เท่ากันนั้นยาวเท่ากัน แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ

ABCDEF
มุม B เท่ากับมุม E ด้าน BC = EF และมุม C เท่ากับมุม F จึงได้ ABC กับ DEF เท่ากันทุกประการแบบ ม.ด.ม.

ด้านในระหว่างมุมสองมุม คือด้านที่มีจุดยอดของสองมุมนั้นเป็นปลายทั้งสองข้าง เช่น B^\hat{B} กับ C^\hat{C} มีด้านในระหว่างคือ BCBC

เหตุผลคล้ายกับ ด.ม.ด. วาง EFEF ทับ BCBC ได้พอดีเพราะยาวเท่ากัน มุมที่ EE เท่ากับมุมที่ BB แขน EDED จึงวางตามแนว BABA มุมที่ FF เท่ากับมุมที่ CC แขน FDFD จึงวางตามแนว CACA จุด AA คือจุดที่แนว BABA กับแนว CACA ตัดกัน จุด DD ก็เป็นจุดตัดของแนวเดียวกันนี้ แนวสองแนวตัดกันได้จุดเดียว DD จึงทับ AA

ตัวอย่าง 1

△ABC\triangle ABC มี B^=50∘\hat{B} = 50^\circ BC=8BC = 8 เซนติเมตร และ C^=60∘\hat{C} = 60^\circ ส่วน △XYZ\triangle XYZ มี Y^=50∘\hat{Y} = 50^\circ YZ=8YZ = 8 เซนติเมตร และ Z^=60∘\hat{Z} = 60^\circ จงบอกว่าสองรูปนี้เท่ากันทุกประการหรือไม่ แล้วหาขนาดของ X^\hat{X} และบอกว่า XYXY ยาวเท่ากับด้านใดของ △ABC\triangle ABC

  1. BCBC มีปลายเป็น BB และ CC จึงเป็นด้านในระหว่าง B^\hat{B} กับ C^\hat{C} ทำนองเดียวกัน YZYZ เป็นด้านในระหว่าง Y^\hat{Y} กับ Z^\hat{Z}
  2. B^=Y^\hat{B} = \hat{Y} BC=YZBC = YZ และ C^=Z^\hat{C} = \hat{Z} จึงได้ △ABC≅△XYZ\triangle ABC \cong \triangle XYZ (ม.ด.ม.)
  3. X^\hat{X} สมนัยกับ A^=180∘−50∘−60∘=70∘\hat{A} = 180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ จึงได้ X^=70∘\hat{X} = 70^\circ
  4. XYXY สมนัยกับ ABAB จึงได้ XY=ABXY = AB

ถ้าด้านไม่อยู่ระหว่างสองมุม

มุมภายในของรูปสามเหลี่ยมรวมกันได้ 180∘180^\circ ถ้ามุมเท่ากันสองคู่ มุมคู่ที่สามก็เท่ากันเองเสมอ ดังนั้นเมื่อได้ข้อมูลเป็นมุมสองคู่กับด้านคู่ที่สมนัยกันหนึ่งคู่ซึ่งไม่ได้อยู่ระหว่างมุมที่ให้มา ให้หามุมคู่ที่สามก่อน แล้วจะได้ ม.ด.ม. เสมอ

ด้าน ด้าน ด้าน

ด้าน ด้าน ด้าน (ด.ด.ด.)

ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีด้านยาวเท่ากันเป็นคู่ๆ สามคู่ แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ

ABCDEF
ด้านที่มีจำนวนขีดเท่ากันยาวเท่ากัน จึงได้ ABC กับ DEF เท่ากันทุกประการแบบ ด.ด.ด.

เหตุผลมาจากการสร้างรูปสามเหลี่ยมจากความยาวด้านสามด้านในบทที่ 2 จุดยอดที่สามเป็นจุดตัดของส่วนโค้งสองเส้น ซึ่งมีแค่จุดตัดด้านบนกับด้านล่าง สองจุดนี้ให้รูปที่พลิกกันเท่านั้น ด้านสามด้านจึงล็อกรูปสามเหลี่ยมไว้ทั้งรูป ไม่ต้องรู้มุมเลยสักมุม

สมบัตินี้คือเหตุที่โครงสร้างรูปสามเหลี่ยมแข็งแรง โครงไม้สามท่อนที่ตอกหมุดตรงมุมบิดเป็นรูปอื่นไม่ได้ เพราะความยาวสามด้านกำหนดรูปไว้แล้ว ต่างจากโครงสี่เหลี่ยมที่ดันเบาๆ ก็เอียงเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานได้ทั้งที่ด้านยาวเท่าเดิม ประตูรั้วเหล็กและเสาส่งไฟฟ้าจึงมีเหล็กค้ำแนวเฉียงที่แบ่งโครงเป็นรูปสามเหลี่ยม

ตัวอย่าง 2

△ABC\triangle ABC มี AB=5AB = 5 BC=6BC = 6 และ CA=7CA = 7 เซนติเมตร ส่วน △PQR\triangle PQR มี PQ=7PQ = 7 QR=5QR = 5 และ RP=6RP = 6 เซนติเมตร จงเขียนประโยคบอกว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปนี้เท่ากันทุกประการ โดยเริ่มจาก △ABC\triangle ABC

  1. จับคู่ด้านตามความยาว AB=QR=5AB = QR = 5 BC=RP=6BC = RP = 6 และ CA=PQ=7CA = PQ = 7 ครบสามคู่ จึงเท่ากันทุกประการแบบ ด.ด.ด.
  2. หาจุดยอดที่สมนัยกัน BB เป็นตัวอักษรร่วมของ ABAB กับ BCBC ส่วนด้านคู่ของมันคือ QRQR กับ RPRP มีตัวอักษรร่วมคือ RR จึงได้ BB สมนัยกับ RR
  3. AA อยู่ใน ABAB กับ CACA ด้านคู่คือ QRQR กับ PQPQ มีตัวร่วมคือ QQ จึงได้ AA สมนัยกับ QQ ที่เหลือ CC สมนัยกับ PP
  4. เขียนได้ △ABC≅△QRP\triangle ABC \cong \triangle QRP

ถ้าตอบว่า △ABC≅△PQR\triangle ABC \cong \triangle PQR จะได้ AB=PQAB = PQ ซึ่งผิด เพราะ AB=5AB = 5 แต่ PQ=7PQ = 7 ความยาวเท่ากันครบไม่ได้แปลว่าเรียงชื่อแบบไหนก็ได้

มุมฉาก ด้าน ด้าน

ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากเรียกว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก ซึ่งยาวที่สุดเสมอ อีกสองด้านเรียกว่าด้านประกอบมุมฉาก

มุมฉาก ด้าน ด้าน (ฉ.ด.ด.)

ถ้ารูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปมีด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเท่ากัน และมีด้านประกอบมุมฉากยาวเท่ากันอีกหนึ่งคู่ แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ

ABCDEF
มุม C และมุม F เป็นมุมฉาก AB = DE และ AC = DF จึงได้ ABC กับ DEF เท่ากันทุกประการแบบ ฉ.ด.ด.

เหตุผลใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสจากบทที่ 10 ในรูปข้างบน BC2=AB2−AC2BC^2 = AB^2 - AC^2 และ EF2=DE2−DF2EF^2 = DE^2 - DF^2 เพราะ AB=DEAB = DE และ AC=DFAC = DF ทางขวาของสองสมการจึงเท่ากัน ได้ BC=EFBC = EF ตามไปด้วย ตอนนี้ด้านเท่ากันครบสามคู่ จึงเท่ากันทุกประการแบบ ด.ด.ด.

ตัวอย่าง 3

△ABC\triangle ABC มี C^=90∘\hat{C} = 90^\circ AB=13AB = 13 เซนติเมตร และ AC=5AC = 5 เซนติเมตร ส่วน △DEF\triangle DEF มี F^=90∘\hat{F} = 90^\circ DE=13DE = 13 เซนติเมตร และ DF=5DF = 5 เซนติเมตร จงหาความยาวของ EFEF

  1. ABAB อยู่ตรงข้าม C^\hat{C} และ DEDE อยู่ตรงข้าม F^\hat{F} ทั้งคู่จึงเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก และยาวเท่ากัน
  2. AC=DFAC = DF เป็นด้านประกอบมุมฉากที่ยาวเท่ากัน จึงได้ △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF (ฉ.ด.ด.)
  3. EFEF สมนัยกับ BCBC และ BC=132−52=144=12BC = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12
  4. ดังนั้น EF=12EF = 12 เซนติเมตร

เลือกเงื่อนไขให้ถูก

เงื่อนไขสิ่งที่ต้องเท่ากันจุดที่ต้องดู
ด.ม.ด.ด้านสองคู่ มุมหนึ่งคู่มุมต้องอยู่ระหว่างสองด้านนั้น
ม.ด.ม.มุมสองคู่ ด้านหนึ่งคู่ด้านต้องอยู่ระหว่างสองมุมนั้น ถ้าไม่อยู่ ให้หามุมที่สามก่อน
ด.ด.ด.ด้านสามคู่ไม่ต้องรู้มุมเลย
ฉ.ด.ด.มุมฉาก ด้านตรงข้ามมุมฉาก และด้านประกอบมุมฉากหนึ่งคู่ใช้กับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น

ทุกเงื่อนไขต้องเป็นด้านคู่ที่สมนัยกันและมุมคู่ที่สมนัยกัน ก่อนเลือกเงื่อนไข ให้จับคู่จุดยอดให้ได้ก่อนเสมอ

ลองคิดก่อน

△ABC\triangle ABC กับ △DEF\triangle DEF มี A^=D^=50∘\hat{A} = \hat{D} = 50^\circ B^=E^=70∘\hat{B} = \hat{E} = 70^\circ และ AC=DFAC = DF เพื่อนบอกว่าใช้ ม.ด.ม. ไม่ได้ เพราะด้านที่เท่ากันไม่ได้อยู่ระหว่าง A^\hat{A} กับ B^\hat{B} เพื่อนพูดถูกไหม

ดูคำตอบ

เพื่อนพูดถูกครึ่งเดียว ACAC ไม่ได้อยู่ระหว่าง A^\hat{A} กับ B^\hat{B} จริง แต่หามุมที่สามได้ C^=180∘−50∘−70∘=60∘\hat{C} = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ และ F^=60∘\hat{F} = 60^\circ เช่นกัน ตอนนี้ ACAC อยู่ระหว่าง A^\hat{A} กับ C^\hat{C} และ DFDF อยู่ระหว่าง D^\hat{D} กับ F^\hat{F} จึงใช้ ม.ด.ม. ได้ สรุปว่า △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF

มุม มุม ด้าน

ถ้ารู้มุมสองมุมกับด้านที่ไม่ได้อยู่ในระหว่างมุมทั้งสอง ยังสรุปได้หรือไม่ เช่นรู้มุมที่ AA กับ BB แต่รู้ด้าน ACAC แทนด้าน ABAB

มุม มุม ด้าน (ม.ม.ด.)

ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีมุมขนาดเท่ากันสองคู่ และมีด้านคู่ที่สมนัยกันซึ่งอยู่ตรงข้ามมุมคู่หนึ่งที่เท่ากันยาวเท่ากัน แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ

ผลบวกของมุมภายในเท่ากับ 180∘180^\circ จึงหามุมคู่ที่สามได้และมีขนาดเท่ากันด้วย ตอนนี้ด้านที่รู้ยาวเท่ากันจะอยู่ระหว่างมุมคู่ที่เท่ากันสองคู่ จึงใช้ ม.ด.ม. ต่อได้ นี่คือเหตุผลของ ม.ม.ด. และยังต้องจับคู่จุดยอดให้ตรงกันเสมอ

ตัวอย่าง 4

△ABC\triangle ABC กับ △DEF\triangle DEF มี A^=D^=48∘\hat A = \hat D = 48^\circ B^=E^=67∘\hat B = \hat E = 67^\circ และ AC=DF=9AC = DF = 9 เซนติเมตร สองรูปนี้เท่ากันทุกประการหรือไม่

  1. ACAC อยู่ตรงข้ามมุม BB ส่วน DFDF อยู่ตรงข้ามมุม EE จึงเป็นด้านคู่ที่สมนัยกัน ด้านทั้งสองไม่ได้อยู่ในระหว่างมุมสองมุมที่ให้มา
  2. ได้ △ABC≅△DEF\triangle ABC \cong \triangle DEF โดย ม.ม.ด.
  3. ตรวจด้วยอีกวิธีได้ C^=F^=180∘−48∘−67∘=65∘\hat C = \hat F = 180^\circ - 48^\circ - 67^\circ = 65^\circ แล้วใช้มุม AA ด้าน ACAC และมุม CC สรุปโดย ม.ด.ม.

ลองคิดก่อน

ถ้ามุม AA เท่ากับ DD มุม BB เท่ากับ EE แต่บอกเพียง AC=EFAC = EF ใช้ ม.ม.ด. ได้ทันทีหรือไม่

ดูคำตอบ

ยังไม่ได้ เพราะคู่จุดยอดที่ให้ไว้คือ AA กับ DD BB กับ EE และ CC กับ FF ด้านที่สมนัยกับ ACAC จึงเป็น DFDF ไม่ใช่ EFEF ต้องมีด้านคู่ที่สมนัยกันยาวเท่ากัน ไม่ใช่เลือกด้านคู่ใดก็ได้

สรุป

  • ม.ด.ม. ใช้มุมสองคู่กับด้านในระหว่าง ด.ด.ด. ใช้ด้านสามคู่
  • ฉ.ด.ด. ใช้กับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ต้องมีด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากันหนึ่งคู่ และด้านประกอบมุมฉากเท่ากันอีกหนึ่งคู่
  • ม.ม.ด. ใช้มุมเท่ากันสองคู่กับด้านคู่ที่สมนัยกันซึ่งไม่ได้อยู่ในระหว่างมุมสองมุมนั้น
  • รู้มุมเท่ากันสองคู่ ก็รู้มุมคู่ที่สามด้วย จึงอธิบาย ม.ม.ด. ผ่าน ม.ด.ม. ได้
  • จับคู่จุดยอดก่อนเขียนประโยค ≅\cong ทุกครั้ง