45.3 ดอกเบี้ยและมูลค่าของเงิน

ญาติให้เลือกระหว่างรับเงิน $50000$ บาทวันนี้ กับรับ $54000$ บาทในอีกสองปี หลายคนเลือกก้อนหลังเพราะตัวเลขมากกว่า แต่เงินหนึ่งพันบาทวันนี้กับเงินหนึ่งพันบาทในอีกปีหนึ่งเปรียบเทียบตรงๆ ไม่ได้หากมีดอกเบี้ย เงินวันนี้เอาไปฝากแล้วโตขึ้นได้ เราต้องย้ายเงินทั้งหมดมาไว้ที่วันอ้างอิงเดียวกันก่อนรวมหรือเปรียบเทียบ หน้านี้ใช้ลำดับจากหน้า 45.1 อธิบายว่าเงินโตอย่างไร แล้วตอบคำถามของญาติในตัวอย่างที่ 5

ดอกเบี้ยคงต้นเป็นลำดับเลขคณิต

เรียกเงินที่ฝากหรือกู้ตอนเริ่มว่าเงินต้น $P$ อัตราดอกเบี้ยต่องวด $i$ และจำนวนงวด $n$ ถ้าคิดดอกเบี้ยจากเงินต้นอย่างเดียวทุกงวด เรียกว่าดอกเบี้ยคงต้นหรือดอกเบี้ยเชิงเดียว ดอกเบี้ยแต่ละงวดเท่ากันคือ $Pi$ ยอดรวมหลัง $n$ งวดจึงเป็น

P + Pi + Pi + \cdots + Pi = P(1 + ni)

ยอดเงินแต่ละงวดเพิ่มทีละ $Pi$ เท่ากัน จึงเป็นลำดับเลขคณิตที่มีผลต่างร่วม $Pi$

ตัวอย่าง 1

กู้เงิน $20000$ บาท ดอกเบี้ยคงต้นร้อยละ $6$ ต่อปี ครบ $3$ ปีต้องคืนทั้งหมดเท่าไร

อัตราต่อปี $i = 0.06$ ดอกเบี้ยปีละ $20000(0.06) = 1200$ บาท เท่ากันทุกปีเพราะคิดจากเงินต้นอย่างเดียว
สามปีเป็นดอกเบี้ย $3(1200) = 3600$ บาท
ต้องคืน $20000(1 + 3 \times 0.06) = 23600$ บาท ยอดสิ้นปีที่หนึ่งถึงสามคือ $21200, 22400, 23600$ เป็นลำดับเลขคณิต $d = 1200$

ดอกเบี้ยทบต้นเป็นลำดับเรขาคณิต

เงินฝากในธนาคารส่วนใหญ่คิดดอกเบี้ยแบบทบต้น ดอกเบี้ยที่ได้งวดก่อนถูกรวมเข้าเงินต้น งวดถัดไปจึงได้ดอกเบี้ยจากดอกเบี้ยด้วย ทุกงวดยอดเงินถูกคูณด้วย $1 + i$ ยอดเงินจึงเป็นลำดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วม $1 + i$

สมบัติ

เงินต้น $P$ อัตราต่องวด $i$ ทบต้น $n$ งวด มีมูลค่าอนาคต $F=P(1+i)^n$ และเงิน $F$ ในอีก $n$ งวดมีมูลค่าปัจจุบัน $P=\dfrac{F}{(1+i)^n}$

เลขชี้กำลังเป็น $n$ ไม่ใช่ $n-1$ ต่างจากพจน์ทั่วไปในหน้า 45.1 เพราะที่นี่นับจำนวนครั้งที่คูณ ไม่ได้นับตำแหน่งพจน์ ยอดตอนเริ่มคือ $P(1+i)^0 = P$

ตัวอย่าง 2

ฝาก $10000$ บาท ดอกเบี้ยทบต้นปีละ $2\%$ สองปี ได้เท่าไร และเงิน $10404$ บาทในอีกสองปีมีมูลค่าปัจจุบันเท่าไร

คูณ $1.02$ สองครั้ง $F=10000(1.02)^2=10404$ บาท ถ้าเป็นดอกเบี้ยคงต้นจะได้ $10400$ บาท ส่วนที่ต่าง $4$ บาทคือดอกเบี้ยของดอกเบี้ยปีแรก $200(0.02)$
คิดย้อนกลับด้วยการหาร $P=10404/(1.02)^2=10000$ บาท

ลองคิดก่อน

ฝากเงินได้ดอกเบี้ยทบต้นร้อยละ $2$ ต่อปี เพื่อนบอกว่าสิบปีเงินจะเพิ่ม $20\%$ พอดี ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก การบวก $2\%$ สิบครั้งเป็นวิธีของดอกเบี้ยคงต้น ดอกเบี้ยทบต้นคูณ $1.02$ สิบครั้ง ได้ $(1.02)^{10}$ ประมาณ $1.2190$ เงินเพิ่มราว $21.90\%$ มากกว่า $20\%$ เพราะดอกเบี้ยแต่ละปีถูกนำไปคิดดอกเบี้ยต่อ ยิ่งอัตราสูงหรือเวลายาว ส่วนต่างยิ่งมาก

งวดของดอกเบี้ยต้องตรงกับอัตรา

ธนาคารบอกอัตราเป็นร้อยละต่อปีเสมอ แต่อาจทบต้นหลายครั้งต่อปี อัตราต่อปีแบบนี้เรียกว่าอัตรานามบัญญัติ ถ้าอัตราร้อยละ $j$ ต่อปี ทบต้นปีละ $m$ ครั้ง อัตราต่องวดคือ $i = j/m$ และ $t$ ปีมี $n = mt$ งวด ทั้ง $i$ และ $n$ ต้องใช้หน่วยงวดเดียวกัน

เงินฝากออมทรัพย์ของธนาคารในไทยช่วงหลายปีหลังให้ดอกเบี้ยราวร้อยละ $0.25$ ถึง $1$ ต่อปี ขึ้นกับธนาคารและประเภทบัญชี และหลายธนาคารจ่ายดอกเบี้ยเข้าบัญชีปีละสองครั้ง ตัวเลขในตัวอย่างต่อไปเป็นอัตราสมมติในช่วงนั้น

ตัวอย่าง 3

ฝาก $20000$ บาทในบัญชีออมทรัพย์อัตราร้อยละ $0.5$ ต่อปี ทบต้นปีละ $2$ ครั้ง ไม่ถอนเลย ครบ $3$ ปีมีเงินเท่าไร ตอบเป็นบาททศนิยมสองตำแหน่ง

อัตราต่องวด $i = 0.005/2 = 0.0025$ และจำนวนงวด $n = 2 \times 3 = 6$ งวด
$F = 20000(1.0025)^6$ ประมาณ $20301.88$ บาท
ถ้าคิดแบบคงต้นจะได้ $20000(1 + 3 \times 0.005) = 20300$ บาท ต่างกันไม่ถึงสองบาท เพราะอัตราต่ำมาก ดอกเบี้ยของดอกเบี้ยจึงน้อย

ลองคิดก่อน

บัตรกดเงินสดคิดดอกเบี้ยร้อยละ $12$ ต่อปี ทบต้นรายเดือน เพื่อนคำนวณยอดหนี้ $1$ ปีด้วย $(1.12)^{12}$ ได้เกือบสี่เท่าของเงินต้น ผิดตรงไหน

ดูคำตอบ

เพื่อนใช้อัตราต่อปีคู่กับจำนวนงวดรายเดือน อัตราต่อเดือนคือ $12\% \div 12 = 1\%$ จึงต้องใช้ $(1.01)^{12}$ ประมาณ $1.1268$ หนี้เพิ่มราว $12.68\%$ ต่อปี ไม่ใช่เกือบสี่เท่า ค่า $12.68\%$ ที่มากกว่า $12\%$ เล็กน้อยคืออัตราที่เกิดจริงเมื่อทบต้นทุกเดือน

ย้ายเงินบนเส้นเวลา

เส้นเวลาช่วยจัดเงินที่เกิดต่างวันกัน วาดเส้นแนวนอน กำหนดจุด $0$ เป็นวันนี้ แต่ละขีดเป็นหนึ่งงวด ย้ายเงินไปข้างหน้าหนึ่งงวดให้คูณ $1 + i$ ย้ายถอยหลังหนึ่งงวดให้หารด้วย $1 + i$ เงินสองก้อนจะรวมกันหรือเทียบกันได้ก็ต่อเมื่ออยู่ที่จุดเดียวกันบนเส้นเวลา

ไปทางขวาคูณ

1 + i

ทุกงวด ไปทางซ้ายหารด้วย

1 + i

ทุกงวด

เงิน $F$ ที่จุด $n$ ย้ายกลับมาจุด $0$ คือมูลค่าปัจจุบัน $F/(1+i)^n$ การหาค่านี้เรียกว่าการคิดลด ใช้ตอบคำถามว่าวันนี้ต้องฝากเท่าไรจึงจะได้เงินเป้าหมายในอนาคต

ตัวอย่าง 4

พ่อแม่ต้องการเงิน $100000$ บาทเป็นค่าเทอมในอีก $5$ ปี ถ้าฝากได้ดอกเบี้ยทบต้นร้อยละ $3$ ต่อปี วันนี้ต้องฝากเท่าไร ตอบเป็นบาททศนิยมสองตำแหน่ง

เงินเป้าหมายอยู่ที่จุด $5$ ต้องย้ายกลับมาจุด $0$ จึงหารด้วย $1.03$ ห้าครั้ง
$P = \dfrac{100000}{(1.03)^5}$ ประมาณ $86260.88$ บาท
ตรวจไปข้างหน้า $86260.88(1.03)^5$ ประมาณ $100000$ บาท ตรงเป้า

ตัวอย่าง 5

กลับไปที่คำถามของญาติ ถ้าเงินฝากได้ดอกเบี้ยทบต้นร้อยละ $4$ ต่อปี ควรรับ $50000$ บาทวันนี้ หรือ $54000$ บาทในอีกสองปี

เลือกวันอ้างอิงเป็นสิ้นปีที่สอง ย้ายเงินวันนี้ไปข้างหน้าสองงวด $50000(1.04)^2 = 54080$ บาท
ก้อนหลังอยู่ที่สิ้นปีที่สองอยู่แล้ว คือ $54000$ บาท ซึ่งน้อยกว่า $54080$ บาท
ตรวจด้วยวันอ้างอิงวันนี้ก็ได้ผลเดียวกัน $54000/(1.04)^2$ ประมาณ $49926.04$ บาท น้อยกว่า $50000$ จึงควรรับเงินวันนี้

คำตอบขึ้นกับอัตราดอกเบี้ย ถ้าอัตราต่ำกว่านี้ เช่นร้อยละ $3$ ต่อปี เงินวันนี้โตเป็น $53045$ บาทเท่านั้น ก้อนหลังจะคุ้มกว่า การเทียบเงินต่างเวลาจึงต้องบอกอัตราที่ใช้เสมอ

สรุป

ดอกเบี้ยคงต้นให้ยอดเป็นลำดับเลขคณิต $P(1 + ni)$
ดอกเบี้ยทบต้นให้ยอดเป็นลำดับเรขาคณิต $P(1 + i)^n$
อัตราและจำนวนงวดต้องใช้หน่วยเดียวกัน อัตราต่อปีทบ $m$ ครั้งใช้ $j/m$ และ $mt$ งวด
เปรียบเทียบเงินที่วันอ้างอิงเดียวกัน ไปข้างหน้าคูณ ถอยหลังหาร

ตัวอย่างในหน้านี้มีเงินก้อนเดียวหรือสองก้อน หน้าถัดไปจะฝากหรือผ่อนทุกงวดเท่าๆ กัน เงินหลายก้อนบนเส้นเวลาจะรวมกันเป็นอนุกรมเรขาคณิตจากหน้า 45.2