descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 40 เมทริกซ์ตรงกับหนังสือ เพิ่มเติม ม.5 เล่ม 1 บทที่ 2เพิ่มเติม

40.4 เมทริกซ์ผกผัน

ต้นและฝ้ายส่งรหัสลับหากันเป็นคู่ตัวเลข ก่อนส่ง ต้นเอาคู่ตัวเลข (x,y)(x, y) ไปคูณด้วย A=[2111]A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} ทางซ้าย แล้วส่งผลลัพธ์ไป วันหนึ่งฝ้ายได้รับ [138]\begin{bmatrix} 13 \\ 8 \end{bmatrix} ตัวเลขเดิมคืออะไร

ถ้าเป็นจำนวนธรรมดา เช่นต้นคูณด้วย 22 ฝ้ายก็แค่คูณด้วย 12\tfrac{1}{2} เพื่อย้อนกลับ แต่เมทริกซ์ผสมตัวเลขสองตัวเข้าด้วยกันทั้งแถว การเอาส่วนกลับของสมาชิกทีละตัวจึงย้อนไม่ได้ ต้องมีเมทริกซ์อีกตัวที่ทำงานตรงข้ามกับ AA ทั้งก้อน หน้านี้จะหาเมทริกซ์ตัวนั้น

เมทริกซ์เอกลักษณ์

ส่วนกลับของจำนวนนิยามจากเลข 11 คือ 2⋅12=12 \cdot \tfrac{1}{2} = 1 เมทริกซ์ต้องการตัวที่ทำหน้าที่ของ 11 ก่อน หน้า 40.2 พบแล้วว่าคือเมทริกซ์เอกลักษณ์

นิยาม

เมทริกซ์เอกลักษณ์มิติ n×nn \times n เขียนแทนด้วย InI_n หรือ II คือเมทริกซ์จัตุรัสที่สมาชิกบนแนวทแยงหลักเป็น 11 และสมาชิกตำแหน่งอื่นเป็น 00 เช่น I2=[1001]I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} และ I3=[100010001]I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

สำหรับเมทริกซ์จัตุรัส AA มิติ n×nn \times n จะได้ AI=IA=AAI = IA = A เพราะแถวของ AA คูณกับคอลัมน์ของ II ดึงสมาชิกของ AA ออกมาทีละตัวตามตำแหน่งเดิม

ผกผันคือเมทริกซ์ที่คูณแล้วได้เอกลักษณ์

นิยาม

ให้ AA เป็นเมทริกซ์จัตุรัสมิติ n×nn \times n ถ้ามีเมทริกซ์ BB ที่ทำให้ AB=BA=InAB = BA = I_n เรียก BB ว่าเมทริกซ์ผกผันของ AA เขียนแทนด้วย A−1A^{-1} และเรียก AA ว่าเมทริกซ์ที่มีผกผัน

เมทริกซ์ที่ไม่จัตุรัสไม่มีผกผันตามนิยามนี้ และเมทริกซ์จัตุรัสก็ไม่ได้มีผกผันทุกตัว เช่นเมทริกซ์ศูนย์คูณอะไรก็ได้ศูนย์ ไม่มีทางได้ II เหมือนจำนวน 00 ที่ไม่มีส่วนกลับ ถ้าผกผันมีอยู่ จะมีได้ตัวเดียว เพราะถ้า BB และ CC เป็นผกผันทั้งคู่ จะได้ B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=CB = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C

ระวังสัญลักษณ์ A−1A^{-1} ไม่ได้แปลว่า 1A\tfrac{1}{A} เพราะเมทริกซ์หารกันไม่ได้ และไม่ได้แปลว่ากลับเศษส่วนทุกสมาชิก

สูตรผกผันของเมทริกซ์ 2×2 และที่มา

ให้ A=[abcd]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} ลองคูณ AA กับเมทริกซ์ที่ได้จากการสลับสมาชิกบนแนวทแยงหลัก และเปลี่ยนเครื่องหมายสมาชิกบนแนวทแยงรอง

[abcd][d−b−ca]=[ad−bc−ab+bacd−dc−cb+da]=(ad−bc)[1001]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ad - bc & -ab + ba \\ cd - dc & -cb + da \end{bmatrix} = (ad - bc) \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

ช่องนอกแนวทแยงหักล้างกันเป็นศูนย์พอดี เพราะการสลับและเปลี่ยนเครื่องหมายจัดให้พจน์ abab กับ baba มาเจอกันด้วยเครื่องหมายตรงข้าม ส่วนช่องบนแนวทแยงได้ ad−bcad - bc ซึ่งคือ det⁡A\det A ทั้งสองช่อง ผลคูณจึงเป็น det⁡A\det A คูณ II ถ้าหารด้วย det⁡A\det A อีกครั้งก็จะได้ II พอดี นี่คือที่มาของสูตร

สูตรผกผันของเมทริกซ์ 2×2

ถ้า det⁡A=ad−bc≠0\det A = ad - bc \ne 0 แล้ว

[abcd]−1=1ad−bc[d−b−ca]\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}

สรุปเป็นสามขั้น สลับสมาชิกบนแนวทแยงหลัก เปลี่ยนเครื่องหมายสมาชิกบนแนวทแยงรอง แล้วคูณทุกตัวด้วย 1det⁡A\tfrac{1}{\det A}

ตัวอย่าง 1

หาผกผันของ A=[2111]A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} แล้วถอดรหัสที่ฝ้ายได้รับ

  1. ตรวจก่อนว่ามีผกผัน det⁡A=2(1)−1(1)=1≠0\det A = 2(1) - 1(1) = 1 \ne 0
  2. สลับ 22 กับ 11 บนแนวทแยงหลัก เปลี่ยนเครื่องหมายสมาชิกนอกแนวทแยง หารด้วย 11 ได้ A−1=[1−1−12]A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}
  3. ตรวจ AA−1AA^{-1} ช่อง (1,1)(1, 1) คือ 2(1)+1(−1)=12(1) + 1(-1) = 1 ช่อง (1,2)(1, 2) คือ 2(−1)+1(2)=02(-1) + 1(2) = 0 ช่องที่เหลือก็ได้ 00 และ 11 จึงได้ II จริง
  4. ต้นส่ง A[xy]=[138]A\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 \\ 8 \end{bmatrix} ฝ้ายคูณ A−1A^{-1} ทางซ้ายทั้งสองข้าง ได้ [xy]=[1−1−12][138]=[53]\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 13 \\ 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} ตรวจ 2(5)+3=132(5) + 3 = 13 และ 5+3=85 + 3 = 8

ตัวอย่างนี้ดีเทอร์มิแนนต์เป็น 11 ขั้นหารจึงไม่เห็นผล ข้อต่อไปดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นหนึ่ง ซึ่งเป็นจุดที่ลืมกันบ่อย

ตัวอย่าง 2

หาผกผันของ A=[4211]A = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}

  1. det⁡A=4(1)−2(1)=2≠0\det A = 4(1) - 2(1) = 2 \ne 0 จึงมีผกผัน
  2. สลับแนวทแยงหลักและเปลี่ยนเครื่องหมาย ได้ [1−2−14]\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}
  3. คูณทุกตัวด้วย 12\tfrac{1}{2} ได้ A−1=[12−1−122]A^{-1} = \begin{bmatrix} \tfrac{1}{2} & -1 \\ -\tfrac{1}{2} & 2 \end{bmatrix}
  4. ตรวจแถวแรกของ AA−1AA^{-1} คอลัมน์แรก 4(12)+2(−12)=14(\tfrac{1}{2}) + 2(-\tfrac{1}{2}) = 1 คอลัมน์สอง 4(−1)+2(2)=04(-1) + 2(2) = 0 ถ้าลืมหารด้วย 22 ช่องแรกจะได้ 22 แทน 11 จับได้ทันที

ลองคิดก่อน

เพื่อนหาผกผันของ [2415]\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 5 \end{bmatrix} โดยกลับเศษส่วนทุกสมาชิก ได้ [1214115]\begin{bmatrix} \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4} \\ 1 & \tfrac{1}{5} \end{bmatrix} ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก ลองคูณกลับ ช่อง (1,1)(1, 1) ได้ 2(12)+4(1)=52(\tfrac{1}{2}) + 4(1) = 5 ไม่ใช่ 11 เพราะผลคูณเมทริกซ์รวมสมาชิกหลายตัวเข้าด้วยกัน การกลับทีละตัวจึงไม่ทำให้ผลรวมออกมาเป็นเอกลักษณ์ ที่ถูกคือ det⁡=10−4=6\det = 10 - 4 = 6 แล้วได้ 16[5−4−12]\tfrac{1}{6}\begin{bmatrix} 5 & -4 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} หลักคือตรวจด้วยการคูณกลับทุกครั้ง

เมื่อดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์

ถ้า det⁡A=0\det A = 0 สูตรต้องหารด้วยศูนย์จึงใช้ไม่ได้ แต่นั่นยังไม่ใช่เหตุผลที่แท้จริง เพราะอาจมีวิธีอื่น เหตุผลที่แท้จริงมาจากสมบัติของดีเทอร์มิแนนต์ในหน้า 40.3 ถ้ามี A−1A^{-1} จริง จะได้ det⁡A⋅det⁡(A−1)=det⁡(AA−1)=det⁡I=1\det A \cdot \det(A^{-1}) = \det(AA^{-1}) = \det I = 1 ผลคูณเป็น 11 ได้ก็ต่อเมื่อ det⁡A≠0\det A \ne 0 ดังนั้นเมทริกซ์จัตุรัสมีผกผันก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์ และได้ผลพลอยได้ว่า det⁡(A−1)=1det⁡A\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det A}

ในภาพของรหัสลับ เมทริกซ์ที่ดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ทำให้คู่ตัวเลขต่างกันส่งออกไปเป็นผลเดียวกันได้ ฝ้ายจึงบอกไม่ได้ว่าตัวเลขเดิมเป็นคู่ไหน ข้อมูลหายไปแล้วกู้คืนไม่ได้

ตัวอย่าง 3

เมทริกซ์ B=[1236]B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} มีผกผันหรือไม่ ถ้าใช้ BB เข้ารหัส จะเกิดอะไรขึ้น

  1. det⁡B=1(6)−2(3)=0\det B = 1(6) - 2(3) = 0 จึงไม่มีผกผัน
  2. สาเหตุคือแถวที่สองเป็นสามเท่าของแถวแรก ตัวเลขที่ส่งออกไปตัวที่สองจึงเป็นสามเท่าของตัวแรกเสมอ ข้อมูลที่ส่งจริงมีแค่ตัวเดียว
  3. ตัวอย่าง B[20]=[26]B\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 6 \end{bmatrix} และ B[01]=[26]B\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 6 \end{bmatrix} เหมือนกัน ผู้รับจึงถอดรหัสไม่ได้

ตัวอย่าง 4

หาค่า kk ทั้งหมดที่ทำให้ [k23k−1]\begin{bmatrix} k & 2 \\ 3 & k - 1 \end{bmatrix} ไม่มีผกผัน

  1. ไม่มีผกผันเมื่อดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ ตั้งสมการ k(k−1)−2(3)=0k(k - 1) - 2(3) = 0
  2. กระจายได้ k2−k−6=0k^2 - k - 6 = 0 แยกตัวประกอบ (k−3)(k+2)=0(k - 3)(k + 2) = 0
  3. ได้ k=3k = 3 หรือ k=−2k = -2 ตรวจ k=3k = 3 ได้ [3232]\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} สองแถวเหมือนกัน และ k=−2k = -2 ได้ [−223−3]\begin{bmatrix} -2 & 2 \\ 3 & -3 \end{bmatrix} แถวสองเป็น −32-\tfrac{3}{2} เท่าของแถวแรก
  4. ค่า kk อื่นทุกค่าทำให้มีผกผัน

สมบัติของผกผันและลำดับการคูณ

ให้ AA และ BB เป็นเมทริกซ์มิติ n×nn \times n ที่มีผกผัน และ k≠0k \ne 0

สมบัติ

  • (A−1)−1=A(A^{-1})^{-1} = A
  • (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}
  • (At)−1=(A−1)t(A^t)^{-1} = (A^{-1})^t
  • (kA)−1=1kA−1(kA)^{-1} = \tfrac{1}{k}A^{-1} และ det⁡(A−1)=1det⁡A\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det A}

ข้อ (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} ลำดับกลับกันเหมือน (AB)t(AB)^t ในหน้า 40.2 นึกถึงการใส่ถุงเท้าแล้วใส่รองเท้า ตอนถอดต้องถอดรองเท้าก่อน การกระทำที่ทำทีหลังต้องย้อนก่อน ตรวจได้จาก (AB)(B−1A−1)=A(BB−1)A−1=AIA−1=AA−1=I(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = AA^{-1} = I

เพราะการคูณเมทริกซ์ไม่สลับที่ เวลาแก้สมการเมทริกซ์ต้องคูณผกผันให้ถูกฝั่ง ถ้า AX=CAX = C ต้องคูณ A−1A^{-1} ทางซ้ายได้ X=A−1CX = A^{-1}C แต่ถ้า XA=CXA = C ต้องคูณ A−1A^{-1} ทางขวาได้ X=CA−1X = CA^{-1}

ตัวอย่าง 5

ให้ A=[2111]A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} และ C=[3253]C = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} หาเมทริกซ์ XX ที่ทำให้ XA=CXA = C

  1. XX อยู่ทางซ้ายของ AA จึงคูณ A−1A^{-1} ทางขวาทั้งสองข้าง XAA−1=CA−1XAA^{-1} = CA^{-1} ได้ X=CA−1X = CA^{-1}
  2. จากตัวอย่าง 1 A−1=[1−1−12]A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}
  3. X=[3253][1−1−12]=[3−2−3+45−3−5+6]=[1121]X = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 - 2 & -3 + 4 \\ 5 - 3 & -5 + 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}
  4. ตรวจ XA=[1121][2111]=[3253]=CXA = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 3 \end{bmatrix} = C ถ้าคำนวณ A−1CA^{-1}C ผิดฝั่งจะได้ [−2−174]\begin{bmatrix} -2 & -1 \\ 7 & 4 \end{bmatrix} ซึ่งไม่ผ่านการตรวจ

ลองคิดก่อน

AA และ BB มีผกผัน เพื่อนเขียน (AB)−1=A−1B−1(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1} เพราะในจำนวนจริง 1ab=1a⋅1b\tfrac{1}{ab} = \tfrac{1}{a} \cdot \tfrac{1}{b} ถูกไหม

ดูคำตอบ

ใช้ได้กับจำนวนจริงเพราะการคูณจำนวนสลับที่ได้ แต่เมทริกซ์ไม่ได้ ลอง (AB)(A−1B−1)(AB)(A^{-1}B^{-1}) ตรงกลางคือ BA−1BA^{-1} ซึ่งไม่หักล้างกันเอง ผลจึงไม่จำเป็นต้องเป็น II ที่ถูกคือ (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} ให้ BB กับ B−1B^{-1} อยู่ติดกันตรงกลาง

การถอดรหัสของฝ้ายคือการแก้ระบบสมการสองตัวแปร 2x+y=132x + y = 13 และ x+y=8x + y = 8 นั่นเอง หน้าถัดไปจะใช้แนวคิดเดียวกันแก้ระบบสมการทั่วไป และเพิ่มกฎของคราเมอร์ที่ใช้ดีเทอร์มิแนนต์ล้วนๆ

สรุป

  • II มีหนึ่งบนแนวทแยงหลัก ศูนย์ที่อื่น และ AI=IA=AAI = IA = A
  • A−1A^{-1} คือเมทริกซ์ที่ AA−1=A−1A=IAA^{-1} = A^{-1}A = I มีผกผันก็ต่อเมื่อ det⁡A≠0\det A \ne 0
  • ผกผัน 2×22 \times 2 สลับแนวทแยงหลัก เปลี่ยนเครื่องหมายแนวทแยงรอง แล้วหารทุกตัวด้วย det⁡A\det A
  • ตรวจคำตอบด้วยการคูณกลับให้ได้ II ทุกครั้ง
  • (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} และ AX=CAX = C ให้ X=A−1CX = A^{-1}C ส่วน XA=CXA = C ให้ X=CA−1X = CA^{-1}