descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 12 ปริซึมและทรงกระบอกตรงกับหนังสือ ม.2 เล่ม 1 บทที่ 3

12.5 โจทย์ปัญหาพื้นที่ผิวและปริมาตร

โจทย์จริงไม่บอกว่าให้หาพื้นที่ผิวหรือปริมาตร มันบอกแค่ว่าจะห่อ จะทาสี จะเติมน้ำ หรือจะขุดดิน ขั้นแรกของทุกข้อจึงเป็นการแปลคำในโจทย์ให้เป็นปริมาณที่ต้องหา

ถามพื้นที่หรือถามปริมาตร

คำในโจทย์ต้องหาหน่วย
ห่อ ทาสี ปู บุ พันฉลาก ใช้วัสดุทำผิวพื้นที่ผิว หรือบางส่วนของมันตารางเซนติเมตร ตารางเมตร
จุ เติม เท บรรจุ ขุด ใช้วัสดุเทจนเต็มปริมาตรลูกบาศก์เซนติเมตร ลูกบาศก์เมตร ลิตร

ขั้นตอนที่ใช้ได้กับทุกข้อ

  1. วาดรูปคร่าวๆ ใส่ตัวเลขที่โจทย์ให้ หาว่าฐานคือหน้าไหน
  2. ดูว่าโจทย์ถามพื้นที่ผิวหรือปริมาตร และต้องนับทุกหน้าหรือไม่
  3. ทำหน่วยให้เหมือนกันก่อนแทนค่า เช่นแปลงเซนติเมตรเป็นเมตรให้หมด
  4. คำนวณ แล้วแปลงหน่วยของคำตอบให้ตรงกับที่โจทย์ถาม เช่นลิตร

แท็งก์น้ำจุกี่ลิตร

ตัวอย่าง 1

แท็งก์เก็บน้ำทรงกระบอกกว้าง 1.41.4 เมตร สูง 1.51.5 เมตร จุน้ำได้กี่ลิตร ใช้ π≈227\pi \approx \tfrac{22}{7}

  1. "กว้าง 1.41.4 เมตร" ของแท็งก์ทรงกระบอกคือเส้นผ่านศูนย์กลาง รัศมีจึงเป็น 0.70.7 เมตร
  2. จุน้ำได้ ถามปริมาตร πr2h≈227×0.7×0.7×1.5=2.31\pi r^2 h \approx \tfrac{22}{7} \times 0.7 \times 0.7 \times 1.5 = 2.31 ลูกบาศก์เมตร
  3. 11 ลูกบาศก์เมตร =1000= 1000 ลิตร แท็งก์นี้จึงจุน้ำได้ 2.31×1000=23102.31 \times 1000 = 2310 ลิตร

สระน้ำเต็มเมื่อไร

ตัวอย่าง 2

สระว่ายน้ำทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ยาว 88 เมตร กว้าง 44 เมตร ลึก 1.51.5 เมตร ใช้เครื่องสูบน้ำที่สูบได้นาทีละ 200200 ลิตร ต้องสูบกี่ชั่วโมงน้ำจึงเต็มสระ

  1. น้ำเต็มสระ ถามปริมาตร =8×4×1.5=48= 8 \times 4 \times 1.5 = 48 ลูกบาศก์เมตร
  2. แปลงเป็นลิตร 48×1000=4800048 \times 1000 = 48000 ลิตร
  3. สูบนาทีละ 200200 ลิตร ใช้เวลา 48000÷200=24048000 \div 200 = 240 นาที
  4. โจทย์ถามเป็นชั่วโมง 240÷60=4240 \div 60 = 4 ชั่วโมง

ท่อกลวง

ของบางอย่างเป็นทรงกระบอกที่มีรูตรงกลาง เช่นท่อคอนกรีตระบายน้ำ เนื้อคอนกรีตคือทรงกระบอกใหญ่ที่เอาทรงกระบอกเล็กข้างในออก

rRh
ท่อกลวง รัศมีวงนอก R รัศมีวงใน r

ตัวอย่าง 3

ท่อคอนกรีตยาว 11 เมตร รัศมีวงนอก 0.50.5 เมตร รัศมีวงใน 0.40.4 เมตร ต้องใช้คอนกรีตกี่ลูกบาศก์เมตร ตอบในรูป π\pi และเป็นทศนิยมสองตำแหน่ง

  1. ปริมาตรทรงกระบอกนอก =π(0.5)2(1)=0.25π= \pi(0.5)^2(1) = 0.25\pi ลูกบาศก์เมตร
  2. ปริมาตรรูตรงกลาง =π(0.4)2(1)=0.16π= \pi(0.4)^2(1) = 0.16\pi ลูกบาศก์เมตร
  3. เนื้อคอนกรีต =0.25π−0.16π=0.09π= 0.25\pi - 0.16\pi = 0.09\pi ลูกบาศก์เมตร ประมาณ 0.280.28 ลูกบาศก์เมตร

ระวังอย่าลบรัศมีก่อนยกกำลัง π(0.5−0.4)2=0.01π\pi(0.5 - 0.4)^2 = 0.01\pi ซึ่งผิด เพราะพื้นที่วงแหวนคือพื้นที่วงกลมใหญ่ลบพื้นที่วงกลมเล็ก ไม่ใช่พื้นที่วงกลมที่มีรัศมีเท่ากับความหนาของท่อ

ซื้อแบบไหนคุ้มกว่า

ตัวอย่าง 4

ขนมยี่ห้อหนึ่งขายสองแบบ แบบกล่องทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ฐานยาวด้านละ 77 เซนติเมตร สูง 1010 เซนติเมตร ราคา 3535 บาท แบบกระป๋องรัศมี 3.53.5 เซนติเมตร สูง 1010 เซนติเมตร ราคา 2828 บาท ถ้าใส่ขนมเต็มทั้งสองแบบ แบบไหนได้ขนมต่อบาทมากกว่า ใช้ π≈227\pi \approx \tfrac{22}{7}

  1. ปริมาตรกล่อง =7×7×10=490= 7 \times 7 \times 10 = 490 ลูกบาศก์เซนติเมตร ได้บาทละ 490÷35=14490 \div 35 = 14 ลูกบาศก์เซนติเมตร
  2. ปริมาตรกระป๋อง ≈227×3.5×3.5×10=385\approx \tfrac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \times 10 = 385 ลูกบาศก์เซนติเมตร ได้บาทละ 385÷28=13.75385 \div 28 = 13.75 ลูกบาศก์เซนติเมตร
  3. แบบกล่องได้ขนมบาทละ 1414 ลูกบาศก์เซนติเมตร มากกว่าแบบกระป๋อง แบบกล่องจึงคุ้มกว่า แม้ราคาจะแพงกว่า

กระป๋องในตัวอย่างนี้ใส่ลงในกล่องได้พอดี เพราะเส้นผ่านศูนย์กลาง 77 เซนติเมตรเท่ากับด้านของฐานกล่อง และสูงเท่ากัน กระป๋องจึงจุได้น้อยกว่ากล่อง ส่วนที่หายไปคือมุมทั้งสี่ของกล่องที่วงกลมไปไม่ถึง

ลองคิดก่อน

แก้วทรงกระบอกสองใบสูงเท่ากัน แต่ใบใหญ่มีรัศมีเป็นสองเท่าของใบเล็ก ใบใหญ่จุน้ำได้เป็นกี่เท่าของใบเล็ก หลายคนตอบว่าสองเท่า

ดูคำตอบ

สี่เท่า ให้ใบเล็กมีรัศมี rr ใบใหญ่มีรัศมี 2r2r ปริมาตรของใบใหญ่คือ π(2r)2h=4πr2h\pi(2r)^2h = 4\pi r^2 h ซึ่งเป็นสี่เท่าของ πr2h\pi r^2 h เพราะรัศมีถูกยกกำลังสองในสูตร ขยายรัศมีสองเท่า พื้นที่ฐานจึงโตขึ้น 2×2=42 \times 2 = 4 เท่า ส่วนถ้าขยายความสูงเป็นสองเท่า ปริมาตรจะเป็นสองเท่าเท่านั้น

สรุป

  • แปลคำในโจทย์ก่อน ห่อ ทา ปู บุ คือพื้นที่ผิว จุ เติม เท ขุด คือปริมาตร
  • ทำหน่วยให้เหมือนกันก่อนคำนวณ แล้วแปลงคำตอบให้ตรงกับที่โจทย์ถาม
  • ของกลวง หาปริมาตรรูปใหญ่แล้วลบส่วนที่เป็นรู
  • รัศมีอยู่ในสูตรแบบยกกำลังสอง ขยายรัศมีสองเท่า ปริมาตรเป็นสี่เท่า