descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 12 ปริซึมและทรงกระบอกตรงกับหนังสือ ม.2 เล่ม 1 บทที่ 3

12.3 พื้นที่ผิวของทรงกระบอก

โรงงานน้ำผลไม้ต้องพิมพ์ฉลากพันรอบกระป๋องวันละหลายหมื่นใบ ถ้าฉลากหนึ่งแผ่นใหญ่เกินไปนิดเดียว กระดาษที่เสียไปทั้งวันก็มากแล้ว การรู้ว่าฉลากต้องใหญ่เท่าไรพอดี คือการหาพื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก

ผิวข้างคลี่ออกเป็นสี่เหลี่ยม

หน้า 12.1 ลอกฉลากออกมาแล้วได้รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก ด้านหนึ่งยาวเท่าความสูง hh อีกด้านหนึ่งยาวเท่าเส้นรอบวงของฐาน 2πr2\pi r

rhยาวเท่าเส้นรอบวงของฐาน2πrh
ผิวข้างของทรงกระบอกคลี่ออกได้รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมนี้คือ ยาว คูณ กว้าง =2πr×h= 2\pi r \times h ส่วนฐานทั้งสองเป็นวงกลม แต่ละวงมีพื้นที่ πr2\pi r^2 รวมกันเป็นพื้นที่ผิวทั้งหมด

พื้นที่ผิวของทรงกระบอก

ทรงกระบอกรัศมีของฐาน rr และสูง hh

พื้นที่ผิวข้าง=2πrh\text{พื้นที่ผิวข้าง} = 2\pi r hพื้นที่ผิว=2πrh+2πr2\text{พื้นที่ผิว} = 2\pi r h + 2\pi r^2

เทียบกับปริซึมในหน้า 12.2 จะเห็นว่าเป็นความคิดเดียวกัน ความยาวรอบฐานของทรงกระบอกคือเส้นรอบวง 2πr2\pi r พื้นที่ผิวข้างจึงเป็นความยาวรอบฐานคูณความสูง แล้วบวกพื้นที่ฐานอีกสองเท่า

ใช้ π แบบไหน

π\pi เป็นจำนวนอตรรกยะ มีค่าประมาณ 3.14159…3.14159\ldots เขียนเป็นทศนิยมให้จบไม่ได้ โจทย์จึงตกลงกันได้สามแบบ

  • ตอบในรูป π\pi เช่น 170π170\pi ตารางเซนติเมตร เป็นค่าที่แม่นที่สุด ใช้เมื่อโจทย์ไม่ได้บอกค่าของ π\pi
  • ใช้ π≈227\pi \approx \tfrac{22}{7} เมื่อโจทย์กำหนด สะดวกมากเมื่อรัศมีเป็น 77 1414 หรือ 3.53.5 เพราะตัด 77 ได้ลงตัว
  • ใช้ π≈3.14\pi \approx 3.14 เมื่อโจทย์กำหนด หรือเมื่อต้องการคำตอบเป็นทศนิยมเพื่อเอาไปใช้จริง

สามแบบได้คำตอบใกล้กันแต่ไม่เท่ากันพอดี ให้ใช้แบบที่โจทย์บอก

ตัวอย่าง 1

กระป๋องน้ำผลไม้รัศมี 3.53.5 เซนติเมตร สูง 1010 เซนติเมตร ฉลากที่พันรอบกระป๋องพอดีมีพื้นที่เท่าไร และถ้ารวมฝากับก้นกระป๋อง ต้องใช้แผ่นโลหะเท่าไร ใช้ π≈227\pi \approx \tfrac{22}{7}

  1. ฉลากคือผิวข้าง 2πrh≈2×227×3.5×10=2202\pi r h \approx 2 \times \tfrac{22}{7} \times 3.5 \times 10 = 220 ตารางเซนติเมตร
  2. ฐานหนึ่งวง πr2≈227×3.5×3.5=38.5\pi r^2 \approx \tfrac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 = 38.5 ตารางเซนติเมตร สองวงได้ 7777 ตารางเซนติเมตร
  3. แผ่นโลหะทั้งหมด =220+77=297= 220 + 77 = 297 ตารางเซนติเมตร

ตัวอย่าง 2

ถังทรงกระบอกมีฝา รัศมี 55 เซนติเมตร สูง 1212 เซนติเมตร มีพื้นที่ผิวเท่าไร ตอบในรูป π\pi และเป็นทศนิยมสองตำแหน่ง

  1. พื้นที่ผิวข้าง =2π(5)(12)=120π= 2\pi(5)(12) = 120\pi ตารางเซนติเมตร
  2. พื้นที่ฐานสองฐาน =2π(52)=50π= 2\pi(5^2) = 50\pi ตารางเซนติเมตร
  3. พื้นที่ผิว =120π+50π=170π= 120\pi + 50\pi = 170\pi ตารางเซนติเมตร
  4. ใช้ π≈3.14159\pi \approx 3.14159 ได้ประมาณ 534.07534.07 ตารางเซนติเมตร ถ้าใช้ π≈3.14\pi \approx 3.14 จะได้ 533.8533.8 ต่างกันไม่ถึงหนึ่งตารางเซนติเมตร

ลองคิดก่อน

แกนกระดาษทิชชูเป็นทรงกระบอกกลวงไม่มีฝาทั้งสองข้าง เส้นผ่านศูนย์กลาง 44 เซนติเมตร สูง 1010 เซนติเมตร เพื่อนคิดว่าใช้กระดาษแข็ง 2π(4)(10)+2π(42)=112π2\pi(4)(10) + 2\pi(4^2) = 112\pi ตารางเซนติเมตร เพื่อนพลาดกี่จุด

ดูคำตอบ

พลาดสองจุด จุดแรก 44 เซนติเมตรเป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง รัศมีคือ 22 เซนติเมตร จุดที่สอง แกนทิชชูไม่มีฝาทั้งสองข้าง จึงมีแค่ผิวข้าง ไม่ต้องบวกพื้นที่ฐาน คำตอบที่ถูกคือ 2π(2)(10)=40π2\pi(2)(10) = 40\pi ตารางเซนติเมตร หรือประมาณ 125.66125.66 ตารางเซนติเมตร น้อยกว่าที่เพื่อนคิดเกือบสามเท่า

ผิวข้างที่กลิ้งไปบนพื้น

ตัวอย่าง 3

ลูกกลิ้งทาสีเป็นทรงกระบอกรัศมี 3.53.5 เซนติเมตร ยาว 2020 เซนติเมตร กลิ้งไปบนผนังหนึ่งรอบทาสีได้พื้นที่เท่าไร ถ้ากลิ้ง 5050 รอบโดยไม่ทับที่เดิม ทาได้กี่ตารางเมตร ใช้ π≈227\pi \approx \tfrac{22}{7}

  1. กลิ้งหนึ่งรอบ ผิวข้างทั้งหมดแตะผนังพอดีหนึ่งครั้ง พื้นที่ที่ทาได้จึงเท่ากับพื้นที่ผิวข้าง ไม่รวมฐานซึ่งไม่ได้แตะผนัง
  2. พื้นที่ผิวข้าง =2πrh≈2×227×3.5×20=440= 2\pi r h \approx 2 \times \tfrac{22}{7} \times 3.5 \times 20 = 440 ตารางเซนติเมตร
  3. กลิ้ง 5050 รอบ ทาได้ 50×440=2200050 \times 440 = 22000 ตารางเซนติเมตร
  4. 11 ตารางเมตร =100×100=10000= 100 \times 100 = 10000 ตารางเซนติเมตร จึงทาได้ 22000÷10000=2.222000 \div 10000 = 2.2 ตารางเมตร

ขั้นสุดท้ายพลาดกันบ่อย 11 เมตรเท่ากับ 100100 เซนติเมตร แต่ 11 ตารางเมตรเท่ากับ 1000010000 ตารางเซนติเมตร เพราะต้องคูณ 100100 ทั้งด้านกว้างและด้านยาว

สรุป

  • ผิวข้างของทรงกระบอกคลี่ออกเป็นสี่เหลี่ยมยาว 2πr2\pi r กว้าง hh พื้นที่ผิวข้าง =2πrh= 2\pi r h
  • พื้นที่ผิว =2πrh+2πr2= 2\pi r h + 2\pi r^2
  • ตอบในรูป π\pi เมื่อโจทย์ไม่ได้บอกค่า ถ้าโจทย์ให้ 227\tfrac{22}{7} หรือ 3.143.14 ให้ใช้ตามนั้น
  • ตรวจว่าโจทย์ให้รัศมีหรือเส้นผ่านศูนย์กลาง และต้องนับฐานหรือไม่
  • 11 ตารางเมตร =10000= 10000 ตารางเซนติเมตร