descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 33 ตรรกศาสตร์ตรงกับหนังสือ พื้นฐาน ม.4 บทที่ 2 และเพิ่มเติม ม.4 เล่ม 1 บทที่ 2เพิ่มเติม

33.4 สมมูล นิเสธ และสัจนิรันดร์

ครูถามว่า ไม่ใช่ว่าทั้งเอและบีมาสาย หมายความว่าอย่างไร นักเรียนครึ่งห้องตอบว่า เอและบีมาตรงเวลาทั้งคู่ แต่ถ้าเอมาสายและบีมาตรงเวลา ประโยคของครูก็ยังจริง เพราะไม่ได้สายทั้งคู่ คำตอบของนักเรียนครึ่งห้องจึงพูดเกินจากที่ครูพูด

ปัญหานี้แก้ได้ด้วยการเขียนประโยคใหม่ที่มีค่าความจริงเหมือนประโยคเดิมทุกกรณี ประโยคใหม่อ่านง่ายกว่าแต่ความหมายไม่เปลี่ยน หน้านี้จะหาเครื่องมือทำแบบนั้น และใช้เครื่องมือเดียวกันเขียนนิเสธของประโยคยาวๆ ได้ถูกต้อง

สมมูลต้องตรงทุกแถว

นิยาม

รูปแบบประพจน์ PP และ QQ สมมูลกัน เมื่อมีค่าความจริงตรงกันทุกกรณีของประพจน์ย่อย เขียน P≡QP\equiv Q

นิยามนี้คล้ายเอกลักษณ์ในบทที่ 15 ที่บอกว่า (x+3)2=x2+6x+9(x+3)^2=x^2+6x+9 จริงทุกค่า xx การแทน xx ค่าเดียวแล้วสองข้างเท่ากันยังพิสูจน์เอกลักษณ์ไม่ได้ แต่ค่าเดียวที่สองข้างไม่เท่ากันพอจะหักล้าง เช่น (x+3)2(x+3)^2 กับ x2+9x^2+9 ที่ x=1x=1 ได้ 1616 กับ 1010 สมมูลก็เหมือนกัน แถวเดียวที่ตรงกันพิสูจน์ไม่ได้ แต่แถวเดียวที่ต่างกันพอจะบอกว่าไม่สมมูล

ตัวอย่าง 1

แสดงว่า p→q≡∼p∨qp\to q\equiv\sim p\vee q แล้วอธิบายด้วยประโยค ถ้าฝนตก แล้วต้นจะพกร่ม

  1. ทำตารางสี่แถว คอลัมน์ p→qp\to q จากหน้า 33.2 คือ T F T T
  2. คอลัมน์ ∼p\sim p คือ F F T T จากนั้น ∼p∨q\sim p\vee q เท็จเมื่อทั้ง ∼p\sim p และ qq เท็จ ซึ่งเกิดแถวเดียวคือแถวที่สอง ได้ T F T T
  3. สองคอลัมน์ตรงกันทุกแถว จึงสมมูลกัน
  4. ในภาษาพูด ถ้าฝนตกแล้วต้นพกร่ม มีความหมายเดียวกับ ฝนไม่ตก หรือ ต้นพกร่ม คือวันใดก็ตาม ต้องเป็นวันที่ฝนไม่ตก ไม่ก็เป็นวันที่ต้นพกร่ม วันที่ผิดคำพูดคือวันที่ฝนตกและไม่พกร่ม ซึ่งทั้งสองรูปเท็จตรงกัน

ตรวจแบบเดียวกันจะได้รูปแบบสมมูลที่ใช้บ่อย

สมบัติ

  • p→q≡∼p∨qp\to q\equiv\sim p\vee q
  • ∼(p∧q)≡∼p∨∼q\sim(p\wedge q)\equiv\sim p\vee\sim q
  • ∼(p∨q)≡∼p∧∼q\sim(p\vee q)\equiv\sim p\wedge\sim q
  • p→q≡∼q→∼pp\to q\equiv\sim q\to\sim p
  • ∼(p→q)≡p∧∼q\sim(p\to q)\equiv p\wedge\sim q
  • ∼(∼p)≡p\sim(\sim p)\equiv p

กฎของเดอมอร์แกน

สูตรที่สองและสามเรียกว่ากฎของเดอมอร์แกน ใช้เขียนนิเสธของประโยคที่มี และ หรือ หรือ ความคิดเบื้องหลังคือ

  • ∼(p∧q)\sim(p\wedge q) แปลว่า ไม่ได้จริงทั้งคู่ ก็คือมีอย่างน้อยหนึ่งตัวที่ไม่จริง ได้ ∼p∨∼q\sim p\vee\sim q
  • ∼(p∨q)\sim(p\vee q) แปลว่า ไม่มีตัวไหนจริงเลย ก็คือทั้งสองตัวไม่จริง ได้ ∼p∧∼q\sim p\wedge\sim q

ถ้าคิดว่าวงกลมแต่ละวงคือกลุ่มของสถานการณ์ที่ประพจน์นั้นจริง จะเห็นภาพเดียวกับบทที่ 32 ส่วนซ้อน A∩BA\cap B คือสถานการณ์ที่จริงทั้งคู่ ส่วนที่อยู่นอกส่วนซ้อนคือ (A∩B)′(A\cap B)' ซึ่งเท่ากับ A′∪B′A'\cup B' คืออยู่นอกวงแรก หรืออยู่นอกวงที่สอง

pqp ∧ qpq∼(p ∧ q)
ส่วนที่ระบายทางขวาคือทุกที่ที่อยู่นอกวง p หรืออยู่นอกวง q ซึ่งก็คือ ∼p ∨ ∼q

ตัวอย่าง 2

เขียนนิเสธของ เอและบีมาสาย ให้เป็นประโยคที่ไม่มีคำว่า ไม่ใช่ว่า นำหน้าทั้งประโยค

  1. ให้ pp แทน เอมาสาย และ qq แทน บีมาสาย ประโยคเดิมคือ p∧qp\wedge q
  2. นิเสธคือ ∼(p∧q)\sim(p\wedge q) ใช้เดอมอร์แกน เปลี่ยน และ เป็น หรือ และปฏิเสธทั้งสองตัว ได้ ∼p∨∼q\sim p\vee\sim q
  3. อ่านว่า เอไม่มาสาย หรือ บีไม่มาสาย คือมีอย่างน้อยหนึ่งคนที่ไม่สาย
  4. คำตอบ เอและบีมาตรงเวลาทั้งคู่ คือ ∼p∧∼q\sim p\wedge\sim q ซึ่งต่างจาก ∼p∨∼q\sim p\vee\sim q ในแถว p=Tp=T q=Fq=F จึงไม่ใช่นิเสธ

ตัวอย่าง 3

เขียนนิเสธของ ถ้าอ่านหนังสือครบ แล้วจะส่งงาน

  1. ให้ pp แทน อ่านครบ และ qq แทน ส่งงาน ประโยคเดิมคือ p→qp\to q
  2. นิเสธต้องจริงพอดีในกรณีที่ประโยคเดิมเท็จ ลูกศรเท็จกรณีเดียวคือ pp จริงและ qq เท็จ จึงได้ p∧∼qp\wedge\sim q
  3. ได้ผลเดียวกันจากสูตร เขียน p→qp\to q เป็น ∼p∨q\sim p\vee q แล้วใช้เดอมอร์แกน ∼(∼p∨q)≡∼∼p∧∼q≡p∧∼q\sim(\sim p\vee q)\equiv\sim\sim p\wedge\sim q\equiv p\wedge\sim q
  4. อ่านว่า อ่านครบแต่ไม่ส่งงาน ไม่ใช่ ถ้าไม่อ่านครบแล้วไม่ส่งงาน นิเสธของลูกศรไม่มีลูกศรเหลืออยู่

ลองคิดก่อน

p→qp\to q กับ q→pq\to p สมมูลกันหรือไม่

ดูคำตอบ

ไม่สมมูล ลอง p=Tp=T และ q=Fq=F ตัวแรกเท็จแต่ตัวหลังจริง q→pq\to p คือบทกลับในบทที่ 19 ซึ่งอาจเท็จทั้งที่ข้อความเดิมจริง รูปที่สมมูลกับ p→qp\to q คือ ∼q→∼p\sim q\to\sim p ที่ต้องสลับและนิเสธพร้อมกัน เรียกว่าแย้งสลับที่

ใช้สมมูลทีละขั้น

การสร้างตารางเป็นวิธีตรวจครบทุกกรณี อีกวิธีคือแปลงด้วยกฎที่รับรองแล้วโดยเขียนแต่ละขั้นให้เห็น เหมือนการจัดรูปพหุนามในบทที่ 15 ที่ทำทีละขั้นและบอกว่าใช้สมบัติอะไร การเปลี่ยนหลายอย่างพร้อมกันทำให้ตรวจข้อผิดพลาดยาก

ตัวอย่าง 4

แปลง ∼(p∨∼q)\sim(p\vee\sim q) ให้ไม่มีนิเสธครอบวงเล็บ

  1. ใช้เดอมอร์แกน เปลี่ยน หรือ เป็น และ แล้วปฏิเสธทุกตัวในวงเล็บ ได้ ∼p∧∼(∼q)\sim p\wedge\sim(\sim q)
  2. นิเสธซ้อนสองครั้งคืนค่าความจริงเดิม จึงได้ ∼p∧q\sim p\wedge q
  3. ตรวจด้วยหนึ่งแถว ที่ p=Fp=F q=Tq=T รูปเดิมได้ ∼(F∨F)=T\sim(F\vee F)=T รูปใหม่ได้ T∧T=TT\wedge T=T ตรงกัน แถวเดียวยังพิสูจน์ไม่ได้ แต่ช่วยจับการคัดลอกผิดได้

อย่าหยุดที่ปฏิเสธเพียง pp แล้วคง ∼q\sim q ไว้ เพราะนิเสธวงเล็บต้องกระจายไปถึงทั้งสองส่วน การเขียนนิเสธซ้อนก่อนลบออกทำให้ติดตามขอบเขตได้ชัด

ลองคิดก่อน

เพื่อนเขียนนิเสธของ p∨qp\vee q เป็น ∼p∨∼q\sim p\vee\sim q เพราะคิดว่าแค่เติมนิเสธหน้าทุกตัว ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก ลืมเปลี่ยนตัวเชื่อม ลองแถว p=Tp=T q=Fq=F ประโยคเดิม p∨qp\vee q จริง นิเสธจึงต้องเท็จ แต่ ∼p∨∼q=F∨T=T\sim p\vee\sim q=F\vee T=T ที่ถูกคือ ∼p∧∼q\sim p\wedge\sim q ซึ่งได้ F∧T=FF\wedge T=F

สัจนิรันดร์

นิยาม

รูปแบบประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี เรียกว่าสัจนิรันดร์

ตัวอย่างง่ายที่สุดคือ p∨∼pp\vee\sim p ไม่ว่า pp จะจริงหรือเท็จ ตัวใดตัวหนึ่งในสองท่อนจริงเสมอ ถ้าบางแถวจริงบางแถวเท็จ ก็ไม่เป็นสัจนิรันดร์

สัจนิรันดร์สำคัญเพราะเชื่อมกับหน้า 33.3 การอ้างเหตุผลที่มีเหตุ P1P_1 ถึง PnP_n และข้อสรุป QQ จะสมเหตุสมผลก็ต่อเมื่อ (P1∧⋯∧Pn)→Q(P_1\wedge\cdots\wedge P_n)\to Q เป็นสัจนิรันดร์ เพราะลูกศรนี้เท็จได้ทางเดียวคือเหตุทั้งหมดจริงแต่ข้อสรุปเท็จ ซึ่งก็คือกรณีค้านนั่นเอง

วิธีลัดตรวจสัจนิรันดร์ แทนที่จะทำตารางเต็ม ให้สมมติว่ารูปแบบนั้นเท็จ แล้วย้อนหาค่าแบบหน้า 33.2 ถ้าย้อนไปแล้วเจอข้อขัดแย้ง เช่นต้องให้ qq เป็นทั้งจริงและเท็จ แปลว่าเท็จไม่ได้เลย จึงเป็นสัจนิรันดร์ ถ้าย้อนได้ค่าที่ไม่ขัดกัน ค่านั้นคือแถวที่เท็จ

ตัวอย่าง 5

ตรวจว่า [p∧(p→q)]→q[p\wedge(p\to q)]\to q เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

  1. สมมติให้ทั้งรูปเท็จ ตัวเชื่อมหลักเป็นลูกศร จึงต้องมีเหตุ p∧(p→q)p\wedge(p\to q) จริง และผล qq เท็จ
  2. เหตุเป็น และ ที่จริง จึงได้ pp จริง และ p→qp\to q จริง
  3. แต่ pp จริงกับ qq เท็จ ทำให้ p→qp\to q เท็จ ขัดกับขั้นที่ 2
  4. สมมติฐานว่าเท็จพาไปสู่ข้อขัดแย้ง รูปนี้จึงเท็จไม่ได้ เป็นสัจนิรันดร์ และนี่คือเหตุผลที่การยืนยันเหตุในหน้า 33.3 สมเหตุสมผล

ตัวอย่าง 6

ตรวจว่า (p→q)→(q→p)(p\to q)\to(q\to p) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

  1. สมมติให้ทั้งรูปเท็จ ต้องมีเหตุ p→qp\to q จริง และผล q→pq\to p เท็จ
  2. ผล q→pq\to p เท็จบังคับ q=Tq=T และ p=Fp=F
  3. ตรวจเหตุด้วยค่านี้ p→q=F→T=Tp\to q=F\to T=T จริงตามที่ต้องการ ไม่มีข้อขัดแย้ง
  4. จึงได้แถว p=Fp=F q=Tq=T ที่ทำให้รูปนี้เท็จ ไม่เป็นสัจนิรันดร์ ผลนี้บอกอีกครั้งว่าข้อความที่จริงไม่ได้ทำให้บทกลับจริงตาม

หน้าถัดไปจะขยายนิเสธจากประโยคที่มี และ หรือ ไปเป็นประโยคที่มีคำว่า ทุก และ บาง ซึ่งใช้ความคิดแบบเดอมอร์แกนเหมือนกัน

สรุป

  • สมมูลต้องตรงทุกแถว แถวเดียวที่ต่างกันพอจะหักล้าง
  • p→q≡∼p∨q≡∼q→∼pp\to q\equiv\sim p\vee q\equiv\sim q\to\sim p แต่ไม่สมมูลกับบทกลับ q→pq\to p
  • นิเสธวงเล็บต้องเปลี่ยนตัวเชื่อมและปฏิเสธทุกตัว ตามกฎของเดอมอร์แกน
  • นิเสธของ p→qp\to q คือ p∧∼qp\wedge\sim q
  • สัจนิรันดร์ต้องจริงครบทุกกรณี ตรวจเร็วด้วยการสมมติให้เท็จแล้วหาข้อขัดแย้ง