43.6 แบบฝึกหัด

การจัดชุดทำเป็นสองขั้นต่อกัน ขั้นแรกเลือกข้าวได้ $4$ แบบ ขั้นที่สองเลือกน้ำได้ $3$ แบบ และน้ำทั้งสามแบบเลือกได้กับข้าวทุกแบบ ตามหลักการคูณจึงได้ $4\times3=12$ ชุด ถ้าบวกเป็น $4+3=7$ จะเป็นการเลือกข้าวหรือน้ำอย่างใดอย่างหนึ่ง ซึ่งไม่ได้ชุดที่มีครบทั้งสองอย่าง

ถามทีละข้อว่าสลับคนแล้วได้ผลลัพธ์ใหม่หรือไม่ เลือกประธานกับรอง ถ้าสลับสองคนหน้าที่จะเปลี่ยน จึงเป็นการเรียงสับเปลี่ยน จัดแถวถ่ายรูป สลับคนแล้วแถวเปลี่ยน จึงเป็นการเรียงสับเปลี่ยนเช่นกัน ส่วนทีมสามคนที่ไม่มีตำแหน่ง สลับลำดับการเรียกชื่อแล้วยังเป็นทีมเดิม ลำดับไม่มีผล จึงใช้การจัดหมู่โดยตรง

สองตำแหน่งมีหน้าที่ต่างกัน ลำดับจึงมีผล ตำแหน่งประธานเลือกได้ $7$ คน เมื่อได้ประธานแล้ว เลขาต้องเป็นคนอื่นจึงเหลือ $6$ คน ตามหลักการคูณได้ $7\times6=42$ วิธี ซึ่งก็คือ $P_{7,2}=\dfrac{7!}{5!}=42$

ทีมไม่มีตำแหน่ง สลับคนในทีมแล้วยังเป็นทีมเดิม จึงใช้การจัดหมู่ ถ้านับแบบสนลำดับจะได้ $9\times8\times7=504$ แต่ทีมหนึ่งทีมถูกนับซ้ำ $3!=6$ ครั้งตามลำดับการเรียกชื่อ จึงหารด้วย $6$ ได้ $\binom{9}{3}=\dfrac{9\times8\times7}{3\times2\times1}=84$ ทีม

ให้สี่คนคือ A B C D ถ้านับแบบสนลำดับ คนแรกเลือกได้ $4$ คน คนที่สองเหลือ $3$ คน ได้ $4\times3=12$ แบบ คือ AB BA AC CA AD DA BC CB BD DB CD DC แต่การเลือกสองคนที่ไม่มีตำแหน่ง AB กับ BA เป็นคู่เดียวกัน ทุกคู่จึงปรากฏสองครั้งพอดี คือ $2!$ ครั้ง จำนวนคู่จริงคือ $12\div2=6$ คู่ ได้แก่ AB AC AD BC BD CD ตรงกับ $\binom{4}{2}=\dfrac{4\times3}{2!}=6$

รหัสไม่ใช่จำนวน จึงขึ้นต้นด้วยศูนย์ได้ หลักแรกเลือกได้ทั้ง $10$ ตัวคือ $0$ ถึง $9$ หลักที่สองห้ามซ้ำหลักแรกจึงเหลือ $9$ ตัว หลักที่สามเหลือ $8$ ตัว ตามหลักการคูณได้ $10\times9\times8=720$ รหัส ถ้าเป็นจำนวนสามหลักจะต้องตัดศูนย์ออกจากหลักแรกและได้ $9\times9\times8=648$ ซึ่งไม่ใช่คำถามนี้

งานแบ่งเป็นสองขั้น ขั้นแรกเลือกกรรมการฝ่ายศิลป์ $2$ คนจาก $5$ คน ไม่มีตำแหน่งจึงได้ $\binom{5}{2}=\dfrac{5\times4}{2}=10$ วิธี ขั้นที่สองเลือกฝ่ายกีฬา $2$ คนจาก $4$ คน ได้ $\binom{4}{2}=\dfrac{4\times3}{2}=6$ วิธี คณะหนึ่งต้องมีครบทั้งสองฝ่าย จึงจับคู่ทุกแบบของฝ่ายศิลป์กับทุกแบบของฝ่ายกีฬา ตามหลักการคูณได้ $10\times6=60$ คณะ

เขียน $(1+x)^6$ เป็นผลคูณของวงเล็บ $(1+x)$ หกวง พจน์ $x^3$ เกิดเมื่อหยิบ $x$ จากสามวงเล็บและหยิบ $1$ จากอีกสามวงเล็บ จำนวนวิธีเลือกสามวงเล็บที่จะหยิบ $x$ คือ $\binom{6}{3}=\dfrac{6\times5\times4}{3\times2\times1}=20$ หรือใช้พจน์ทั่วไป $T_{r+1}=\binom{6}{r}1^{6-r}x^r$ กับ $r=3$ ก็ได้ $\binom{6}{3}=20$ เช่นกัน ตรงกับเลขกลางของแถว $n=6$ ในสามเหลี่ยมปาสคาล