32.5 จำนวนสมาชิกและโจทย์ปัญหา
ในห้องหนึ่งมีคนสมัครกีฬาหลายชนิด การบวกยอดแต่ละชมรมตรงๆ ทำให้ยอดเกินจำนวนนักเรียน เพราะคนเดียวอาจสมัครหลายชมรม เช่น ห้องมี คน สมัครฟุตบอล คน สมัครแบดมินตัน คน บวกกันได้ ซึ่งมากกว่าคนทั้งห้อง ตัวเลขไม่ได้ผิด แต่บอกเราว่ามีคนถูกนับสองครั้ง หน้านี้ใช้แผนภาพเวนน์จากหน้า 32.4 นับจำนวนคนในแต่ละบริเวณให้ไม่ซ้ำ โดยต้องเริ่มนับจากบริเวณซ้อนกัน
สองเซต
ให้ เป็นจำนวนสมาชิกในบริเวณ ก ข ค ของหน้าที่แล้ว คือในเฉพาะ ในทั้งสองเซต และในเฉพาะ จะได้ และ เมื่อบวกสองยอดนี้ได้ บริเวณ ข ถูกนับสองครั้ง ขณะที่ ต้องนับแต่ละบริเวณครั้งเดียวคือ จึงต้องลบ คืนหนึ่งครั้ง
สมบัติ
สูตรนี้มีตัวแปรสี่ตัว ถ้าโจทย์ให้มาสามตัว ก็หาตัวที่เหลือได้เสมอ ถ้า กับ ไม่มีส่วนร่วมกัน สูตรจะเหลือแค่การบวกธรรมดา
คำในโจทย์บอกว่าต้องการบริเวณไหน คำว่า อย่างน้อยหนึ่ง หมายถึงยูเนียน คือ ก ข ค คำว่า ทั้งสอง คือ ข คำว่า เพียงอย่างเดียว ต้องตัดบริเวณซ้อนออก คือ ก หรือ ค ส่วน ไม่เลือกเลย คือบริเวณ ง หาได้จากจำนวนทั้งหมดลบจำนวนในยูเนียน
ตัวอย่าง 1
นักเรียน คน ชอบฟุตบอล คน ชอบแบดมินตัน คน ชอบทั้งคู่ คน มีกี่คนที่ไม่ชอบกีฬาชนิดใดเลยในสองชนิดนี้
- เติมบริเวณซ้อนก่อน เพราะเป็นตัวเลขเดียวที่รู้แน่ว่าอยู่บริเวณเดียว ใส่ ในส่วนที่ชอบทั้งคู่
- ยอด ของฟุตบอลรวมคน คนนั้นอยู่แล้ว ชอบฟุตบอลอย่างเดียวจึงเป็น คน ทำแบบเดียวกันได้ชอบแบดมินตันอย่างเดียว คน
- ชอบอย่างน้อยหนึ่งชนิดคือสามบริเวณรวมกัน คน ตรงกับสูตร
- ไม่ชอบเลยคือคนที่เหลือนอกสองวง คน
- ตรวจ ทุกบริเวณไม่ติดลบ และ ครบห้องพอดี
ลองคิดก่อน
ชอบทั้งคู่ คน หมายความว่าชอบเพียงอย่างละ คนหรือไม่
ดูคำตอบ
ไม่ใช่ ทั้งคู่คือบริเวณซ้อนกัน ส่วนเพียงอย่างเดียวต้องหักบริเวณซ้อนจากยอดของแต่ละกลุ่ม ในตัวอย่าง 1 ชอบแบดมินตันอย่างเดียวบังเอิญได้ เท่ากับส่วนซ้อนพอดี แต่ชอบฟุตบอลอย่างเดียวได้ ตัวเลขสองตัวนี้มาจากคนละบริเวณ
ตัวอย่าง 2
นักเรียน คนสอบสองวิชา ผ่านคณิตศาสตร์ คน ผ่านวิทยาศาสตร์ คน ไม่ผ่านทั้งสองวิชา คน มีกี่คนที่ผ่านทั้งสองวิชา
- โจทย์นี้ไม่ได้ให้ส่วนซ้อน แต่ให้บริเวณนอกสองวง จึงเริ่มจากหาจำนวนในยูเนียน คนที่ผ่านอย่างน้อยหนึ่งวิชาคือคนที่เหลือ คน
- แทนในสูตร ย้ายข้างได้ คน
- ทำไมจึงได้แบบนี้ ยอด เกิน ไป ส่วนที่เกินคือคนที่ถูกนับสองครั้ง ซึ่งก็คือคนที่ผ่านทั้งสองวิชา
- ตรวจด้วยการเติมบริเวณ ผ่านคณิตศาสตร์อย่างเดียว ผ่านวิทยาศาสตร์อย่างเดียว รวม ครบ
ตัวอย่าง 3
สำรวจลูกค้าร้านเครื่องดื่ม คน ดื่มชา คน ดื่มกาแฟ คน และดื่มชาอย่างเดียว คน มีกี่คนที่ไม่ดื่มทั้งสองอย่าง
- ข้อมูลที่ให้เป็นบริเวณเดียวคือดื่มชาอย่างเดียว คน ยอดชา คนประกอบด้วยชาอย่างเดียวกับดื่มทั้งสอง จึงได้ดื่มทั้งสอง คน
- เมื่อรู้ส่วนซ้อนแล้ว ดื่มกาแฟอย่างเดียว คน
- ดื่มอย่างน้อยหนึ่งอย่าง คน ไม่ดื่มทั้งสองอย่าง คน
- โจทย์นี้ต่างจากตัวอย่าง 1 ตรงที่ไม่ได้ให้ส่วนซ้อนมาตรงๆ แต่หลักเดิมยังใช้ได้ คือหาบริเวณที่ระบุได้แน่ก่อน แล้วใช้ยอดรวมของแต่ละวงหาบริเวณถัดไป
ลองคิดก่อน
ร้านหนึ่งรายงานว่าสำรวจลูกค้า คน ชอบเมนู ก คน ชอบเมนู ข คน ชอบทั้งสองเมนู คน ข้อมูลนี้เป็นไปได้หรือไม่
ดูคำตอบ
เป็นไปไม่ได้ ชอบอย่างน้อยหนึ่งเมนูจะเป็น คน มากกว่าคนที่สำรวจทั้งหมด หรือถ้าเติมบริเวณจะได้บริเวณนอกวงเป็น คน ซึ่งติดลบ หลังเติมทุกบริเวณแล้ว ต้องตรวจเสมอว่าไม่มีบริเวณใดติดลบ และผลรวมไม่เกินจำนวนทั้งหมด ถ้าผิดเงื่อนไขนี้ แสดงว่าคำนวณผิดหรือข้อมูลขัดกันเอง
สามเซต
สามวงแบ่ง เป็นแปดบริเวณ วิธีที่ปลอดภัยที่สุดคือเติมจากตรงกลางออกมา เริ่มเติมบริเวณที่อยู่ทั้งสามเซตก่อน จากนั้นหาบริเวณที่อยู่สองเซตพอดี แล้วจึงเติมบริเวณที่อยู่เซตเดียว เหตุที่ต้องเรียงแบบนี้ เพราะตัวเลขที่โจทย์ให้แต่ละตัวรวมบริเวณที่อยู่ลึกกว่าไว้แล้ว ต้องรู้บริเวณด้านในก่อนจึงจะหักออกได้
ถ้าใช้สูตร ต้องระวังว่าจำนวนจุดตัดเป็นคู่รวมคนที่อยู่ทั้งสามแล้ว
เหตุที่บวกจุดตัดสามเซตกลับมา เพราะคนในบริเวณนี้ถูกบวกสามครั้งในยอดรายเซต และถูกลบสามครั้งในจุดตัดเป็นคู่ เหลือศูนย์ ต้องคืนอีกหนึ่งครั้ง ส่วนคนที่อยู่สองเซตพอดีถูกบวกสองครั้งและลบหนึ่งครั้ง เหลือหนึ่งครั้งพอดีอยู่แล้ว หลังเติมทุกบริเวณ ผลรวมต้องไม่เกินจำนวนทั้งหมดและไม่มีบริเวณใดติดลบ
ตัวอย่าง 4
ชมรม มีสมาชิก คน อยู่ทั้ง และ คน ทั้ง และ คน ทั้ง และ คน และอยู่ทั้งสามชมรม คน มีคนอยู่ในชมรมอย่างน้อยหนึ่งชมรมกี่คน
- บวกยอดรายชมรมได้ แต่มีการนับซ้ำ เพราะคนที่อยู่หลายชมรมถูกนับหลายครั้ง
- ใช้สูตร ลบจุดตัดเป็นคู่ แล้วบวกสามเซตคืน ได้ คน
- ตรวจด้วยการเติมบริเวณจากตรงกลาง ทั้งสามชมรม คน
- สองชมรมพอดี หักคน คนออกจากจุดตัดแต่ละคู่ ได้ กับ เท่านั้น กับ เท่านั้น และ กับ เท่านั้น
- ชมรมเดียว หักทุกบริเวณที่อยู่ในวงนั้นออก อย่างเดียว อย่างเดียว อย่างเดียว
- รวมเจ็ดบริเวณ ตรงกับสูตร
ตีความจุดตัดเป็นคู่ในสามเซต
จำนวนที่ชอบสองอย่างอาจรวมคนที่ชอบสามอย่างด้วย ถ้าคำถามถามสองอย่างพอดีต้องหักสามอย่างออกจากจุดตัดแต่ละคู่ก่อน
ตัวอย่าง 5
จากข้อมูลในตัวอย่าง 4 มีกี่คนที่อยู่สองชมรมพอดี และกี่คนที่อยู่ชมรมเดียว
- จุดตัดเป็นคู่ แต่ละตัวรวมคนที่อยู่ทั้งสามชมรม คนไว้ จึงหักออกได้ และ
- บริเวณสองชมรมพอดีทั้งสามบริเวณไม่ซ้อนกันแล้ว บวกกันได้โดยไม่นับซ้ำ คน
- ชมรมเดียวคือบริเวณนอกสุดของแต่ละวงจากตัวอย่าง 4 รวม คน
- ตรวจ ชมรมเดียว สองชมรม และสามชมรม รวม เท่ากับจำนวนในยูเนียน
ถ้านำ มาตอบทันทีจะนับคนที่อยู่ทั้งสามซ้ำสามครั้ง และนับคนที่คำถามไม่ได้ต้องการด้วย การเติมบริเวณกลางก่อนจึงเป็นวิธีอ่านข้อมูลที่ปลอดภัยกว่าจำสูตรเพียงอย่างเดียว
ลองคิดก่อน
เพื่อนหาจำนวนคนที่อยู่ชมรม อย่างเดียวด้วย คน เพื่อนพลาดตรงไหน
ดูคำตอบ
จุดตัด และ ต่างก็รวมคน คนที่อยู่ทั้งสามชมรมไว้ การลบทั้งสองตัวจึงลบคนกลุ่มนี้สองครั้ง ต้องบวกคืนหนึ่งครั้ง ได้ ตรงกับการเติมบริเวณ ซึ่งลบ แทน
เรื่องการนับในบทนี้จะต่อยอดในบทที่ 43 หลักการนับเบื้องต้น และบทที่ 44 ความน่าจะเป็น ซึ่งต้องนับจำนวนผลลัพธ์ที่ผ่านเงื่อนไข หรือ และ ไม่ แบบเดียวกับหน้านี้
สรุป
- เพราะส่วนซ้อนถูกนับสองครั้ง
- เริ่มเติมบริเวณซ้อนก่อน แล้วหักออกจากยอดของแต่ละวง
- แยกคำว่า อย่างน้อยหนึ่ง ทั้งสอง เพียงอย่างเดียว และไม่เลือกเลย ให้ตรงบริเวณ
- สามเซตเติมจากตรงกลางออกมา หรือใช้สูตรที่บวกจุดตัดสามเซตคืน
- ตรวจทุกครั้งว่าไม่มีบริเวณติดลบและผลรวมเท่ากับจำนวนทั้งหมด