37.4 การเติบโต การสลาย และเวลา

จำนวนเชื้อในแบบจำลองเพิ่มเป็นสามเท่าทุกชั่วโมง ถ้ารู้จำนวนเป้าหมาย เราต้องย้อนหาจำนวนรอบของการคูณ ลอการิทึมช่วยเปลี่ยนตัวแปรจากเลขชี้กำลังลงมาคำนวณได้

หน้านี้รวมทุกอย่างในบทเข้าด้วยกัน หน้า 37.1 ให้รูปของแบบจำลอง หน้า 37.2 ให้เครื่องมือย้อนหาเลขชี้กำลัง และหน้า 37.3 ให้วิธีแก้สมการกับอสมการ สิ่งที่เพิ่มเข้ามาคือการอ่านโจทย์ให้ออกว่าตัวคูณคืออะไร หนึ่งรอบยาวเท่าไร และโจทย์ต้องการคำตอบเป็นเวลาต่อเนื่องหรือจำนวนรอบเต็ม

ตั้งหน่วยก่อนสูตร

แบบจำลอง $N(t)=N_0a^t$ ใช้เมื่อแต่ละหน่วยเวลาคูณด้วยอัตราส่วนคงที่ $a$ ถ้าเพิ่ม $r$ เปอร์เซ็นต์ให้ $a=1+r/100$ ถ้าลดให้ $a=1-r/100$ หน่วยของ $t$ ต้องตรงกับรอบของตัวคูณ

ในสูตรนี้ $N_0$ คือค่าตอนเริ่ม เพราะเมื่อ $t = 0$ ได้ $a^0 = 1$ เหลือ $N(0) = N_0$ ส่วน $a$ คือตัวคูณต่อหนึ่งรอบ ถ้าโจทย์บอกว่าเพิ่มสามเท่าทุกชั่วโมง $a = 3$ และ $t$ นับเป็นชั่วโมง ถ้าบอกว่าลด $20\%$ ทุกปี ของที่เหลือคือ $80\%$ ของปีก่อน จึงได้ $a = 0.8$ และ $t$ นับเป็นปี เรื่องร้อยละเป็นตัวคูณมีอยู่แล้วในหน้า 35.3 ความผิดที่เจอบ่อยคือใช้ $a = 0.2$ สำหรับการลด $20\%$ ซึ่งเป็นส่วนที่หายไป ไม่ใช่ส่วนที่เหลือ

ครึ่งชีวิต

ถ้าปริมาณลดครึ่งหนึ่งทุก $h$ หน่วยเวลา ใช้ $N(t)=N_0(1/2)^{t/h}$ เพราะเมื่อ $t=h$ เลขชี้กำลังเท่ากับหนึ่ง ระยะเวลา $h$ ไม่ใช่ตัวคูณของปริมาณ

ระยะ $h$ นี้เรียกว่าครึ่งชีวิต สารกัมมันตรังสีแต่ละชนิดมีครึ่งชีวิตของตัวเอง เช่น ไอโอดีน 131 ที่ใช้ในทางการแพทย์มีครึ่งชีวิตประมาณ $8$ วัน ส่วนคาร์บอน 14 มีครึ่งชีวิตประมาณ $5730$ ปี เลขชี้กำลัง $\tfrac{t}{h}$ คือจำนวนรอบครึ่งชีวิตที่ผ่านไป ผ่านไป $2h$ ก็แบ่งครึ่งสองครั้ง เหลือหนึ่งในสี่ ผ่านไปครึ่งรอบ $\tfrac{h}{2}$ ก็เหลือ $\left(\tfrac{1}{2}\right)^{1/2}$ ประมาณ $0.71$ เท่าของตอนเริ่ม ไม่ใช่สามในสี่ เพราะการลดแบบนี้เป็นการคูณ ไม่ใช่การลบทีละเท่าๆ กัน

เวลาต่อเนื่องกับจำนวนรอบ

เมื่อแก้ $a^t=M$ ได้ $t=\log_a M$ ถ้าต้องการรอบเต็มครั้งแรกที่ถึงเป้า ต้องปัดตามทิศเงื่อนไขและตรวจรอบก่อนหน้ากับรอบที่ตอบ การปัดเศษใกล้ที่สุดอาจทำให้ยังไม่ถึงเป้า

ตัวอย่างที่ 2 กับยาในหน้า 37.3 ใช้หลักนี้แล้ว เงินฝากเปลี่ยนเฉพาะตอนครบปี คำตอบจึงต้องเป็นจำนวนปีเต็ม แต่ถ้าเป็นเชื้อที่โตไปเรื่อยๆ ทุกขณะ คำตอบ $t$ ที่เป็นทศนิยมก็มีความหมาย ก่อนปัดเศษจึงต้องถามว่าปริมาณในโจทย์เปลี่ยนตลอดเวลาหรือเปลี่ยนเป็นจังหวะ

รอบเต็มครั้งแรกที่ผ่านเกณฑ์

การแก้สมการหาเวลาต่อเนื่องต่างจากการนับรอบเต็ม ใช้ค่าลอการิทึมเป็นจุดแบ่งแล้วตรวจจำนวนเต็มข้างเคียง เพื่อให้ตอบตามคำว่าอย่างน้อยได้ตรง

การให้เหตุผลด้วยค่ารอบก่อนหน้าและรอบที่ตอบรับรองทั้งการผ่านเกณฑ์และความเป็นครั้งแรก ถ้าตรวจเพียงรอบสี่จะรู้ว่าถึงเป้า แต่ยังไม่แสดงว่าไม่มีรอบก่อนหน้าที่ถึง

มาตราที่วัดด้วยลอการิทึม

บางปริมาณในธรรมชาติต่างกันเป็นล้านเท่า จึงนิยมรายงานเป็นลอการิทึมแทนค่าจริง เราเห็นค่า pH ในหน้า 37.2 แล้ว อีกตัวอย่างหนึ่งคือขนาดแผ่นดินไหว มาตราริกเตอร์นิยามจากลอการิทึมฐานสิบของความสูงคลื่นที่เครื่องวัดได้ เมื่อเทียบกับคลื่นมาตรฐาน ขนาดเพิ่มหนึ่งจึงแปลว่าความสูงคลื่นเพิ่มสิบเท่า ส่วนพลังงานที่ปล่อยออกมาเพิ่มราว $10^{1.5}$ หรือประมาณ $32$ เท่า

แบบจำลองกำหนดอัตราคงที่ในช่วงที่โจทย์ให้ ไม่ได้ยืนยันการเติบโตจริงแบบไม่จำกัด ควรตอบทั้งค่า หน่วย และเงื่อนไขจำนวนรอบ เชื้อในจานเพาะเลี้ยงจะโตสามเท่าทุกชั่วโมงได้แค่ช่วงแรก พออาหารหรือพื้นที่เริ่มหมด อัตราจะลดลง แบบจำลองจึงใช้ทำนายได้เฉพาะช่วงที่เงื่อนไขยังเป็นจริง

สรุป

• ตัวคูณและเวลาใช้หน่วยเดียวกัน ลด $r\%$ ใช้ตัวคูณ $1 - r/100$ ไม่ใช่ $r/100$
• ครึ่งชีวิตใช้จำนวนรอบ $t/h$
• หารด้วยค่าเริ่มต้นก่อน ให้กำลังอยู่ลำพัง แล้วใช้ฐานเดียวกันหรือลอการิทึม
• รอบเต็มต้องตรวจค่าก่อนและหลังเกณฑ์
• มาตรา pH และริกเตอร์เพิ่มหนึ่งหน่วยคือเปลี่ยนสิบเท่า