descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 39 ฟังก์ชันตรีโกณมิติตรงกับหนังสือ เพิ่มเติม ม.5 เล่ม 1 บทที่ 1เพิ่มเติม

39.6 ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

ทางลาดสำหรับรถเข็นในอาคารต้องชันไม่เกิน 11 ต่อ 1212 คือสูงขึ้น 11 เมตรต้องยาวตามแนวนอนอย่างน้อย 1212 เมตร ถ้าช่างอยากรู้ว่าทางลาดแบบนี้ทำมุมกับพื้นกี่องศา เขารู้ว่า tan⁡θ=112\tan\theta = \tfrac{1}{12} แต่ยังไม่รู้ θ\theta ต้องทำย้อนกลับจากค่าแทนเจนต์ไปหามุม

หน้าก่อนๆ เราเริ่มจากมุมแล้วหาค่า หน้านี้ถามกลับว่ารู้ค่าแล้วมุมคือเท่าไร ซึ่งก็คือการหาฟังก์ชันผกผันตามบทที่ 36 แต่มีปัญหาตั้งแต่ต้น หน้า 39.4 แสดงแล้วว่า sin⁡x=12\sin x = \tfrac{1}{2} มีคำตอบมากมาย ถ้าถามว่ามุมไหนมีไซน์เท่ากับ 12\tfrac{1}{2} จะตอบมุมไหนดี ฟังก์ชันต้องให้คำตอบเดียว

ไซน์ทั้งเส้นไม่หนึ่งต่อหนึ่ง

บทที่ 36 บอกว่าฟังก์ชันจะมีผกผันที่เป็นฟังก์ชันได้ก็ต่อเมื่อเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ทดสอบด้วยเส้นแนวนอน ถ้ามีเส้นแนวนอนเส้นใดตัดกราฟเกินหนึ่งจุด ฟังก์ชันนั้นไม่หนึ่งต่อหนึ่ง ลากเส้น y=12y = \tfrac{1}{2} ผ่านกราฟไซน์ จะเห็นว่าตัดทุกรอบ รอบละสองจุด

−π/2π/2−ππy = 1/2
เส้น y=12y = \tfrac{1}{2} ตัดกราฟไซน์หลายจุด แต่ถ้าเก็บไว้เฉพาะส่วนสีส้มในช่วง [−π2,π2]\left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right] จะตัดเพียงจุดเดียว

ทางแก้คือจำกัดโดเมน เลือกช่วงหนึ่งของกราฟที่มีคุณสมบัติสามข้อ ข้อแรกเป็นหนึ่งต่อหนึ่ง ข้อสองให้ค่าครบทุกค่าในเรนจ์ [−1,1][-1, 1] ข้อสามมีมุมแหลมอยู่ในช่วง เพื่อให้ตรงกับบทที่ 31 สำหรับไซน์ ช่วง [−π2,π2]\left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right] ผ่านทั้งสามข้อ กราฟส่วนสีส้มเพิ่มขึ้นตลอดจาก −1-1 ไป 11 เส้นแนวนอนทุกเส้นที่สูงระหว่าง −1-1 ถึง 11 ตัดเพียงจุดเดียว

โคไซน์ใช้ช่วงเดียวกันไม่ได้ เพราะ cos⁡(−π3)=cos⁡π3\cos\left(-\tfrac{\pi}{3}\right) = \cos\tfrac{\pi}{3} ตัดสองจุดทันที โคไซน์จึงใช้ช่วง [0,π][0, \pi] ซึ่งกราฟลดลงตลอดจาก 11 ไป −1-1 ส่วนแทนเจนต์ใช้ช่วงเปิด (−π2,π2)\left(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right) ซึ่งเป็นหนึ่งกิ่งของกราฟระหว่างเส้นกำกับสองเส้น

นิยาม

  • y=arcsin⁡xy = \arcsin x เมื่อ sin⁡y=x\sin y = x และ −π2≤y≤π2-\tfrac{\pi}{2} \le y \le \tfrac{\pi}{2} โดเมน [−1,1][-1, 1]
  • y=arccos⁡xy = \arccos x เมื่อ cos⁡y=x\cos y = x และ 0≤y≤π0 \le y \le \pi โดเมน [−1,1][-1, 1]
  • y=arctan⁡xy = \arctan x เมื่อ tan⁡y=x\tan y = x และ −π2<y<π2-\tfrac{\pi}{2} \lt y \lt \tfrac{\pi}{2} โดเมนทุกจำนวนจริง

ค่าที่ได้เรียกว่าค่าหลัก บางเล่มเขียน arcsin⁡x\arcsin x เป็น sin⁡−1x\sin^{-1}x ในบริบทนี้ −1-1 หมายถึงผกผัน ไม่ใช่ส่วนกลับ

ลองคิดก่อน

sin⁡−112\sin^{-1}\tfrac{1}{2} เท่ากับ 1sin⁡12\dfrac{1}{\sin\tfrac{1}{2}} หรือไม่

ดูคำตอบ

ไม่เท่า sin⁡−112\sin^{-1}\tfrac{1}{2} คือ arcsin⁡12\arcsin\tfrac{1}{2} มุมที่มีไซน์เท่ากับ 12\tfrac{1}{2} ได้ π6\tfrac{\pi}{6} ประมาณ 0.520.52 ส่วน 1sin⁡12\dfrac{1}{\sin\tfrac{1}{2}} คือส่วนกลับของไซน์ของมุม 12\tfrac{1}{2} เรเดียน ซึ่งคือ csc⁡12\csc\tfrac{1}{2} ประมาณ 2.092.09 คนละเรื่องกันเลย ถ้าต้องการส่วนกลับให้เขียน (sin⁡x)−1(\sin x)^{-1} หรือ csc⁡x\csc x ความกำกวมนี้ทำให้หน้านี้เลือกใช้ arcsin⁡\arcsin เป็นหลัก ส่วน sin⁡2x\sin^2 x ยังหมายถึง (sin⁡x)2(\sin x)^2 เหมือนเดิม

หาค่าหลัก

วิธีคิดคือถามว่ามุมไหนในช่วงหลักให้ค่าตามที่ถาม ใช้มุมอ้างอิงหาขนาด แล้ววางมุมในช่วงหลักให้ถูกด้าน ช่วงของ arcsin⁡\arcsin กับ arctan⁡\arctan อยู่ที่จตุภาคที่ 1 กับ 4 (ด้านขวาของวงกลม) ค่าลบจึงเป็นมุมลบ ช่วงของ arccos⁡\arccos อยู่ที่จตุภาคที่ 1 กับ 2 (ครึ่งบนของวงกลม) ค่าลบจึงเป็นมุมที่ใหญ่กว่ามุมฉาก

ตัวอย่าง 1

หา arcsin⁡(−12)\arcsin\left(-\tfrac{1}{2}\right) และ arccos⁡(−12)\arccos\left(-\tfrac{1}{2}\right)

  1. ขนาด 12\tfrac{1}{2} มาจากมุมอ้างอิง π6\tfrac{\pi}{6} สำหรับไซน์ และ π3\tfrac{\pi}{3} สำหรับโคไซน์
  2. arcsin⁡\arcsin ต้องให้มุมใน [−π2,π2]\left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right] ไซน์ลบหมายถึงจุดอยู่ใต้แกน xx ทางขวา คือจตุภาคที่ 4 ได้ arcsin⁡(−12)=−π6\arcsin\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -\tfrac{\pi}{6} ไม่ใช่ 7π6\tfrac{7\pi}{6} หรือ 11π6\tfrac{11\pi}{6} แม้มุมเหล่านั้นจะมีไซน์เท่ากัน เพราะอยู่นอกช่วงหลัก
  3. arccos⁡\arccos ต้องให้มุมใน [0,π][0, \pi] โคไซน์ลบหมายถึงจุดอยู่ซ้ายของแกน yy ในครึ่งบน คือจตุภาคที่ 2 ได้ π−π3=2π3\pi - \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{2\pi}{3}
  4. สังเกตว่า arccos⁡(−12)\arccos\left(-\tfrac{1}{2}\right) ไม่ใช่ −π3-\tfrac{\pi}{3} เพราะมุมลบไม่อยู่ในช่วงของ arccos⁡\arccos เลย

ตัวอย่าง 2

หา arctan⁡(−1)\arctan(-1) และ arctan⁡3\arctan\sqrt{3} แล้วตอบคำถามเรื่องทางลาดตอนต้นหน้า

  1. แทนเจนต์ขนาด 11 มาจากมุม π4\tfrac{\pi}{4} ค่าลบในช่วง (−π2,π2)\left(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right) อยู่จตุภาคที่ 4 จึงได้ arctan⁡(−1)=−π4\arctan(-1) = -\tfrac{\pi}{4}
  2. tan⁡π3=3\tan\tfrac{\pi}{3} = \sqrt{3} และ π3\tfrac{\pi}{3} อยู่ในช่วงหลัก จึงได้ arctan⁡3=π3\arctan\sqrt{3} = \tfrac{\pi}{3}
  3. ทางลาดมี tan⁡θ=112\tan\theta = \tfrac{1}{12} ไม่ใช่ค่าของมุมพิเศษ ใช้เครื่องคิดเลขโหมดองศากด tan⁡−1\tan^{-1} ได้ θ=arctan⁡112\theta = \arctan\tfrac{1}{12} ประมาณ 4.76∘4.76^\circ ทางลาดที่ชันที่สุดตามมาตรฐานจึงทำมุมกับพื้นไม่ถึง 5∘5^\circ

ฟังก์ชันประกอบกับผกผัน

โจทย์ที่พบบ่อยคือหาค่าอย่าง cos⁡(arcsin⁡35)\cos\left(\arcsin\tfrac{3}{5}\right) วิธีคิดคือตั้งชื่อมุมข้างใน เช่น θ=arcsin⁡35\theta = \arcsin\tfrac{3}{5} แปลว่า sin⁡θ=35\sin\theta = \tfrac{3}{5} และ θ\theta อยู่ในช่วงหลัก แล้วใช้วิธีหาค่าจากหน้า 39.2 ช่วงหลักทำหน้าที่บอกจตุภาค ไม่ต้องหามุมออกมาเป็นตัวเลขเลย

ตัวอย่าง 3

หา cos⁡(arcsin⁡35)\cos\left(\arcsin\tfrac{3}{5}\right) และ tan⁡(arcsin⁡(−35))\tan\left(\arcsin\left(-\tfrac{3}{5}\right)\right)

  1. ให้ θ=arcsin⁡35\theta = \arcsin\tfrac{3}{5} จะได้ sin⁡θ=35\sin\theta = \tfrac{3}{5} และ θ\theta อยู่ใน [−π2,π2]\left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right] ไซน์บวกจึงอยู่จตุภาคที่ 1
  2. cos⁡2θ=1−925=1625\cos^2\theta = 1 - \tfrac{9}{25} = \tfrac{16}{25} จตุภาคที่ 1 โคไซน์บวก จึงได้ cos⁡(arcsin⁡35)=45\cos\left(\arcsin\tfrac{3}{5}\right) = \tfrac{4}{5} (นึกภาพสามเหลี่ยม 33 44 55 ได้เลย)
  3. ให้ φ=arcsin⁡(−35)\varphi = \arcsin\left(-\tfrac{3}{5}\right) ไซน์ลบในช่วงหลักคือจตุภาคที่ 4 โคไซน์ยังบวก cos⁡φ=45\cos\varphi = \tfrac{4}{5}
  4. tan⁡φ=−3/54/5=−34\tan\varphi = \dfrac{-3/5}{4/5} = -\dfrac{3}{4} เครื่องหมายลบตรงกับแทนเจนต์ในจตุภาคที่ 4

โคไซน์ของ arcsin⁡\arcsin เป็นบวกเสมอ ไม่ว่าค่าข้างในจะบวกหรือลบ เพราะช่วงหลักของ arcsin⁡\arcsin อยู่ด้านขวาของวงกลมทั้งหมด ที่นั่นพิกัด xx ไม่ติดลบ

ลองคิดก่อน

เพื่อนบอกว่า arcsin⁡(sin⁡5π6)=5π6\arcsin\left(\sin\tfrac{5\pi}{6}\right) = \tfrac{5\pi}{6} เพราะ arcsin⁡\arcsin กับ sin⁡\sin หักล้างกัน ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก ลองคิดจากข้างในออกมา sin⁡5π6=12\sin\tfrac{5\pi}{6} = \tfrac{1}{2} แล้ว arcsin⁡12\arcsin\tfrac{1}{2} ต้องให้มุมในช่วง [−π2,π2]\left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right] ได้ π6\tfrac{\pi}{6} ไม่ใช่ 5π6\tfrac{5\pi}{6} ซึ่งอยู่นอกช่วงหลัก arcsin⁡(sin⁡x)=x\arcsin(\sin x) = x จริงเฉพาะเมื่อ xx อยู่ในช่วงหลัก ส่วนอีกทาง sin⁡(arcsin⁡x)=x\sin(\arcsin x) = x จริงทุก xx ใน [−1,1][-1, 1] เพราะ arcsin⁡\arcsin ให้มุมที่มีไซน์เป็น xx ตามนิยาม

ตัวอย่าง 4

หา arccos⁡(cos⁡5π3)\arccos\left(\cos\tfrac{5\pi}{3}\right)

  1. คำนวณข้างในก่อน 5π3\tfrac{5\pi}{3} อยู่จตุภาคที่ 4 มุมอ้างอิง π3\tfrac{\pi}{3} โคไซน์บวก จึงได้ cos⁡5π3=12\cos\tfrac{5\pi}{3} = \tfrac{1}{2}
  2. หามุมใน [0,π][0, \pi] ที่มีโคไซน์เท่ากับ 12\tfrac{1}{2} ได้ π3\tfrac{\pi}{3}
  3. ดังนั้น arccos⁡(cos⁡5π3)=π3\arccos\left(\cos\tfrac{5\pi}{3}\right) = \tfrac{\pi}{3} ไม่ใช่ 5π3\tfrac{5\pi}{3} เพราะ 5π3\tfrac{5\pi}{3} เกินช่วงหลัก มุมที่ได้คือมุมในช่วงหลักที่มีจุดปลายสะท้อนกับ 5π3\tfrac{5\pi}{3} ข้ามแกน xx

ตัวอย่าง 5

หา sin⁡(2arccos⁡513)\sin\left(2\arccos\tfrac{5}{13}\right)

  1. ให้ θ=arccos⁡513\theta = \arccos\tfrac{5}{13} ได้ cos⁡θ=513\cos\theta = \tfrac{5}{13} และ θ\theta อยู่ใน [0,π][0, \pi] โคไซน์บวกจึงเป็นจตุภาคที่ 1
  2. ในช่วง [0,π][0, \pi] ไซน์ไม่ติดลบเสมอ sin⁡θ=1−25169=1213\sin\theta = \sqrt{1 - \tfrac{25}{169}} = \tfrac{12}{13}
  3. ใช้สูตรมุมสองเท่าจากหน้า 39.5 sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ=2⋅1213⋅513=120169\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2 \cdot \tfrac{12}{13} \cdot \tfrac{5}{13} = \tfrac{120}{169}

ฟังก์ชันผกผันให้มุมจากอัตราส่วน หน้าถัดไปจะใช้เครื่องมือนี้กับสามเหลี่ยมที่ไม่มีมุมฉาก ซึ่งต้องหามุมจากด้านที่วัดได้ และต้องระวังว่าค่าหลักอาจไม่ใช่มุมเดียวที่เป็นไปได้

สรุป

  • ฟังก์ชันตรีโกณมิติไม่หนึ่งต่อหนึ่ง ต้องจำกัดโดเมนก่อนสร้างผกผัน
  • arcsin⁡\arcsin ให้ค่าใน [−π2,π2]\left[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right] arccos⁡\arccos ให้ค่าใน [0,π][0, \pi] arctan⁡\arctan ให้ค่าใน (−π2,π2)\left(-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}\right)
  • sin⁡−1x\sin^{-1}x คือ arcsin⁡x\arcsin x ไม่ใช่ 1sin⁡x\tfrac{1}{\sin x}
  • หาฟังก์ชันของผกผันโดยตั้งชื่อมุมข้างใน แล้วใช้ช่วงหลักบอกจตุภาค
  • arcsin⁡(sin⁡x)=x\arcsin(\sin x) = x เฉพาะเมื่อ xx อยู่ในช่วงหลัก