44.3 กฎบวก เงื่อนไข และความเป็นอิสระ

รู้ว่านักเรียนคนหนึ่งอยู่ชมรมกีฬาแล้ว โอกาสที่เขาอยู่ชมรมดนตรีอาจเปลี่ยนจากก่อนรู้ข้อมูล ความน่าจะเป็นมีเงื่อนไขคือการย่อกลุ่มอ้างอิงให้เหลือเฉพาะข้อมูลที่รู้

ลองนึกถึงครูที่ปรึกษาที่สุ่มเรียกนักเรียนหนึ่งคนไปช่วยงานโรงเรียน ก่อนเรียก ครูรู้แค่ว่าห้องมีกี่คน แต่ถ้าครูประกาศว่าจะเรียกจากคนที่อยู่ชมรมกีฬาเท่านั้น คนที่มีสิทธิ์ถูกเรียกก็ลดลง และสัดส่วนคนเล่นดนตรีในกลุ่มที่เหลืออาจไม่เท่าเดิม หน้านี้ใช้ตารางจำนวนคนเป็นเครื่องมือหลัก เพราะตารางทำให้เห็นทันทีว่ากำลังหารด้วยกลุ่มไหน

ตารางสองทางของชมรมกีฬาและดนตรี

ห้องหนึ่งมีนักเรียน $40$ คน เล่นกีฬา $18$ คน เล่นดนตรี $12$ คน ทำทั้งสองอย่าง $6$ คน ให้ $A$ เป็นเหตุการณ์ที่คนที่สุ่มได้เล่นกีฬา และ $B$ เป็นเหตุการณ์ที่เล่นดนตรี เติมตารางทีละช่องจากข้อมูลที่ให้ เล่นกีฬาแต่ไม่เล่นดนตรีมี $18-6=12$ คน ไม่เล่นกีฬามี $40-18=22$ คน ในนั้นเล่นดนตรี $12-6=6$ คน ที่เหลือ $22-6=16$ คนไม่ทำทั้งสองอย่าง

ช่องในตารางคือเหตุการณ์ที่ไม่เกิดร่วมกันสี่แบบ แต่ละคนอยู่ช่องเดียวพอดี ตัวเลขขอบขวาและขอบล่างเป็นผลรวมของแถวและหลัก ตารางนี้จะใช้ตลอดหน้า

กฎการบวก

ลบส่วนร่วมเพราะถูกบวกสองครั้ง คนที่เล่นทั้งกีฬาและดนตรีอยู่ทั้งใน $18$ คนและใน $12$ คน ถ้าบวกตรงๆ คนกลุ่มนี้จะถูกนับสองรอบ กฎนี้คือสูตร $n(A\cup B)$ ของบทที่ 32 หารด้วย $n(S)$ ทั้งสองข้าง และยังใช้ได้กับความน่าจะเป็นทั่วไปที่ไม่ได้มาจากการนับ เมื่อ $A$ กับ $B$ ไม่เกิดร่วมกัน พจน์สุดท้ายเป็นศูนย์ จึงกลับไปเป็นการบวกตรงๆ ในหน้า 44.2

การไม่เกิดร่วมกันหมายถึงส่วนร่วมว่าง ส่วนความเป็นอิสระหมายถึง $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ การไม่เกิดร่วมกันที่ทั้งคู่มีโอกาสบวกจึงไม่เป็นอิสระ เรื่องนี้จะกลับมาในหัวข้อความเป็นอิสระ

ความน่าจะเป็นมีเงื่อนไข

$P(A\mid B)$ อ่านว่า ความน่าจะเป็นของ $A$ เมื่อกำหนด $B$ หมายถึงรู้แล้วว่า $B$ เกิด และถามว่า $A$ เกิดด้วยมีโอกาสเท่าไร เมื่อรู้ว่า $B$ เกิด ผลลัพธ์นอก $B$ ถูกตัดทิ้งหมด กลุ่มอ้างอิงใหม่จึงเหลือ $B$ และผลที่ทำให้ $A$ เกิดด้วยเหลือเพียง $A\cap B$ ถ้าผลลัพธ์โอกาสเท่ากันจะได้

$P(A\mid B)=\frac{n(A\cap B)}{n(B)}=\frac{n(A\cap B)/n(S)}{n(B)/n(S)}=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

ในตาราง การมีเงื่อนไขคือการเลือกอ่านแถวหรือหลักเดียว แล้วหารด้วยผลรวมของแถวหรือหลักนั้น แทนการหารด้วยทั้งห้อง

ใช้ตารางย้อนทิศเงื่อนไข

ความน่าจะเป็นของ A เมื่อรู้ B ไม่จำเป็นต้องเท่ากับของ B เมื่อรู้ A เพราะตัวหารต่างกัน การเขียนตารางจำนวนคนช่วยเห็นส่วนร่วมเดียวกันแต่ฐานสองกลุ่มต่างขนาด ความสัมพันธ์แบบมีเงื่อนไขจึงต้องอ่านประโยคก่อนและระบุว่ารู้อะไรแล้ว

กฎคูณ

$P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B)$ ใช้ได้เสมอเมื่อเงื่อนไขกำหนดได้ ถ้าเป็นอิสระจึงลดเป็นผลคูณของโอกาสแต่ละเหตุการณ์ได้

กฎนี้ได้จากการคูณ $P(B)$ ทั้งสองข้างของนิยามความน่าจะเป็นมีเงื่อนไข สลับบทบาทกันก็ได้ $P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$ ใช้เมื่อการทดลองเกิดเป็นขั้น เช่นสุ่มทีละคน แล้วรู้ผลขั้นแรกก่อนขั้นที่สอง ขั้นแรกใช้โอกาสธรรมดา ขั้นที่สองใช้โอกาสที่มีเงื่อนไขว่าขั้นแรกเกิดแล้ว

ความเป็นอิสระ

ความเป็นอิสระต้องตรวจด้วยตัวเลข ไม่ใช่ด้วยความรู้สึกว่าสองเรื่องเกี่ยวกันหรือไม่ ในห้องเดิม $P(B\mid A)=\tfrac13$ แต่ $P(B)=\tfrac3{10}$ จึงไม่เป็นอิสระ ตรวจด้วยนิยามก็ได้ผลเดียวกัน $P(A)P(B)=\tfrac{18}{40}\cdot\tfrac{12}{40}=\tfrac{27}{200}$ แต่ $P(A\cap B)=\tfrac{6}{40}=\tfrac{30}{200}$

เมื่อแบบจำลองกำหนดว่าเหตุการณ์เป็นอิสระ เช่นเครื่องจักรสองเครื่องทำงานแยกกัน หรือทอยลูกเต๋าสองครั้ง กฎคูณจะเหลือเพียงผลคูณของโอกาสแต่ละเหตุการณ์

สรุป

• กฎบวกต้องหักส่วนร่วม $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
• ความน่าจะเป็นมีเงื่อนไขเปลี่ยนกลุ่มอ้างอิง ในตารางคือหารด้วยผลรวมของแถวหรือหลักที่รู้
• $P(A\mid B)$ กับ $P(B\mid A)$ มีตัวหารต่างกัน สลับกันไม่ได้
• กฎคูณ $P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$ ใช้กับการทดลองที่เกิดเป็นขั้น
• ตรวจความเป็นอิสระด้วยสมการ ไม่ใช้ความรู้สึก และไม่สับสนกับการไม่เกิดร่วมกัน

หน้าถัดไปจะต่อกฎคูณเป็นแผนภาพต้นไม้หลายกิ่ง แล้วใช้ตารางย้อนหาเหตุจากผลที่เห็น เช่นตรวจโรคได้ผลบวกแล้วป่วยจริงแค่ไหน