14.3 เลขชี้กำลังเป็นศูนย์และจำนวนลบ

$2^0$ เท่ากับเท่าไร ถ้าคิดว่า $2$ คูณกันศูนย์ตัว ก็ตอบไม่ได้ เพราะไม่มีอะไรให้คูณ แล้ว $2^{-3}$ ล่ะ คูณกันลบสามตัวยิ่งไม่มีความหมาย ความหมายเดิมของเลขยกกำลังใช้ไม่ได้ตรงนี้ ต้องกำหนดความหมายใหม่ที่เข้ากับของเดิม

ลองดูแบบรูปของ $2^n$ เมื่อเลขชี้กำลังลดลงทีละหนึ่ง

เลขชี้กำลังลดลงหนึ่ง ค่าหารด้วย $2$ ทุกครั้ง ถ้าให้แบบรูปนี้เดินต่อไป ช่องว่างจะเป็น $1$ แล้ว $\tfrac{1}{2}$ แล้ว $\tfrac{1}{4}$ แล้ว $\tfrac{1}{8}$ หน้านี้จะกำหนดความหมายให้ตรงกับแบบรูปนี้

เลขชี้กำลังเป็นศูนย์

หน้าที่แล้วพบว่า $a^5 \div a^5 = 1$ เพราะจำนวนใดหารด้วยตัวเองได้ $1$ ถ้าจะให้สมบัติการหารใช้ได้ด้วย ก็ต้องได้ $a^{5 - 5} = a^0$ ดังนั้น $a^0$ ต้องเท่ากับ $1$ ตรงกับแบบรูปในตาราง

ที่ต้องมี $a \neq 0$ เพราะเหตุผลข้างบนใช้การหารด้วย $a$ ซึ่งทำไม่ได้เมื่อ $a = 0$

เลขชี้กำลังเป็นจำนวนลบ

หน้าที่แล้วพบว่า $a^2 \div a^5 = \dfrac{1}{a^3}$ ถ้าใช้สมบัติการหารจะได้ $a^{2 - 5} = a^{-3}$ จึงกำหนดให้ $a^{-3}$ หมายถึง $\dfrac{1}{a^3}$ ซึ่งตรงกับแบบรูปในตาราง $2^{-3} = \tfrac{1}{8} = \tfrac{1}{2^3}$

เลขชี้กำลังติดลบจึงไม่ได้ทำให้ค่าติดลบ แต่บอกให้กลับเศษเป็นส่วน

ใช้ความหมายนี้กลับทางได้ด้วย ถ้าเลขยกกำลังที่เลขชี้กำลังติดลบอยู่ในส่วน ก็ย้ายขึ้นมาเป็นเศษได้ เช่น $\dfrac{1}{2^{-3}} = \dfrac{1}{\frac{1}{8}} = 8 = 2^3$

สมบัติเดิมใช้ได้กับเลขชี้กำลังทุกจำนวนเต็ม

ความหมายของ $a^0$ กับ $a^{-n}$ ถูกกำหนดมาให้สมบัติจากสองหน้าแรกใช้ได้ต่อ ไม่ต้องมีเงื่อนไข $m > n$ อีกแล้ว

ขั้นที่ 2 เป็นจุดที่พลาดบ่อยที่สุด ลบด้วยจำนวนลบต้องกลายเป็นบวก ถ้าเขียน $-4 - 5 = -9$ จะได้ $9x^{-9}y^5$ ซึ่งผิด เขียนวงเล็บครอบเลขชี้กำลังที่ติดลบทุกครั้งที่ลบ จะช่วยกันพลาดตรงนี้ได้

สรุป

• $a^0 = 1$ เมื่อ $a \neq 0$ และ $0^0$ ไม่มีความหมาย
• $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ เมื่อ $a \neq 0$ เลขชี้กำลังติดลบไม่ได้ทำให้ค่าติดลบ
• $-3^0 = -1$ แต่ $(-3)^0 = 1$ ดูให้ดีว่าฐานคืออะไร
• สมบัติการคูณ การหาร และการยกกำลังซ้อน ใช้ได้กับเลขชี้กำลังที่เป็นจำนวนเต็มทุกจำนวน
• ตอนลบเลขชี้กำลังที่ติดลบ ใส่วงเล็บกันพลาด