27.2 แก้ระบบสมการด้วยกราฟ

พี่มีเงินเก็บ 100 บาท และหยอดกระปุกเพิ่มวันละ 10 บาท น้องมีเงินเก็บ 40 บาท แต่หยอดเพิ่มวันละ 25 บาท อีกกี่วันสองคนจะมีเงินเท่ากัน

วันที่	0	1	2	3	4	5
เงินของพี่ (บาท)	100	110	120	130	140	150
เงินของน้อง (บาท)	40	65	90	115	140	165

วันที่ 4 ทั้งสองคนมีเงิน 140 บาทเท่ากัน ถ้าให้ $x$ เป็นจำนวนวัน และ $y$ เป็นจำนวนเงิน เงินของพี่คือ $y = 10x + 100$ และเงินของน้องคือ $y = 25x + 40$ คู่อันดับ $(4, 140)$ ทำให้สมการทั้งสองเป็นจริงพร้อมกัน ส่วนคู่อื่นในตารางทำให้จริงได้แค่สมการเดียว

ระบบสมการและคำตอบของระบบ

นิยาม

สมการเชิงเส้นสองตัวแปรสองสมการที่พิจารณาพร้อมกัน เรียกว่าระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คู่อันดับที่ทำให้สมการทั้งสองเป็นจริง เรียกว่าคำตอบของระบบสมการ

กราฟของแต่ละสมการเป็นเส้นตรง จุดบนเส้นแรกทำให้สมการแรกเป็นจริง จุดบนเส้นที่สองทำให้สมการที่สองเป็นจริง จุดที่ทำให้จริงทั้งสองสมการจึงต้องอยู่บนทั้งสองเส้น คือจุดตัดของเส้นตรงทั้งสอง

ในบทนี้จะเขียนระบบสมการเรียงกันและใส่หมายเลขไว้ เพื่อเรียกแต่ละสมการได้สะดวก

ตัวอย่าง 1

แก้ระบบสมการต่อไปนี้ด้วยกราฟ

\begin{aligned} x + y &= 5 \qquad (1) \\ 2x - y &= 1 \qquad (2) \end{aligned}

สมการ (1) แทน $x = 0$ ได้ $y = 5$ แทน $y = 0$ ได้ $x = 5$ เส้นนี้ผ่าน $(0, 5)$ และ $(5, 0)$
สมการ (2) แทน $x = 0$ ได้ $-y = 1$ จึงได้ $y = -1$ แทน $x = 1$ ได้ $2 - y = 1$ จึงได้ $y = 1$ เส้นนี้ผ่าน $(0, -1)$ และ $(1, 1)$
วาดเส้นตรงทั้งสองบนระนาบเดียวกัน จะเห็นว่าตัดกันที่ $(2, 3)$
ตรวจกับทั้งสองสมการ $2 + 3 = 5$ และ $2(2) - 3 = 1$ เป็นจริงทั้งคู่ คำตอบของระบบคือ $(2, 3)$ หรือ $x = 2$ และ $y = 3$

กราฟข้างล่างเริ่มต้นที่ระบบในตัวอย่างนี้ สมการ (1) เขียนใหม่ได้ $y = -x + 5$ เป็นเส้นส้ม สมการ (2) เขียนใหม่ได้ $y = 2x - 1$ เป็นเส้นม่วง เลื่อนแถบเพื่อเปลี่ยน $a$ และ $b$ ของแต่ละเส้นในรูป $y = ax + b$

ลองตั้งเส้นส้มเป็น $y = -x + 4$ และเส้นม่วงเป็น $y = x - 1$ แล้วอ่านพิกัดของจุดตัดจากรูปโดยไม่ดูตัวเลขข้างล่าง

อ่านจากกราฟได้ค่าประมาณ

ระบบ $x + y = 4$ กับ $x - y = 1$ ตัดกันที่ $(2.5, 1.5)$ ซึ่งไม่ตรงกับจุดตัดของเส้นตาราง ดูด้วยตาจะบอกได้แค่ว่าอยู่ระหว่าง $2$ กับ $3$ ถ้าคำตอบเป็นเศษส่วนอย่าง $\tfrac{19}{7}$ ยิ่งอ่านไม่ได้ กราฟจึงเหมาะกับการดูภาพรวมว่ามีคำตอบกี่คำตอบ ส่วนค่าที่แม่นยำต้องใช้วิธีแทนค่าหรือกำจัดตัวแปรในหน้า 27.3 และ 27.4

ระบบมีคำตอบได้กี่คำตอบ

เส้นตรงสองเส้นบนระนาบเดียวกันวางได้แค่สามแบบ ลองใช้กราฟข้างบนทำให้เห็นทั้งสามแบบ ตั้ง $a$ ของสองเส้นให้ไม่เท่ากัน แล้วตั้งให้เท่ากัน แล้วตั้งทั้ง $a$ และ $b$ ให้เท่ากัน

สมบัติ

ถ้าเขียนสมการทั้งสองของระบบในรูป $y = ax + b$ ได้

ค่า $a$ ไม่เท่ากัน เส้นตรงตัดกันจุดเดียว ระบบมีคำตอบเดียว
ค่า $a$ เท่ากันแต่ $b$ ไม่เท่ากัน เส้นตรงขนานกัน ระบบไม่มีคำตอบ
ค่า $a$ เท่ากันและ $b$ เท่ากัน เส้นตรงทับกันเป็นเส้นเดียว ระบบมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน

ค่า $a$ บอกว่าเส้นเอียงแค่ไหน เส้นที่เอียงไม่เท่ากันต้องชนกันสักจุด ส่วนเส้นที่เอียงเท่ากันจะไปทางเดียวกันตลอด ถ้าเริ่มคนละที่ก็ไม่มีวันพบกัน ถ้าเริ่มที่เดียวกันก็เป็นเส้นเดียวกันทั้งเส้น

ตัวอย่าง 2

ระบบสมการแต่ละข้อมีคำตอบกี่คำตอบ

(ก) $y = 3x - 2$ และ $6x - 2y = 4$ (ข) $x + 2y = 4$ และ $2x + 4y = 10$ (ค) $2x - y = 1$ และ $x + y = 5$

(ก) จาก $6x - 2y = 4$ ได้ $-2y = -6x + 4$ หารด้วย $-2$ ได้ $y = 3x - 2$ ตรงกับอีกสมการทุกอย่าง เส้นทับกัน จึงมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน
(ข) จาก $x + 2y = 4$ ได้ $y = -\tfrac{1}{2}x + 2$ และจาก $2x + 4y = 10$ ได้ $y = -\tfrac{1}{2}x + \tfrac{5}{2}$ ค่า $a$ เท่ากันแต่ $b$ ไม่เท่ากัน เส้นขนานกัน จึงไม่มีคำตอบ
(ค) ได้ $y = 2x - 1$ และ $y = -x + 5$ ค่า $a$ เป็น $2$ กับ $-1$ ไม่เท่ากัน จึงมีคำตอบเดียว ซึ่งก็คือ $(2, 3)$ จากตัวอย่างที่ 1

ลองคิดก่อน

เพื่อนดูข้อ (ข) แล้วบอกว่า $2x + 4y$ เป็นสองเท่าของ $x + 2y$ สองสมการนี้จึงเป็นเส้นเดียวกัน มีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน เพื่อนพูดถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก ถ้าคูณ $x + 2y = 4$ ด้วย $2$ ต้องคูณทั้งสองข้าง ได้ $2x + 4y = 8$ ไม่ใช่ $10$ ระบบนี้จึงบอกว่า $2x + 4y$ ต้องเป็น $8$ และเป็น $10$ พร้อมกัน ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เส้นทั้งสองขนานกันและไม่มีคำตอบ ดูแค่ข้างซ้ายจึงไม่พอ ต้องดูข้างขวาด้วยเสมอ

ลองคิดก่อน

มีระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่มีคำตอบสองคำตอบพอดีไหม

ดูคำตอบ

ไม่มี ถ้าเส้นตรงสองเส้นผ่านจุดเดียวกันสองจุด ทั้งสองเส้นต้องเป็นเส้นตรงที่ลากผ่านสองจุดนั้น ซึ่งมีได้เส้นเดียว เส้นจึงทับกันและมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน จำนวนคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นจึงมีได้แค่ $0$ หรือ $1$ หรือมากมายนับไม่ถ้วน

สรุป

คำตอบของระบบสมการคือคู่อันดับที่ทำให้ทั้งสองสมการเป็นจริง บนกราฟคือจุดตัดของเส้นตรงสองเส้น
อ่านคำตอบจากกราฟแล้วต้องแทนกลับในทั้งสองสมการเพื่อตรวจ และถ้าคำตอบไม่ใช่จำนวนเต็ม กราฟให้ได้แค่ค่าประมาณ
เขียนทั้งสองสมการในรูป $y = ax + b$ แล้วเทียบ $a$ กับ $b$ จะรู้ว่าเส้นตัดกัน ขนานกัน หรือทับกัน
ระบบมีคำตอบเดียว ไม่มีคำตอบ หรือมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน ไม่มีแบบอื่น