13.3 การหมุน

ตอน 8 โมงตรง เข็มยาวของนาฬิกาชี้เลข 12 พอถึง 8 โมง 15 นาที เข็มยาวชี้เลข 3 ปลายเข็มเคลื่อนไปตามวงกลม ส่วนโคนเข็มที่ติดอยู่ตรงกลางหน้าปัดไม่ได้ไปไหนเลย การเคลื่อนแบบนี้คือการหมุน การแปลงแบบที่สามของบทนี้

การหมุนคืออะไร

บอกแค่ว่า หมุน ยังไม่พอ ต้องบอกให้ครบสามอย่าง

จุดหมุน จุดที่อยู่กับที่ ทุกจุดอื่นหมุนรอบจุดนี้
ขนาดของมุมที่หมุน เช่น $90^\circ$ หรือ $180^\circ$
ทิศทางการหมุน ทวนเข็มนาฬิกา หรือตามเข็มนาฬิกา

นิยาม

การหมุนรอบจุด $O$ ด้วยมุม $\theta$ คือการแปลงที่พาแต่ละจุด $P$ ไปที่ $P'$ โดย

$OP' = OP$ คือภาพอยู่ห่างจากจุดหมุนเท่าเดิม
มุม $POP'$ มีขนาด $\theta$ และวัดไปในทิศที่กำหนด

จุดหมุน $O$ เป็นภาพของตัวเอง

ถ้าโจทย์ไม่บอกทิศทาง ให้ถือว่าหมุนทวนเข็มนาฬิกา ซึ่งเป็นข้อตกลงที่ใช้กันในคณิตศาสตร์

ตัวอย่าง 1

จาก 8.00 น. ถึง 8.15 น. เข็มยาวของนาฬิกาหมุนไปกี่องศา ในทิศใด และจุดหมุนอยู่ที่ไหน

เข็มยาวหมุนครบรอบ $360^\circ$ ใน $60$ นาที จึงหมุนนาทีละ $\tfrac{360}{60} = 6^\circ$
ใน $15$ นาที หมุนไป $6 \times 15 = 90^\circ$
ทิศทางคือตามเข็มนาฬิกา และจุดหมุนคือแกนกลางหน้าปัดที่เข็มติดอยู่

หมุนจุดบนกระดาษ

ลากส่วนของเส้นตรง $OP$
วางจุดศูนย์กลางของโพรแทรกเตอร์ที่ $O$ แล้ววัดมุมจาก $OP$ ไปตามทิศที่กำหนด ลากรังสีจาก $O$ ทำมุมตามที่กำหนด
กางวงเวียนรัศมี $OP$ ปลายเหล็กที่ $O$ เขียนส่วนโค้งตัดรังสีนั้น จุดตัดคือ $P'$
หมุนรูปหลายเหลี่ยม ให้หมุนจุดยอดทีละจุดด้วยจุดหมุนและมุมเดียวกัน แล้วต่อจุดยอดของภาพ

ลองหมุนดู

ในกราฟข้างล่าง จุดหมุน $O$ สีม่วงลากได้ จุดยอดของสามเหลี่ยมก็ลากได้ เส้นโค้งประคือทางที่จุด $A$ เคลื่อนไประหว่างหมุน ลองเลื่อนมุมไปทีละ $15^\circ$ แล้วดูว่า $OA$ กับ $OA'$ ยาวเท่ากันเสมอ

ตั้งมุมเป็น $90^\circ$ $180^\circ$ และ $270^\circ$ ตอนจุด $O$ อยู่ที่จุดกำเนิด แล้วอ่านกฎใต้กราฟ

หมุนรอบจุดกำเนิด

ถ้าจุดหมุนคือจุดกำเนิด และหมุนทีละ $90^\circ$ พิกัดของภาพหาได้โดยไม่ต้องใช้โพรแทรกเตอร์ ดูจุด $P(3, 1)$ การเดินจาก $O$ ไป $P$ คือเดินไปทางขวา $3$ แล้วขึ้น $1$ เมื่อหมุนทั้งรูปทวนเข็มนาฬิกา $90^\circ$ ทิศขวากลายเป็นทิศขึ้น และทิศขึ้นกลายเป็นทิศซ้าย การเดินไป $P'$ จึงเป็นขึ้น $3$ แล้วไปทางซ้าย $1$ ได้ $P'(-1, 3)$

หมุนทวนเข็มนาฬิกา 90° ขา 3 ที่เคยชี้ไปทางขวากลายเป็นชี้ขึ้น ขา 1 ที่เคยชี้ขึ้นกลายเป็นชี้ไปทางซ้าย

ทำแบบเดียวกันกับมุมอื่นจะได้กฎทั้งหมด

สมบัติ

หมุนรอบจุดกำเนิด จุด $(x, y)$ มีภาพดังนี้

การหมุน	ภาพของ $(x, y)$
ทวนเข็มนาฬิกา $90^\circ$	$(-y,\ x)$
$180^\circ$ ทิศใดก็ได้	$(-x,\ -y)$
ตามเข็มนาฬิกา $90^\circ$ หรือทวนเข็มนาฬิกา $270^\circ$	$(y,\ -x)$

การหมุน $180^\circ$ ไม่ต้องบอกทิศ เพราะหมุนไปทางไหนก็ไปถึงที่เดียวกัน

ตัวอย่าง 2

สามเหลี่ยม $ABC$ มีจุดยอด $A(2, 1)$ $B(5, 1)$ และ $C(2, 3)$ หมุนรอบจุดกำเนิดทวนเข็มนาฬิกา $90^\circ$ จงหาพิกัดของจุดยอดของภาพ

กฎคือ $(x, y) \to (-y, x)$ สลับที่สองพิกัด แล้วใส่เครื่องหมายลบให้ตัวที่ขึ้นมาอยู่หน้า
$A(2, 1) \to A'(-1, 2)$
$B(5, 1) \to B'(-1, 5)$ และ $C(2, 3) \to C'(-3, 2)$
ตรวจ $AB$ ยาว $3$ ตามแนวนอน $A'B'$ ยาว $3$ ตามแนวตั้ง ด้านหมุนไป $90^\circ$ ตามที่ควรเป็น

ตัวอย่าง 3

จุด $P(-4, 2)$ หมุนรอบจุดกำเนิด $180^\circ$ และหมุนตามเข็มนาฬิกา $90^\circ$ ได้ภาพที่ใด

หมุน $180^\circ$ ใช้ $(x, y) \to (-x, -y)$ ได้ $(4, -2)$ จุดเดิมอยู่ในจตุภาคที่ 2 ภาพไปอยู่ฝั่งตรงข้ามในจตุภาคที่ 4
ตามเข็มนาฬิกา $90^\circ$ ใช้ $(x, y) \to (y, -x)$ ได้ $(2, -(-4)) = (2, 4)$
ตรวจ จุด $P$ อยู่ในจตุภาคที่ 2 หมุนตามเข็มนาฬิกาหนึ่งในสี่รอบ จะไปอยู่จตุภาคที่ 1 ซึ่ง $(2, 4)$ อยู่ในจตุภาคที่ 1 จริง

(−x, y) ไม่ใช่การหมุน 90°

นักเรียนบางคนหมุน $P(3, 1)$ ทวนเข็มนาฬิกา $90^\circ$ แล้วตอบ $(-3, 1)$ เพราะเปลี่ยนเครื่องหมายแค่ตัวเดียว จุดนั้นคือภาพจากการสะท้อนข้ามแกน $y$ ต่างหาก การหมุน $90^\circ$ ต้องสลับที่สองพิกัดด้วยเสมอ ถ้าไม่แน่ใจ ให้วาดจุดลงตารางแล้วดูว่า $OP$ กับ $OP'$ ตั้งฉากกันไหม

ลองคิดก่อน

หมุนจุดรอบจุดกำเนิดตามเข็มนาฬิกา $270^\circ$ กับหมุนทวนเข็มนาฬิกา $90^\circ$ ได้ภาพเดียวกันหรือไม่

ดูคำตอบ

ได้ภาพเดียวกัน หมุนตามเข็มนาฬิกาครบรอบคือ $360^\circ$ หมุนไป $270^\circ$ จึงขาดอีก $90^\circ$ จะครบรอบ ตำแหน่งที่ได้จึงเหมือนถอยกลับจากจุดเดิมไปทางทวนเข็มนาฬิกา $90^\circ$ ทั้งสองแบบใช้กฎ $(x, y) \to (-y, x)$ เหมือนกัน ทำนองเดียวกัน ทวนเข็มนาฬิกา $270^\circ$ ก็คือตามเข็มนาฬิกา $90^\circ$

หมุนรอบจุดอื่นบนตาราง

ถ้าจุดหมุนไม่ใช่จุดกำเนิด ให้มองจุดหมุนเหมือนเป็นจุดกำเนิดชั่วคราว นับว่าจุดที่จะหมุนอยู่ห่างจากจุดหมุนไปทางขวาและขึ้นเท่าไร แล้วหมุนการเดินนั้นแบบเดียวกับหัวข้อที่แล้ว

ตัวอย่าง 4

หมุนจุด $P(4, 2)$ รอบจุด $K(1, 1)$ ทวนเข็มนาฬิกา $90^\circ$ ได้ภาพที่ใด

จาก $K$ ไป $P$ คือไปทางขวา $4 - 1 = 3$ และขึ้น $2 - 1 = 1$
หมุนทวนเข็มนาฬิกา $90^\circ$ ทางขวา $3$ กลายเป็นขึ้น $3$ ขึ้น $1$ กลายเป็นไปทางซ้าย $1$
เริ่มจาก $K(1, 1)$ ไปทางซ้าย $1$ และขึ้น $3$ ได้ $P'(0, 4)$
ตรวจระยะ $KP = \sqrt{3^2 + 1^2}$ และ $KP' = \sqrt{1^2 + 3^2}$ เท่ากันตามที่ควรเป็น

สมบัติของการหมุน

สมบัติ

เมื่อหมุนรูปใดๆ

ภาพมีขนาดและรูปร่างเหมือนรูปต้นแบบ
ทุกจุดอยู่ห่างจากจุดหมุนเท่าเดิม และหมุนไปด้วยมุมเท่ากันทุกจุด
จุดหมุนเป็นภาพของตัวเอง
ภาพไม่กลับด้าน ทิศการวนของจุดยอดเหมือนรูปต้นแบบ ต่างจากการสะท้อน

ตัวอย่าง 5

พัดลมตัวหนึ่งมีใบพัด $3$ ใบ เว้นระยะเท่ากัน ถ้าหมุนใบพัดรอบแกนกลาง ต้องหมุนอย่างน้อยกี่องศา ใบพัดจึงดูเหมือนตอนเริ่มทุกอย่าง

ใบพัด $3$ ใบแบ่งรอบวง $360^\circ$ ออกเป็นสามส่วนเท่ากัน ใบที่ติดกันห่างกัน $\tfrac{360}{3} = 120^\circ$
หมุน $120^\circ$ ใบแต่ละใบจะไปอยู่ตรงตำแหน่งของใบถัดไปพอดี
หมุนน้อยกว่า $120^\circ$ ใบพัดจะยังไม่ทับตำแหน่งเดิม คำตอบคือ $120^\circ$

สรุป

การหมุนต้องบอกจุดหมุน ขนาดของมุม และทิศทาง ถ้าไม่บอกทิศถือว่าทวนเข็มนาฬิกา
ทุกจุดอยู่ห่างจากจุดหมุนเท่าเดิม ภาพไม่กลับด้าน
รอบจุดกำเนิด ทวน $90^\circ$ ได้ $(-y, x)$ หมุน $180^\circ$ ได้ $(-x, -y)$ ตาม $90^\circ$ ได้ $(y, -x)$
หมุนรอบจุดอื่น ให้นับระยะจากจุดหมุนแล้วหมุนการเดินนั้น