2.5 สร้างรูปสามเหลี่ยม

ครูแจกไม้สามท่อนยาว $6$ $5$ และ $4$ เซนติเมตรให้ทุกกลุ่ม แล้วสั่งให้ต่อเป็นรูปสามเหลี่ยม ทุกกลุ่มจะได้รูปสามเหลี่ยมหน้าตาเหมือนกันหมด อาจหันคนละทางหรือพลิกกลับด้าน แต่ซ้อนกันได้สนิท ถ้าเปลี่ยนเป็นไม้ยาว $3$ $4$ และ $8$ เซนติเมตร ไม่มีกลุ่มไหนต่อได้เลย หน้านี้จะสร้างรูปสามเหลี่ยมด้วยวงเวียน และดูว่าต้องรู้อะไรบ้างจึงจะได้รูปเดียว

รู้ความยาวของด้านทั้งสาม

ใช้หลักของวงเวียนจากหน้า 2.1 จุดยอดที่สามต้องห่างจาก $A$ เท่ากับ $AC$ และห่างจาก $B$ เท่ากับ $BC$ พร้อมกัน จึงอยู่ตรงจุดตัดของส่วนโค้งสองเส้น

ตั้ง $AB = 8$ $AC = 3$ $BC = 4$ แล้วเลื่อนไปขั้นที่ 2 ดูว่าเกิดอะไรขึ้นกับส่วนโค้ง

ตัวอย่าง 1

จงสร้างรูปสามเหลี่ยม $ABC$ ที่มี $AB = 6$ เซนติเมตร $AC = 5$ เซนติเมตร และ $BC = 4$ เซนติเมตร

ลากรังสีจาก $A$ กางวงเวียน $6$ เซนติเมตร ใช้ $A$ เป็นจุดศูนย์กลาง เขียนส่วนโค้งตัดรังสีที่ $B$ ได้ $AB = 6$ เซนติเมตร
กางวงเวียน $5$ เซนติเมตร ใช้ $A$ เป็นจุดศูนย์กลาง เขียนส่วนโค้งเหนือ $\overline{AB}$
กางวงเวียน $4$ เซนติเมตร ใช้ $B$ เป็นจุดศูนย์กลาง เขียนส่วนโค้งตัดส่วนโค้งในขั้นที่ 2 ที่ $C$
ลาก $\overline{AC}$ และ $\overline{BC}$ ได้รูปสามเหลี่ยม $ABC$ ตามต้องการ

ส่วนโค้งสองเส้นตัดกันได้อีกจุดหนึ่งใต้ $\overline{AB}$ รูปที่ได้จากจุดนั้นคือรูปเดิมที่พลิกกลับด้าน จึงนับเป็นรูปเดียวกัน

เงื่อนไขของความยาวด้าน

จะสร้างรูปสามเหลี่ยมได้ ผลบวกของความยาวด้านสองด้านใดๆ ต้องมากกว่าความยาวของด้านที่เหลือ

ตรวจแค่ครั้งเดียวก็พอ คือผลบวกของสองด้านที่สั้นกว่าต้องมากกว่าด้านที่ยาวที่สุด

เหตุผลเหมือนตัวอย่างร้านเครื่องเขียนในหน้า 2.1 ถ้า $AC + BC$ ไม่ถึง $AB$ ส่วนโค้งรอบ $A$ กับรอบ $B$ ยื่นเข้าหากันแล้วยังไม่ถึงกัน จึงไม่มีจุด $C$

ตัวอย่าง 2

ความยาวด้านชุดใดสร้างรูปสามเหลี่ยมได้

(1) $3$ $4$ $8$ เซนติเมตร (2) $5$ $5$ $9$ เซนติเมตร (3) $4$ $6$ $10$ เซนติเมตร

ชุดที่ 1 สองด้านที่สั้นกว่ารวมกันได้ $3 + 4 = 7$ น้อยกว่า $8$ สร้างไม่ได้
ชุดที่ 2 ได้ $5 + 5 = 10$ มากกว่า $9$ สร้างได้ เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาวเท่ากันสองด้าน
ชุดที่ 3 ได้ $4 + 6 = 10$ เท่ากับ $10$ พอดี ไม่มากกว่า จึงสร้างไม่ได้

ลองคิดก่อน

ชุดที่ 3 ในตัวอย่าง 2 มี $4 + 6 = 10$ พอดี บางคนคิดว่าเท่ากันก็น่าจะต่อได้ เพราะไม้ไม่ได้สั้นเกิน ทำไมจึงสร้างไม่ได้

ดูคำตอบ

ลองสร้างดู ให้ $AB = 10$ ส่วนโค้งรัศมี $4$ รอบ $A$ กับรัศมี $6$ รอบ $B$ แตะกันพอดีที่จุดเดียว และจุดนั้นอยู่บน $\overline{AB}$ ห่างจาก $A$ เป็นระยะ $4$ จุด $C$ จึงอยู่บนเส้นเดียวกับ $A$ และ $B$ ด้านทั้งสามนอนทับกันเป็นเส้นตรงเส้นเดียว ไม่มีพื้นที่ข้างใน จึงไม่ใช่รูปสามเหลี่ยม ในกราฟข้างบนลองตั้ง $AB = 6$ $AC = 2$ $BC = 4$ จะเห็นแบบเดียวกัน

รู้ด้านสองด้านกับมุมในระหว่าง

มุมในระหว่างคือมุมที่อยู่ระหว่างสองด้านนั้น เช่น ด้าน $AB$ กับด้าน $AC$ มีมุมในระหว่างคือ $B\hat{A}C$ ที่จุดยอด $A$

ตัวอย่าง 3

จงสร้างรูปสามเหลี่ยม $ABC$ ที่มี $AB = 6$ เซนติเมตร $B\hat{A}C = 60^\circ$ และ $AC = 4$ เซนติเมตร แล้ววัดความยาวของ $\overline{BC}$

สร้าง $\overline{AB}$ ยาว $6$ เซนติเมตร
สร้างมุม $60^\circ$ ที่จุด $A$ บน $\overline{AB}$ ด้วยวิธีในหน้า 2.3 ได้รังสีจาก $A$
กางวงเวียน $4$ เซนติเมตร ใช้ $A$ เป็นจุดศูนย์กลาง เขียนส่วนโค้งตัดรังสีในขั้นที่ 2 ที่ $C$
ลาก $\overline{BC}$ ได้รูปสามเหลี่ยม $ABC$ วัด $BC$ ได้ประมาณ $5.3$ เซนติเมตร

เส้นบางคือรังสีที่ทำมุม 60° ส่วนโค้งรัศมี 4 ซม. ตัดรังสีที่ C

ความยาว $BC$ ไม่ได้กำหนดมาในโจทย์ แต่ทุกคนที่สร้างถูกจะวัดได้เท่ากัน เพราะสองด้านกับมุมในระหว่างล็อกรูปไว้แล้ว ถ้าให้มุมที่ไม่ได้อยู่ระหว่างสองด้านนั้น เช่นให้มุมที่ $B$ แทน อาจได้รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่ต่างกัน

รู้มุมสองมุมกับด้านในระหว่าง

ด้านในระหว่างคือด้านที่เชื่อมจุดยอดของสองมุมนั้น เช่น มุมที่ $B$ กับมุมที่ $C$ มีด้านในระหว่างคือ $\overline{BC}$

ตัวอย่าง 4

จงสร้างรูปสามเหลี่ยม $ABC$ ที่มี $BC = 7$ เซนติเมตร $A\hat{B}C = 60^\circ$ และ $A\hat{C}B = 45^\circ$ แล้วหาขนาดของ $B\hat{A}C$

สร้าง $\overline{BC}$ ยาว $7$ เซนติเมตร
สร้างมุม $60^\circ$ ที่จุด $B$ ให้แขนอยู่เหนือ $\overline{BC}$
สร้างมุม $45^\circ$ ที่จุด $C$ ด้านเดียวกัน ด้วยการสร้างเส้นตั้งฉากที่ $C$ แล้วแบ่งครึ่งมุมฉาก
แขนของมุมทั้งสองตัดกันที่ $A$ ได้รูปสามเหลี่ยม $ABC$
มุมภายในรวมกันได้ $180^\circ$ จึงได้ $B\hat{A}C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ$ วัดด้วยไม้โปรแทรกเตอร์เพื่อตรวจงานได้

ลองคิดก่อน

ถ้าโจทย์ให้ $A\hat{B}C = 120^\circ$ และ $A\hat{C}B = 60^\circ$ โดย $BC = 7$ เซนติเมตร จะสร้างรูปสามเหลี่ยมได้ไหม

ดูคำตอบ

ไม่ได้ สองมุมรวมกัน $120^\circ + 60^\circ = 180^\circ$ ไม่เหลือมุมให้จุดยอด $A$ เลย ถ้าลองสร้าง แขนของสองมุมจะขนานกัน เพราะเอียงเท่ากันแบบเดียวกับวิธีสร้างเส้นขนานด้วยมุมในหน้า 2.4 จึงไม่มีวันตัดกัน ถ้าสองมุมรวมกันเกิน $180^\circ$ แขนยิ่งถ่างออกจากกัน มุมสองมุมที่ให้มาจึงต้องรวมกันได้น้อยกว่า $180^\circ$

รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วและรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาวเท่ากันสองด้าน เรียกว่ารูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งเป็นมุมฉาก เรียกว่ารูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ทั้งสองแบบสร้างได้ด้วยวิธีที่มีอยู่แล้ว

ตัวอย่าง 5

(1) จงสร้างรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีฐานยาว $6$ เซนติเมตร และด้านที่ยาวเท่ากันยาวด้านละ $5$ เซนติเมตร (2) จงสร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก $ABC$ ที่มีมุมฉากที่ $A$ $AB = 4$ เซนติเมตร และ $AC = 3$ เซนติเมตร แล้ววัด $BC$

ข้อ (1) คือรูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน $6$ $5$ $5$ เซนติเมตร ตรวจเงื่อนไข $5 + 5 = 10$ มากกว่า $6$ แล้วสร้างแบบตัวอย่าง 1 โดยใช้ฐานเป็นด้านแรก และเขียนส่วนโค้งรัศมี $5$ เซนติเมตรจากปลายทั้งสองของฐาน
ข้อ (2) สร้าง $\overline{AB}$ ยาว $4$ เซนติเมตร แล้วสร้างเส้นตั้งฉากกับ $\overline{AB}$ ที่จุด $A$
ถ่ายความยาว $3$ เซนติเมตรจาก $A$ ไปบนเส้นตั้งฉาก ได้จุด $C$ ลาก $\overline{BC}$
วัด $BC$ ได้ $5$ เซนติเมตรพอดี เหตุผลที่ได้เลขลงตัวจะได้เรียนในบทที่ 10 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

สรุป

รู้ด้านสามด้าน ใช้ส่วนโค้งสองเส้นจากปลายของด้านแรก จุดตัดคือจุดยอดที่สาม
สร้างได้เมื่อผลบวกของสองด้านที่สั้นกว่ามากกว่าด้านที่ยาวที่สุด ถ้าเท่ากันพอดีหรือน้อยกว่า สร้างไม่ได้
รู้ด้านสองด้านกับมุมในระหว่าง สร้างมุมก่อน แล้วถ่ายความยาวลงบนแขน
รู้มุมสองมุมกับด้านในระหว่าง สร้างมุมที่ปลายทั้งสองของด้าน แขนตัดกันที่จุดยอดที่สาม มุมสองมุมต้องรวมกันน้อยกว่า $180^\circ$