descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 19 การให้เหตุผลทางเรขาคณิตตรงกับหนังสือ ม.2 เล่ม 2 บทที่ 4

19.6 แบบฝึกหัด

ทำในกระดาษก่อน แล้วค่อยใส่คำตอบให้เว็บตรวจ ตอบผิดได้ไม่จำกัดครั้ง ติดจริงๆ ค่อยเปิดคำใบ้ทีละขั้น และเปิดวิธีทำหลังทำเสร็จแล้วเท่านั้น

ข้อ 1 สิ่งที่กำหนดให้

ระดับง่าย

ข้อความ "ถ้ารูปสามเหลี่ยมมีด้านยาวเท่ากันทั้งสามด้าน แล้วมุมทุกมุมมีขนาด 60∘60^\circ" ข้อใดคือสิ่งที่กำหนดให้

คำตอบ

คำใบ้ขั้นที่ 1

สิ่งที่กำหนดให้คือส่วนที่อยู่หลังคำว่า ถ้า

ดูวิธีทำ

ในข้อความ "ถ้า pp แล้ว qq" ส่วน pp หลังคำว่า ถ้า คือสิ่งที่กำหนดให้ ส่วน qq หลังคำว่า แล้ว คือสิ่งที่ต้องพิสูจน์

ข้อนี้สิ่งที่กำหนดให้คือ รูปสามเหลี่ยมมีด้านยาวเท่ากันทั้งสามด้าน ส่วนสิ่งที่ต้องพิสูจน์คือ มุมทุกมุมมีขนาด 60∘60^\circ ซึ่งพิสูจน์ไว้ในตัวอย่าง 3 ของหน้า 19.4

ข้อ 2 มุมของกรรไกร

ระดับง่าย

กรรไกรที่กางอยู่ ใบมีดกับด้ามจับแต่ละข้างเป็นเส้นตรงเดียวกัน และเส้นตรงทั้งสองตัดกันที่หมุด มุมระหว่างด้ามจับทั้งสองมีขนาด (3x+12)∘(3x + 12)^\circ และมุมระหว่างปลายใบมีดทั้งสองมีขนาด (5x−20)∘(5x - 20)^\circ มุมระหว่างปลายใบมีดมีขนาดกี่องศา

องศา

คำใบ้ขั้นที่ 1

ใบมีดสองใบเป็นเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกันที่หมุด มุมระหว่างด้ามจับกับมุมระหว่างปลายใบมีดเป็นมุมคู่แบบไหน

คำใบ้ขั้นที่ 2

มุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน จึงได้สมการ 3x+12=5x−203x + 12 = 5x - 20

ดูวิธีทำ
  1. มุมระหว่างด้ามจับกับมุมระหว่างปลายใบมีดอยู่ตรงข้ามกันที่หมุด จึงเป็นมุมตรงข้าม มีขนาดเท่ากัน
  2. 3x+12=5x−203x + 12 = 5x - 20 ได้ 32=2x32 = 2x จึงได้ x=16x = 16
  3. มุมระหว่างปลายใบมีดคือ 5(16)−20=605(16) - 20 = 60 องศา ตรวจ 3(16)+12=603(16) + 12 = 60 เท่ากัน

ข้อ 3 หลังคาทรงจั่ว

ระดับง่าย

โครงหลังคาทรงจั่วทำจากไม้จันทันสองท่อนยาวเท่ากัน ปลายบนชนกันที่ยอดจั่ว ปลายล่างวางบนคานแนวนอน ถ้ามุมที่ยอดจั่วมีขนาด 110∘110^\circ ไม้จันทันแต่ละท่อนทำมุมกับคานกี่องศา

องศา

คำใบ้ขั้นที่ 1

ไม้จันทันสองท่อนกับคานเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุมที่ไม้จันทันทำกับคานคือมุมที่ฐาน

คำใบ้ขั้นที่ 2

มุมที่ฐานสองมุมเท่ากัน และมุมทั้งสามรวมกันได้ 180∘180^\circ

ดูวิธีทำ

ไม้จันทันสองท่อนยาวเท่ากัน รูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากไม้จันทันกับคานจึงเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว มุมที่ฐานเท่ากัน ให้เป็นมุมละ xx องศา

110+x+x=180110 + x + x = 180 ได้ 2x=702x = 70 จึงได้ x=35x = 35 ไม้จันทันแต่ละท่อนทำมุม 35∘35^\circ กับคาน

ข้อ 4 จุดบนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก

ระดับกลาง

เส้นตรง ll ตั้งฉากกับ AB‾\overline{AB} ที่จุดกึ่งกลาง MM และจุด PP อยู่บนเส้นตรง ll เรียงขั้นการพิสูจน์ว่า PA=PBPA = PB

A B M P l
เส้นประ l ตั้งฉากกับ AB ที่จุดกึ่งกลาง M
  1. PM=PMPM = PM เพราะเป็นด้านร่วม
  2. AM=BMAM = BM เพราะ MM เป็นจุดกึ่งกลางของ AB‾\overline{AB}
  3. PM^A=PM^B=90∘P\hat{M}A = P\hat{M}B = 90^\circ เพราะเส้นตรง ll ตั้งฉากกับ AB‾\overline{AB}
  4. PA=PBPA = PB เพราะเป็นด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ
  5. △PMA≅△PMB\triangle PMA \cong \triangle PMB แบบ ด.ม.ด.

คำใบ้ขั้นที่ 1

PAPA อยู่ใน △PMA\triangle PMA และ PBPB อยู่ใน △PMB\triangle PMB ต้องแสดงก่อนว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปนี้เท่ากันทุกประการ

คำใบ้ขั้นที่ 2

ส่วนที่เท่ากันสามคู่จะเรียงลำดับไหนก็ได้ แต่ต้องมาก่อนการสรุปว่าเท่ากันทุกประการ

ดูวิธีทำ
ข้อความเหตุผล
(1) AM=BMAM = BMMM เป็นจุดกึ่งกลางของ AB‾\overline{AB}
(2) PM^A=PM^B=90∘P\hat{M}A = P\hat{M}B = 90^\circll ตั้งฉากกับ AB‾\overline{AB}
(3) PM=PMPM = PMเป็นด้านร่วม
(4) △PMA≅△PMB\triangle PMA \cong \triangle PMBด.ม.ด. จาก (1) (2) (3)
(5) PA=PBPA = PBด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการยาวเท่ากัน

สามบรรทัดแรกสลับกันได้ ผลนี้บอกว่าทุกจุดบนเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของ AB‾\overline{AB} อยู่ห่างจาก AA และ BB เท่ากัน ซึ่งเป็นเหตุผลที่การสร้างเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากด้วยวงเวียนตอน ม.1 ใช้ได้

ข้อ 5 บทกลับที่จริง

ระดับกลาง

ข้อความทุกข้อต่อไปนี้เป็นจริง ข้อใดมีบทกลับที่เป็นจริงด้วย

คำตอบ

คำใบ้ขั้นที่ 1

เขียนบทกลับของแต่ละข้อก่อน โดยสลับส่วนหลังคำว่า ถ้า กับส่วนหลังคำว่า แล้ว

คำใบ้ขั้นที่ 2

บทกลับที่ไม่จริงจะมีตัวอย่างค้าน ลองหาตัวอย่างค้านของแต่ละข้อ

ดูวิธีทำ

บทกลับของข้อที่ถูกคือ "ถ้ารูปสามเหลี่ยมมีมุมสองมุมขนาดเท่ากัน แล้วด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมทั้งสองยาวเท่ากัน" ซึ่งพิสูจน์ไว้ในหน้า 19.4 ด้วย ม.ด.ม.

ข้ออื่นมีตัวอย่างค้านของบทกลับ

  • รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว 5 5 และ 8 เซนติเมตร เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว แต่ไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
  • มุมฉากสองมุมที่อยู่คนละที่ มีขนาดเท่ากัน แต่ไม่เป็นมุมตรงข้าม
  • x=−5x = -5 ทำให้ x2=25x^2 = 25 แต่ x≠5x \neq 5

ข้อ 6 ตัวอย่างค้าน

ระดับกลาง

ข้อความ "ถ้ารูปสี่เหลี่ยมมีเส้นทแยงมุมยาวเท่ากัน แล้วรูปสี่เหลี่ยมนั้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส" ไม่เป็นจริง รูปใดเป็นตัวอย่างค้านของข้อความนี้

คำตอบ

คำใบ้ขั้นที่ 1

ตัวอย่างค้านต้องทำให้ส่วนหลังคำว่า ถ้า เป็นจริง แต่ส่วนหลังคำว่า แล้ว ไม่จริง

ดูวิธีทำ

ตัวอย่างค้านต้องมีเส้นทแยงมุมยาวเท่ากัน แต่ไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 4 เซนติเมตร ยาว 6 เซนติเมตร มีเส้นทแยงมุมยาวเท่ากันทั้งสองเส้น เพราะเส้นทแยงมุมแต่ละเส้นเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 4 และ 6 เซนติเมตรเหมือนกัน แต่ด้านของรูปยาวไม่เท่ากัน จึงไม่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

ข้อความนี้คือบทกลับของ "ถ้ารูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส แล้วเส้นทแยงมุมยาวเท่ากัน" ซึ่งเป็นจริง

ข้อ 7 รั้วรอบที่ดิน

ระดับกลาง

ที่ดินแปลงหนึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCDABCD วัดด้าน ABAB ได้ 3x−23x - 2 เมตร ด้าน DCDC ได้ x+10x + 10 เมตร และด้าน BCBC ยาว 99 เมตร ต้องใช้รั้วล้อมรอบที่ดินแปลงนี้ยาวกี่เมตร

เมตร

คำใบ้ขั้นที่ 1

ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานยาวเท่ากัน จึงได้ 3x−2=x+103x - 2 = x + 10

คำใบ้ขั้นที่ 2

อย่าลืมว่า ADAD ยาวเท่ากับ BCBC ด้วย

ดูวิธีทำ
  1. ABAB กับ DCDC เป็นด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน จึงยาวเท่ากัน 3x−2=x+103x - 2 = x + 10 ได้ x=6x = 6
  2. AB=DC=3(6)−2=16AB = DC = 3(6) - 2 = 16 เมตร และ AD=BC=9AD = BC = 9 เมตร
  3. รั้วยาว 16+9+16+9=5016 + 9 + 16 + 9 = 50 เมตร

ข้อ 8 เส้นจากจุดกึ่งกลางยาวเท่ากัน

ระดับกลาง

△ABC\triangle ABC มี AB=ACAB = AC จุด DD และ EE เป็นจุดกึ่งกลางของ AB‾\overline{AB} และ AC‾\overline{AC} ตามลำดับ เรียงขั้นการพิสูจน์ว่า CD=BECD = BE

A B C D E
D และ E เป็นจุดกึ่งกลางของด้านที่ยาวเท่ากัน
  1. DB=ECDB = EC เพราะ AB=ACAB = AC และ DD กับ EE แบ่งครึ่ง AB‾\overline{AB} กับ AC‾\overline{AC}
  2. DB^C=EC^BD\hat{B}C = E\hat{C}B เพราะเป็นมุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ABCABC
  3. △DBC≅△ECB\triangle DBC \cong \triangle ECB แบบ ด.ม.ด.
  4. CD=BECD = BE เพราะเป็นด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ
  5. BC=CBBC = CB เพราะเป็นด้านร่วม

คำใบ้ขั้นที่ 1

CDCD อยู่ใน △DBC\triangle DBC และ BEBE อยู่ใน △ECB\triangle ECB สองรูปนี้มีด้าน BCBC ร่วมกัน

คำใบ้ขั้นที่ 2

มุมที่ BB กับมุมที่ CC ของสองรูปนี้คือมุมที่ฐานของ △ABC\triangle ABC

ดูวิธีทำ
ข้อความเหตุผล
(1) DB=ECDB = ECครึ่งหนึ่งของ ABAB เท่ากับครึ่งหนึ่งของ ACAC เพราะ AB=ACAB = AC
(2) DB^C=EC^BD\hat{B}C = E\hat{C}Bมุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีขนาดเท่ากัน
(3) BC=CBBC = CBเป็นด้านร่วม
(4) △DBC≅△ECB\triangle DBC \cong \triangle ECBด.ม.ด. จาก (1) (2) (3)
(5) CD=BECD = BEด้านคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการยาวเท่ากัน

สามบรรทัดแรกสลับกันได้ บรรทัด (2) ใช้ทฤษฎีบทมุมที่ฐานที่พิสูจน์แล้ว ไม่ต้องพิสูจน์ซ้ำ

ข้อ 9 เส้นขนานในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ระดับยาก

△ABC\triangle ABC มี AB=ACAB = AC ส่วนของเส้นตรง DEDE ขนานกับ BCBC โดย DD อยู่บน AB‾\overline{AB} และ EE อยู่บน AC‾\overline{AC} เรียงขั้นการพิสูจน์ว่า △ADE\triangle ADE เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว คือ AD=AEAD = AE

A B C D E
DE สีส้มขนานกับฐาน BC
  1. AD^E=AB^CA\hat{D}E = A\hat{B}C เพราะ DE‾∥BC‾\overline{DE} \parallel \overline{BC} มี AB↔\overleftrightarrow{AB} เป็นเส้นตัด เป็นมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด
  2. AB^C=AC^BA\hat{B}C = A\hat{C}B เพราะ AB=ACAB = AC มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีขนาดเท่ากัน
  3. AD=AEAD = AE เพราะถ้ามุมสองมุมของรูปสามเหลี่ยมมีขนาดเท่ากัน ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมทั้งสองยาวเท่ากัน
  4. AE^D=AC^BA\hat{E}D = A\hat{C}B เพราะ DE‾∥BC‾\overline{DE} \parallel \overline{BC} มี AC↔\overleftrightarrow{AC} เป็นเส้นตัด เป็นมุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด
  5. AD^E=AE^DA\hat{D}E = A\hat{E}D เพราะสิ่งที่เท่ากับสิ่งเดียวกันย่อมเท่ากัน

คำใบ้ขั้นที่ 1

เป้าหมายคือ AD=AEAD = AE ใน △ADE\triangle ADE ถ้ารู้ว่ามุมสองมุมของ △ADE\triangle ADE เท่ากัน จะใช้บทกลับของทฤษฎีบทมุมที่ฐานได้

คำใบ้ขั้นที่ 2

มุมที่ DD กับมุมที่ EE ของ △ADE\triangle ADE เท่ากับมุมไหนของ △ABC\triangle ABC เพราะ DE∥BCDE \parallel BC

ดูวิธีทำ
ข้อความเหตุผล
(1) AB^C=AC^BA\hat{B}C = A\hat{C}BAB=ACAB = AC มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีขนาดเท่ากัน
(2) AD^E=AB^CA\hat{D}E = A\hat{B}CDE∥BCDE \parallel BC มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด ABAB
(3) AE^D=AC^BA\hat{E}D = A\hat{C}BDE∥BCDE \parallel BC มุมภายนอกและมุมภายในที่อยู่ตรงข้ามบนข้างเดียวกันของเส้นตัด ACAC
(4) AD^E=AE^DA\hat{D}E = A\hat{E}Dจาก (1) (2) (3) สิ่งที่เท่ากับสิ่งเดียวกันย่อมเท่ากัน
(5) AD=AEAD = AEบทกลับของทฤษฎีบทมุมที่ฐาน ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมที่เท่ากันยาวเท่ากัน

สามบรรทัดแรกสลับกันได้ ข้อนี้ใช้ทั้งทฤษฎีบทมุมที่ฐานในบรรทัด (1) และบทกลับของมันในบรรทัด (5) โดยไม่ต้องใช้รูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการเลย

ข้อ 10 เขียนพิสูจน์รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ระดับยาก

รูปสี่เหลี่ยม ABCDABCD มี AB‾∥DC‾\overline{AB} \parallel \overline{DC} และ AB=DCAB = DC จงพิสูจน์ว่า ABCDABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เขียนสิ่งที่กำหนดให้ สิ่งที่ต้องพิสูจน์ และการพิสูจน์แบบตารางข้อความกับเหตุผลลงในกระดาษ เสร็จแล้วเปิดเฉลยเทียบตามเกณฑ์

A B C D
ด้านที่มีขีดยาวเท่ากัน และ AB ขนานกับ DC
คำใบ้ขั้นที่ 1

ลากเส้นทแยงมุม ACAC แล้วหามุมแย้งจาก AB∥DCAB \parallel DC

คำใบ้ขั้นที่ 2

เป้าหมายคือ AD∥BCAD \parallel BC ถ้าได้มุมแย้ง DA^C=BC^AD\hat{A}C = B\hat{C}A จะใช้บทกลับในบทที่ 18 ได้

ดูเฉลยและเกณฑ์ตรวจ

กำหนดให้ รูปสี่เหลี่ยม ABCDABCD มี AB‾∥DC‾\overline{AB} \parallel \overline{DC} และ AB=DCAB = DC

ต้องการพิสูจน์ว่า AD‾∥BC‾\overline{AD} \parallel \overline{BC} ซึ่งทำให้ ABCDABCD มีด้านตรงข้ามขนานกันสองคู่

ลากเส้นทแยงมุม AC‾\overline{AC}

ข้อความเหตุผล
(1) AB=CDAB = CDกำหนดให้
(2) BA^C=DC^AB\hat{A}C = D\hat{C}AAB‾∥DC‾\overline{AB} \parallel \overline{DC} มี AC‾\overline{AC} เป็นเส้นตัด มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน
(3) AC=CAAC = CAเป็นด้านร่วม
(4) △BAC≅△DCA\triangle BAC \cong \triangle DCAด.ม.ด. จาก (1) (2) (3)
(5) BC^A=DA^CB\hat{C}A = D\hat{A}Cมุมคู่ที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการมีขนาดเท่ากัน
(6) AD‾∥BC‾\overline{AD} \parallel \overline{BC}มี AC‾\overline{AC} เป็นเส้นตัด และมุมแย้ง DA^CD\hat{A}C กับ BC^AB\hat{C}A มีขนาดเท่ากัน จาก (5)
(7) ABCDABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีด้านตรงข้ามขนานกันสองคู่ จากที่กำหนดให้และ (6) ตามบทนิยาม

ตรวจของตัวเองทีละข้อ ได้ครบห้าข้อถือว่าผ่าน

  • เขียนสิ่งที่กำหนดให้และสิ่งที่ต้องพิสูจน์ด้วยชื่อจุดในรูป และรู้ว่าต้องไปจบที่ AD∥BCAD \parallel BC
  • ลากเส้นทแยงมุมเพื่อสร้างรูปสามเหลี่ยมสองรูป
  • ได้ส่วนที่เท่ากันครบสามคู่พร้อมเหตุผล และมุมที่ใช้ใน ด.ม.ด. อยู่ระหว่างด้านสองคู่นั้นจริง
  • เขียนชื่อจุดของรูปสามเหลี่ยมสองรูปให้คู่กันถูกต้อง เช่น △BAC≅△DCA\triangle BAC \cong \triangle DCA ไม่ใช่ △ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC
  • สรุปเรื่องขนานด้วยมุมแย้งที่เท่ากัน ไม่ใช่อ้างว่าดูจากรูป

ถ้าเลือกใช้เส้นทแยงมุม BD‾\overline{BD} แทน ก็พิสูจน์ได้แบบเดียวกัน ข้อนี้ต่างจากข้อความของแนนในหน้า 19.5 เพราะด้านคู่ที่ขนานกันกับด้านคู่ที่ยาวเท่ากันเป็นคู่เดียวกัน