50.2 ค่าคาดหมายและความแปรปรวน

เกมที่อาจได้เงินศูนย์หรือหนึ่งร้อยบาทไม่ได้ทำให้เราได้เงินเท่าค่าคาดหมายทุกครั้ง ค่าคาดหมายเป็นค่าเฉลี่ยที่ใช้เทียบเกมหรือประมาณผลสะสมเมื่อเล่นซ้ำตามแบบจำลอง

ลองนึกถึงซุ้มวงล้อในงานวัด วงล้อแบ่งเป็น $8$ ช่องเท่ากัน มีช่องรางวัลใหญ่ $100$ บาทหนึ่งช่อง ช่องรางวัล $20$ บาทสองช่อง อีกห้าช่องไม่ได้อะไร หมุนครั้งละ $20$ บาท บางคนหมุนครั้งแรกได้ $100$ บาทแล้วรู้สึกว่าคุ้มมาก บางคนหมุนห้าครั้งไม่ได้อะไรเลยแล้วรู้สึกว่าโดนโกง คำถามที่ควรถามคือถ้าหมุนไปเรื่อยๆ หลายร้อยครั้ง โดยเฉลี่ยแล้วได้คืนครั้งละเท่าไร หน้านี้ตอบคำถามนี้ด้วยตารางการแจกแจงจากหน้า 50.1

เฉลี่ยด้วยน้ำหนักความน่าจะเป็น

สมมติหมุนวงล้อ $800$ ครั้ง ตามแบบจำลอง ช่อง $100$ บาทควรออกราว $100$ ครั้ง ช่อง $20$ บาทราว $200$ ครั้ง และช่องว่างราว $500$ ครั้ง เงินรางวัลรวมจึงราว $100(100)+20(200)+0(500)=14000$ บาท หารด้วยจำนวนครั้งได้เฉลี่ยครั้งละ $17.5$ บาท สังเกตว่าการหารด้วย $800$ ทำให้จำนวนครั้งกลายเป็นสัดส่วน $1/8$ $2/8$ $5/8$ ซึ่งก็คือความน่าจะเป็น จำนวนครั้งรวมจึงหายไปจากสูตร เหลือแค่ค่าคูณโอกาสแล้วบวกกัน

$E(X)$ อ่านว่าค่าคาดหมายของ $X$ บางเล่มเขียน $\mu$ เพราะเป็นค่าเฉลี่ยของประชากรตามแบบจำลอง ความแปรปรวนนิยามจากค่าเฉลี่ยของระยะห่างกำลังสอง $E[(X-\mu)^2]$ แบบเดียวกับความแปรปรวนของข้อมูลในบทที่ 49 สูตร $E(X^2)-[E(X)]^2$ ได้จากการกระจายกำลังสองแล้วจัดรูป ใช้คำนวณง่ายกว่าเมื่อค่าเฉลี่ยไม่เป็นจำนวนเต็ม

กำไรสุทธิต้องหักค่าเล่นหรือค่าต้นทุนก่อนแปลผล ถ้า $Y=aX+b$ แล้ว $E(Y)=aE(X)+b$ และ $\operatorname{Var}(Y)=a^2\operatorname{Var}(X)$ การบวกค่าคงที่ไม่เปลี่ยนความแปรปรวน

ประกันภัยและเกมที่ยุติธรรม

บริษัทประกันภัยใช้ค่าคาดหมายตั้งราคาเบี้ยประกัน บริษัทไม่รู้ว่าลูกค้าคนไหนจะเกิดเหตุ แต่ถ้ามีลูกค้าหลายพันคน เงินที่ต้องจ่ายเฉลี่ยต่อคนจะใกล้ค่าคาดหมาย เบี้ยประกันจึงตั้งให้สูงกว่าค่าคาดหมายของเงินชดเชยเล็กน้อย ส่วนต่างคือค่าดำเนินงานและกำไร

เกมที่กำไรสุทธิคาดหมายเป็นศูนย์เรียกว่าเกมยุติธรรม ไม่มีฝ่ายใดได้เปรียบในระยะยาว ถ้าอยากให้เกมยุติธรรม ค่าเล่นต้องเท่ากับรางวัลคาดหมายพอดี วงล้องานวัดข้างบนจะยุติธรรมเมื่อค่าเล่นเป็น $17.5$ บาท

ค่าเฉลี่ยไม่บอกทุกอย่าง

สองเกมมีค่าคาดหมายเท่ากันแต่ความเสี่ยงต่างกันได้ จึงดูความแปรปรวนและจำนวนเงินที่อาจเสียด้วย บทนี้ใช้ข้อมูลสมมติคงที่เพื่อฝึกคำนวณ ไม่ได้อ้างว่าเกมจริงมีโอกาสตามตัวอย่าง

เช่น เกมแรกให้ $2$ บาททุกครั้ง เกมที่สองให้ $1$ หรือ $3$ บาทด้วยโอกาสเท่ากัน ทั้งสองเกมมีค่าคาดหมาย $2$ บาท แต่เกมแรกไม่มีความไม่แน่นอนเลย ความแปรปรวนเป็นศูนย์ ส่วนเกมที่สองผลแกว่งรอบค่าเฉลี่ย ความแปรปรวนจึงเป็นบวก ดังตัวอย่างต่อไป

แปลงรางวัลเป็นกำไรสุทธิ

การหักค่าเล่นคงที่ทำให้ค่าเฉลี่ยลดลงแต่ไม่เปลี่ยนความผันผวนของรางวัล เพราะทุกผลลัพธ์เลื่อนเท่ากัน การเพิ่มรางวัลเป็นสองเท่ากลับทำให้ระยะจากค่าเฉลี่ยเป็นสองเท่าและความแปรปรวนเป็นสี่เท่า จึงไม่เปรียบเทียบความแปรปรวนกับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยลืมหน่วย

ที่มาของสูตร $E(aX+b)$ เห็นได้จากผลบวก $\sum(ax+b)p(x)=a\sum xp(x)+b\sum p(x)=aE(X)+b$ เพราะความน่าจะเป็นรวมเป็นหนึ่ง ส่วนระยะจากค่าเฉลี่ยของ $Y$ คือ $(ax+b)-(a\mu+b)=a(x-\mu)$ ค่า $b$ หักล้างกันไป เหลือ $a$ ที่ถูกยกกำลังสองในความแปรปรวน

สรุป

• ค่าคาดหมายถ่วงด้วยความน่าจะเป็น และเป็นค่าเฉลี่ยระยะยาว ไม่จำเป็นต้องเป็นค่าที่เกิดได้จริง
• กำไรต้องหักต้นทุน เกมยุติธรรมมีกำไรคาดหมายเป็นศูนย์
• ค่าเฉลี่ยเท่ากันไม่ได้แปลว่าความเสี่ยงเท่ากัน
• $E(aX+b)=aE(X)+b$ และ $\operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X)$
• หน้าถัดไปเป็นการแจกแจงที่ใช้บ่อยที่สุดแบบหนึ่ง คือจำนวนครั้งที่สำเร็จจากการทดลองซ้ำ ซึ่งหาค่าคาดหมายได้ด้วยสูตรสั้นๆ