49.4 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากตารางและสัมประสิทธิ์การแปรผัน

ฝ่ายกิจการนักเรียนรู้แล้วจากหน้า 49.2 ว่านักเรียน ม.6 ใช้เวลาเดินทางเฉลี่ยประมาณ $23.25$ นาที คำถามต่อไปคือทุกคนใช้เวลาใกล้ๆ ค่านี้ หรือบางคนมาเร็วมากและบางคนมาช้ามาก ถ้าต่างกันมาก การเลื่อนเวลาเข้าแถวตามค่าเฉลี่ยก็ไม่ช่วยคนที่บ้านไกล แต่ข้อมูลที่มีเหลือแค่ตารางแจกแจงความถี่ และค่าเฉลี่ยเป็นทศนิยม การลบค่าเฉลี่ยออกจากข้อมูลทีละตัวตามนิยามในหน้า 49.3 จะยุ่งยากมาก หน้านี้หาวิธีคำนวณที่สั้นกว่า แล้วตอบอีกคำถามหนึ่งที่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตอบไม่ได้ คือข้อมูลต่างหน่วยชุดไหนกระจายมากกว่ากัน

สูตรลัดสำหรับความแปรปรวน

การลบค่าเฉลี่ยออกจากข้อมูลทีละตัวยุ่งยากเมื่อค่าเฉลี่ยเป็นทศนิยม กระจาย $(x_i-\mu)^2=x_i^2-2\mu x_i+\mu^2$ แล้วรวมทุกตัว ใช้ $\sum x_i=N\mu$ จะได้

$\sigma^2=\frac{\sum x_i^2}{N}-\mu^2$

อ่านว่า ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง ลบด้วยกำลังสองของค่าเฉลี่ย ข้อมูล $2,4,6$ ได้ $\tfrac{4+16+36}{3}-4^2=\tfrac{56}{3}-16=\tfrac{8}{3}$ ตรงกับตัวอย่างที่ 2 ในหน้า 49.3

ขั้นกลางของการพิสูจน์คือ $\sum(x_i-\mu)^2=\sum x_i^2-2\mu\sum x_i+N\mu^2=\sum x_i^2-2N\mu^2+N\mu^2=\sum x_i^2-N\mu^2$ แล้วหารด้วย $N$ ทั้งสองข้าง ข้อดีคือไม่ต้องลบค่าเฉลี่ยออกจากข้อมูลทีละตัว แค่รวมข้อมูลกับรวมกำลังสองของข้อมูล ซึ่งเครื่องคิดเลขทำในโหมดสถิติให้ได้ทันที

ตัวอย่าง 1

นักเรียนห้าคนทำการบ้านสัปดาห์ละ $3,5,6,8,9$ ชั่วโมง หาความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน มองห้าคนนี้เป็นกลุ่มที่สนใจทั้งหมด ตอบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นทศนิยมสองตำแหน่ง

ค่าเฉลี่ย $\mu=\tfrac{3+5+6+8+9}{5}=\tfrac{31}{5}=6.2$ ชั่วโมง ถ้าใช้นิยามต้องลบ $6.2$ ทุกตัวได้ $-3.2,-1.2,-0.2,1.8,2.8$ แล้วยกกำลังสองทศนิยมอีกห้าครั้ง จึงเลือกใช้สูตรลัด
รวมกำลังสองของข้อมูล $9+25+36+64+81=215$ หาร $5$ ได้ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง $43$
ลบกำลังสองของค่าเฉลี่ย $6.2^2=38.44$ ได้ $\sigma^2=43-38.44=4.56$ ชั่วโมงยกกำลังสอง
ถอดราก $\sigma=\sqrt{4.56}\approx 2.14$ ชั่วโมง
ตรวจด้วยนิยาม $(-3.2)^2+(-1.2)^2+(-0.2)^2+1.8^2+2.8^2=10.24+1.44+0.04+3.24+7.84=22.8$ หาร $5$ ได้ $4.56$ ตรงกัน

ลองคิดก่อน

เพื่อนใช้สูตรลัดกับข้อมูลชุดหนึ่งแล้วได้ความแปรปรวน $-3.5$ เพื่อนบอกว่าข้อมูลชุดนี้กระจายติดลบ แปลว่าเกาะกลุ่มกันมาก ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก ความแปรปรวนคือค่าเฉลี่ยของกำลังสอง จึงติดลบไม่ได้เลย ได้ศูนย์ก็ต่อเมื่อข้อมูลทุกตัวเท่ากัน ถ้าคำนวณได้ติดลบแปลว่าคิดผิด ที่พบบ่อยคือใช้ $\left(\sum x_i\right)^2$ แทน $\sum x_i^2$ หรือลืมหารด้วย $N$ ก่อนลบ $\mu^2$ ผลลบเป็นสัญญาณให้ย้อนตรวจ ไม่ใช่ผลที่ต้องแปลความหมาย

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากตารางแจกแจงความถี่

ข้อมูลจัดกลุ่มใช้จุดกึ่งกลางชั้นแทนทุกคนในชั้นเหมือนในหน้า 49.2 แล้วถ่วงด้วยความถี่ ได้ $\sigma^2\approx\dfrac{\sum f_ix_i^2}{N}-\bar x^2$

ตัวอย่าง 2

ใช้ตารางเวลาเดินทางของนักเรียน $40$ คนจากหน้า 49.1 ซึ่งมีค่าเฉลี่ยประมาณ $23.25$ นาที ประมาณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน มองนักเรียน $40$ คนนี้เป็นกลุ่มที่สนใจทั้งหมด ตอบเป็นทศนิยมสองตำแหน่ง

ช่วง (นาที)	$f_i$	$x_i$	$x_i^2$	$f_ix_i^2$
$0\le x<10$	$6$	$5$	$25$	$150$
$10\le x<20$	$11$	$15$	$225$	$2475$
$20\le x<30$	$12$	$25$	$625$	$7500$
$30\le x<40$	$7$	$35$	$1225$	$8575$
$40\le x<50$	$3$	$45$	$2025$	$6075$
$50\le x<60$	$1$	$55$	$3025$	$3025$

สร้างคอลัมน์ $x_i^2$ จากจุดกึ่งกลาง แล้วคูณความถี่ได้คอลัมน์ $f_ix_i^2$ ตามตาราง ต้องยกกำลังสองก่อนคูณความถี่ ไม่ใช่ยกกำลังสองของ $f_ix_i$
รวมคอลัมน์สุดท้าย $\sum f_ix_i^2=27800$ หาร $N=40$ ได้ค่าเฉลี่ยของกำลังสอง $695$
ลบกำลังสองของค่าเฉลี่ย $23.25^2=540.5625$ ได้ $\sigma^2\approx 695-540.5625=154.4375$ ตารางนาที
ถอดรากที่สอง $\sigma\approx 12.43$ นาที
แปลผล เวลาเดินทางของนักเรียนโดยทั่วไปห่างจากค่าเฉลี่ยราว $12$ นาที ถ้าโรงเรียนเลื่อนเวลาเข้าแถวโดยคิดจากค่าเฉลี่ยอย่างเดียว คนที่บ้านไกลกว่าค่าเฉลี่ยมากยังมาไม่ทันอยู่ดี

ค่าที่ได้เป็นค่าประมาณด้วยเหตุผลเดียวกับค่าเฉลี่ยจากตาราง การแทนทุกคนในชั้นด้วยจุดกึ่งกลางทำให้ความต่างภายในชั้นหายไป ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ได้จากตารางที่ช่วงกว้างมากจึงอาจคลาดจากค่าจริงได้

เทียบการกระจายต่างหน่วยด้วยสัมประสิทธิ์การแปรผัน

ถ้าอยากรู้ว่านักเรียน ม.6 มีน้ำหนักต่างกันมากกว่าส่วนสูงหรือไม่ จะเทียบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $8.8$ กิโลกรัมกับ $6.6$ เซนติเมตรตรงๆ ไม่ได้ เพราะคนละหน่วย ต่อให้หน่วยเดียวกัน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $50$ บาทของราคาโทรศัพท์ที่เฉลี่ย $8000$ บาทถือว่าน้อยมาก แต่ $50$ บาทของราคาข้าวกล่องที่เฉลี่ย $45$ บาทถือว่ามากจนแปลก ต้องเทียบการกระจายกับขนาดของค่าเฉลี่ย

นิยาม

สัมประสิทธิ์การแปรผัน คือ $\text{CV}=\dfrac{\sigma}{\mu}$ สำหรับประชากร หรือ $\dfrac{s}{\bar x}$ สำหรับตัวอย่าง นิยมเขียนเป็นร้อยละ ใช้กับข้อมูลที่เป็นบวกและมีศูนย์แท้ เช่นน้ำหนัก ราคา เวลา หน่วยในเศษและส่วนตัดกันหมด จึงไม่มีหน่วย

ตัวอย่าง 3

นักเรียน ม.6 กลุ่มหนึ่งมีน้ำหนักเฉลี่ย $55$ กิโลกรัม ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $8.8$ กิโลกรัม และส่วนสูงเฉลี่ย $165$ เซนติเมตร ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $6.6$ เซนติเมตร ลักษณะใดแตกต่างกันมากกว่าเมื่อเทียบกับขนาดของตัวเอง

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคนละหน่วยเทียบกันไม่ได้ จึงหารด้วยค่าเฉลี่ยของตัวเองก่อน
น้ำหนัก $\text{CV}=\tfrac{8.8}{55}=0.16$ หรือ $16$ เปอร์เซ็นต์
ส่วนสูง $\text{CV}=\tfrac{6.6}{165}=0.04$ หรือ $4$ เปอร์เซ็นต์
น้ำหนักแปรผันสัมพัทธ์มากกว่าส่วนสูงถึงสี่เท่า สอดคล้องกับที่เห็นจริงว่าเพื่อนในห้องสูงไล่เลี่ยกันมากกว่าน้ำหนัก

ตัวอย่าง 4

หาสัมประสิทธิ์การแปรผันของเวลาเดินทางในตัวอย่างที่ 2 เป็นร้อยละ ทศนิยมหนึ่งตำแหน่ง แล้วเทียบกับน้ำหนักในตัวอย่างที่ 3

ใช้ค่าจากตาราง $\sigma\approx 12.43$ นาที และ $\bar x\approx 23.25$ นาที ทั้งสองเป็นนาทีจึงหารกันแล้วหน่วยหายไป
$\text{CV}\approx\tfrac{12.43}{23.25}\approx 0.535$ หรือประมาณ $53.5$ เปอร์เซ็นต์
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของเวลาเดินทางเกินครึ่งหนึ่งของค่าเฉลี่ย สูงกว่าน้ำหนักที่มีแค่ $16$ เปอร์เซ็นต์มาก แปลว่าเวลาเดินทางของแต่ละคนต่างกันมากเมื่อเทียบกับขนาดของมันเอง
ผลนี้เข้ากับฮิสโทแกรมเบ้ขวาในหน้า 49.1 ที่มีบางคนใช้เวลาเกิน $40$ นาที ข้อเสนอที่ตรงกว่าการเลื่อนเวลาเข้าแถวของทุกคน อาจเป็นการดูแลเฉพาะกลุ่มที่บ้านไกล

ลองคิดก่อน

ราคาโทรศัพท์ในร้านหนึ่งมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $1200$ บาท ราคาข้าวกล่องในโรงอาหารมีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $9$ บาท จึงสรุปได้ว่าราคาโทรศัพท์กระจายมากกว่าราคาข้าวกล่อง ถูกไหม ถ้าราคาโทรศัพท์เฉลี่ย $12000$ บาท และข้าวกล่องเฉลี่ย $45$ บาท

ดูคำตอบ

สรุปแบบนั้นไม่ได้ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานใหญ่เพราะราคาโทรศัพท์ใหญ่เอง เมื่อเทียบกับขนาด โทรศัพท์มี $\text{CV}=\tfrac{1200}{12000}=10$ เปอร์เซ็นต์ ข้าวกล่องมี $\tfrac{9}{45}=20$ เปอร์เซ็นต์ ราคาข้าวกล่องจึงกระจายสัมพัทธ์มากกว่าสองเท่า

สัมประสิทธิ์การแปรผันใช้ไม่ได้กับอุณหภูมิในหน่วยองศาเซลเซียส เพราะศูนย์องศาไม่ได้แปลว่าไม่มีความร้อน ค่าเฉลี่ยใกล้ศูนย์จะทำให้ CV ใหญ่ผิดปกติ และเปลี่ยนเป็นองศาฟาเรนไฮต์แล้วได้ค่าต่างไปจากเดิม

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานยังมีอีกบทบาทหนึ่ง คือใช้เป็นไม้บรรทัดวัดว่าข้อมูลตัวหนึ่งอยู่สูงหรือต่ำกว่าค่าเฉลี่ยมากเพียงใด หน้า 49.5 จะใช้ความคิดนี้กับคะแนนมาตรฐาน คู่กับควอร์ไทล์และแผนภาพกล่อง

สรุป

สูตรลัด $\sigma^2=\sum x_i^2/N-\mu^2$ ไม่ต้องลบค่าเฉลี่ยทีละตัว ความแปรปรวนติดลบไม่ได้
ข้อมูลจัดกลุ่มใช้ $\sigma^2\approx\sum f_ix_i^2/N-\bar x^2$ จากจุดกึ่งกลางชั้น ผลเป็นค่าประมาณ
สัมประสิทธิ์การแปรผัน $\sigma/\mu$ ไม่มีหน่วย ใช้เทียบการกระจายของข้อมูลต่างหน่วยหรือต่างขนาด
ใช้ CV กับข้อมูลที่มีศูนย์แท้ ไม่ใช้กับอุณหภูมิองศาเซลเซียส