42.2 ระนาบเชิงซ้อนและค่าสัมบูรณ์

ในเกมบนมือถือเกมหนึ่ง ตัวละครยืนอยู่ที่ช่อง $(1, 2)$ ของแผนที่ ผู้เล่นสั่งให้เดินไปทางขวา $3$ ช่องและลงล่าง $1$ ช่อง ตัวละครจึงไปอยู่ที่ $(4, 1)$ ถ้าเขียนตำแหน่งเริ่มเป็น $1 + 2i$ และการเดินเป็น $3 - i$ ผลบวก $(1 + 2i) + (3 - i) = 4 + i$ ก็คือตำแหน่งใหม่พอดี

ความบังเอิญนี้ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ จำนวนเชิงซ้อนหนึ่งตัวมีจำนวนจริงสองตัว จึงวางเป็นจุดบนระนาบได้ตรงๆ หน้านี้จะดูว่าการบวก การลบ และค่าสัมบูรณ์มีความหมายอะไรบนระนาบ แล้วใช้ภาพนั้นแปลสมการเชิงซ้อนให้เป็นวงกลมและเส้นตรง

จุดบนระนาบเชิงซ้อน

ให้แกนนอนแทนส่วนจริงและแกนตั้งแทนส่วนจินตภาพ จำนวน $a + bi$ จะเป็นจุด $(a, b)$ ระนาบที่ใช้แบบนี้เรียกว่าระนาบเชิงซ้อน แกนนอนเรียกว่าแกนจริง แกนตั้งเรียกว่าแกนจินตภาพ เช่น $3 + 2i$ อยู่ที่ $(3, 2)$ จำนวนจริง $4$ อยู่ที่ $(4, 0)$ บนแกนจริง และ $-2i$ อยู่ที่ $(0, -2)$ บนแกนจินตภาพ

ภาพนี้ทำให้เห็นว่าทำไมสองจำนวนเท่ากันเมื่อส่วนจริงและส่วนจินตภาพเท่ากันแยกกัน จุดสองจุดทับกันได้ก็ต่อเมื่อพิกัดทั้งสองตัวตรงกัน และยังบอกว่าทำไมไม่มีการเรียงว่าจำนวนเชิงซ้อนตัวไหนมากกว่า จุดบนระนาบไม่ได้เรียงเป็นแถวเดียวแบบเส้นจำนวน ประโยคอย่าง $2 + i > 1 + 3i$ จึงไม่มีความหมาย

สังยุค $\bar z = a - bi$ อยู่ที่ $(a, -b)$ คือภาพสะท้อนของ $z$ ข้ามแกนจริง ลองเลื่อนค่าในกราฟข้างล่าง

ปรับให้ส่วนจินตภาพเป็นศูนย์ จุดกับสังยุคจะทับกันบนแกนจริง เพราะจำนวนจริงเป็นสังยุคของตัวเอง จากนั้นเปลี่ยนเครื่องหมายส่วนจินตภาพแล้วดูว่าขนาดยังคงเดิม

การบวกคือการเลื่อน

บวก $z = a + bi$ กับ $w = c + di$ ได้ $(a + c) + (b + d)i$ พิกัดบวกกันทีละตัว เหมือนการบวกเวกเตอร์ในหน้า 41.2 ถ้ามอง $w$ เป็นลูกศรจากจุดกำเนิด การบวก $w$ คือการเลื่อนจุด $z$ ไปตามลูกศรนั้น จุดกำเนิด $z$ $z + w$ และ $w$ จึงเป็นมุมทั้งสี่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

การลบก็อ่านได้แบบเดียวกัน $z_1 - z_2$ คือลูกศรที่ชี้จากจุด $z_2$ ไปหาจุด $z_1$ เพราะ $z_2 + (z_1 - z_2) = z_1$ ข้อนี้คือกุญแจของการหาระยะในหัวข้อถัดไป

ขนาดคือระยะจากจุดกำเนิด

สูตรนี้มาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส ลากเส้นจากจุดกำเนิดไปจุด $(a, b)$ จะได้ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว $|a|$ และ $|b|$ ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงในหน้า 34.4 คือระยะบนเส้นจำนวน ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนก็คือระยะเหมือนกัน แต่เป็นระยะบนระนาบ ส่วนระยะระหว่างสองจุดใช้ขนาดของลูกศร $z_1 - z_2$ ซึ่งให้สูตรเดียวกับระยะระหว่างจุดในหน้า 38.1

ระยะเป็นจำนวนจริงไม่ติดลบเสมอ สมการ $|z-z_0|=r$ เมื่อ $r>0$ จึงแทนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง $z_0$ และรัศมี $r$ อย่าคิดว่าค่าสัมบูรณ์เชิงซ้อนเพียงเปลี่ยนเครื่องหมายลบเป็นบวก เช่น $|-3 + 4i|$ ไม่ใช่ $3 + 4i$

ค่าสัมบูรณ์เข้ากับการคูณได้ดี มีสมบัติที่ใช้บ่อยสี่ข้อ คือ $|\bar z| = |z|$ และ $z\bar z = |z|^2$ และ $|z_1 z_2| = |z_1|\,|z_2|$ และ $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$ เมื่อ $z_2 \ne 0$ ข้อที่สองตามมาจาก $z\bar z = a^2 + b^2$ ในหน้า 42.1 ส่วนข้อสามตรวจได้โดยกระจาย แล้วจะเห็นเหตุผลชัดขึ้นในหน้า 42.3 สมบัติเหล่านี้ไม่มีคู่สำหรับการบวก $|z_1 + z_2|$ ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ $|z_1| + |z_2|$

วงกลมจากสมการค่าสัมบูรณ์

สมการระยะช่วยแปลจำนวนเชิงซ้อนกลับเป็นเรขาคณิตได้ เมื่อเขียน $z=a+bi$ สมการค่าสัมบูรณ์ของผลต่างจะกลายเป็นผลรวมกำลังสองของความต่างพิกัด ระวังว่าสิ่งที่อยู่ในค่าสัมบูรณ์เป็นผลต่างทั้งจำนวน ไม่ใช่ลบเฉพาะส่วนจริงหรือเฉพาะส่วนจินตภาพ

วิธีอ่านที่เร็วที่สุดคือทำให้ข้างในอยู่ในรูป $z - z_0$ ก่อน แล้วอ่านออกเสียงว่า ระยะจาก $z$ ถึง $z_0$ เท่ากับ $r$ ได้วงกลมที่มีศูนย์กลางที่ $z_0$ ตามนิยามวงกลมในหน้า 38.4

สังเกตว่าเส้น $y = -x$ ผ่านจุดกึ่งกลาง $\left(\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2}\right)$ ของสองจุดนั้น และมีความชัน $-1$ ตั้งฉากกับส่วนของเส้นตรงจาก $(0, -1)$ ไป $(1, 0)$ ที่มีความชัน $1$ ตรงกับที่คาดจากภาพในขั้นแรก

สรุป

• $a + bi$ คือจุด $(a, b)$ แกนนอนเป็นส่วนจริง แกนตั้งเป็นส่วนจินตภาพ
• บวกคือเลื่อนตามลูกศร $z_1 - z_2$ คือลูกศรจาก $z_2$ ไป $z_1$
• ค่าสัมบูรณ์เป็นระยะ $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ และระยะระหว่างจุดคือ $|z_1 - z_2|$
• สังยุคสะท้อนข้ามแกนจริง คงแกนนอนและกลับเครื่องหมายแกนตั้ง
• $|z_1z_2| = |z_1||z_2|$ แต่ไม่มีสูตรแบบนี้สำหรับผลบวก
• $|z - z_0| = r$ เป็นวงกลม $|z - z_1| = |z - z_2|$ เป็นเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก

จุดบนระนาบบอกตำแหน่งได้อีกแบบ คือบอกระยะจากจุดกำเนิดกับมุมที่ทำกับแกนจริง หน้าถัดไปจะใช้วิธีนี้ แล้วการคูณที่ดูยุ่งจะกลายเป็นการหมุน