41.3 ผลคูณเชิงสเกลาร์ ออกแรงดึงกระเป๋าเฉียงขึ้น แต่กระเป๋าเคลื่อนตามพื้น ส่วนของแรงตามแนวการเคลื่อนที่เท่านั้นที่ใช้คำนวณงาน ดอตโปรดักต์วัดส่วนร่วมตามทิศทางนี้
ถ้าดึงด้วยแรง 50 50 50 60 60 60
นิยามจากองค์ประกอบ
ผลคูณเชิงสเกลาร์ หรือดอตโปรดักต์ ของ u = ⟨ u 1 , u 2 , u 3 ⟩ \mathbf u=\langle u_1,u_2,u_3\rangle u = ⟨ u 1 , u 2 , u 3 ⟩ v = ⟨ v 1 , v 2 , v 3 ⟩ \mathbf v=\langle v_1,v_2,v_3\rangle v = ⟨ v 1 , v 2 , v 3 ⟩ u ⋅ v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 \mathbf u\cdot\mathbf v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3 u ⋅ v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3
สมบัติที่ตามมาจากนิยามทันที คือ u ⋅ v = v ⋅ u \mathbf u\cdot\mathbf v=\mathbf v\cdot\mathbf u u ⋅ v = v ⋅ u u ⋅ ( v + w ) = u ⋅ v + u ⋅ w \mathbf u\cdot(\mathbf v+\mathbf w)=\mathbf u\cdot\mathbf v+\mathbf u\cdot\mathbf w u ⋅ ( v + w ) = u ⋅ v + u ⋅ w ( k u ) ⋅ v = k ( u ⋅ v ) (k\mathbf u)\cdot\mathbf v=k(\mathbf u\cdot\mathbf v) ( k u ) ⋅ v = k ( u ⋅ v ) u ⋅ u = u 1 2 + u 2 2 + u 3 2 = ∥ u ∥ 2 \mathbf u\cdot\mathbf u=u_1^2+u_2^2+u_3^2=\|\mathbf u\|^2 u ⋅ u = u 1 2 + u 2 2 + u 3 2 = ∥ u ∥ 2
ตัวอย่าง 1
ให้ u = ⟨ 1 , 2 , 3 ⟩ \mathbf u=\langle1,2,3\rangle u = ⟨ 1 , 2 , 3 ⟩ v = ⟨ 4 , − 5 , 6 ⟩ \mathbf v=\langle4,-5,6\rangle v = ⟨ 4 , − 5 , 6 ⟩ u ⋅ v \mathbf u\cdot\mathbf v u ⋅ v v ⋅ v \mathbf v\cdot\mathbf v v ⋅ v
คูณทีละตำแหน่ง 1 ( 4 ) + 2 ( − 5 ) + 3 ( 6 ) = 4 − 10 + 18 = 12 1(4)+2(-5)+3(6)=4-10+18=12 1 ( 4 ) + 2 ( − 5 ) + 3 ( 6 ) = 4 − 10 + 18 = 12
v ⋅ v = 16 + 25 + 36 = 77 \mathbf v\cdot\mathbf v=16+25+36=77 v ⋅ v = 16 + 25 + 36 = 77 ∥ v ∥ 2 \|\mathbf v\|^2 ∥ v ∥ 2 ∥ v ∥ = 77 \|\mathbf v\|=\sqrt{77} ∥ v ∥ = 77 ที่มาจากกฎของโคไซน์
วางหางของ u \mathbf u u v \mathbf v v θ \theta θ u − v \mathbf u-\mathbf v u − v
∥ u − v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 + ∥ v ∥ 2 − 2 ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ \|\mathbf u-\mathbf v\|^2=\|\mathbf u\|^2+\|\mathbf v\|^2-2\|\mathbf u\|\|\mathbf v\|\cos\theta ∥ u − v ∥ 2 = ∥ u ∥ 2 + ∥ v ∥ 2 − 2∥ u ∥∥ v ∥ cos θ
อีกทางหนึ่ง กระจายข้างซ้ายด้วยสมบัติข้างบน ∥ u − v ∥ 2 = ( u − v ) ⋅ ( u − v ) = ∥ u ∥ 2 − 2 u ⋅ v + ∥ v ∥ 2 \|\mathbf u-\mathbf v\|^2=(\mathbf u-\mathbf v)\cdot(\mathbf u-\mathbf v)=\|\mathbf u\|^2-2\,\mathbf u\cdot\mathbf v+\|\mathbf v\|^2 ∥ u − v ∥ 2 = ( u − v ) ⋅ ( u − v ) = ∥ u ∥ 2 − 2 u ⋅ v + ∥ v ∥ 2 u ⋅ v = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ \mathbf u\cdot\mathbf v=\|\mathbf u\|\|\mathbf v\|\cos\theta u ⋅ v = ∥ u ∥∥ v ∥ cos θ
สมบัติ
u ⋅ v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 = ∥ u ∥ ∥ v ∥ cos θ \mathbf u\cdot\mathbf v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3=\|\mathbf u\|\|\mathbf v\|\cos\theta u ⋅ v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 = ∥ u ∥∥ v ∥ cos θ 0 ≤ θ ≤ π 0\le\theta\le\pi 0 ≤ θ ≤ π
ผลลัพธ์เป็นสเกลาร์ ถ้าเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ ดอตโปรดักต์เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อตั้งฉาก เครื่องหมายบวกบอกมุมแหลมและลบบอกมุมป้าน หามุมโดยหารด้วยผลคูณขนาดก่อนใช้ฟังก์ชันผกผัน
จากองค์ประกอบสู่มุมระหว่างเวกเตอร์
สูตรพิกัดให้ค่าดอตได้เร็ว แต่ค่าดอตอย่างเดียวไม่บอกมุม เพราะเวกเตอร์ขนาดใหญ่ทำให้ค่าดอตใหญ่ขึ้นโดยมุมเท่าเดิม ต้องหารผลคูณของขนาดเพื่อให้เหลือโคไซน์ของมุม cos θ = u ⋅ v ∥ u ∥ ∥ v ∥ \cos\theta=\dfrac{\mathbf u\cdot\mathbf v}{\|\mathbf u\|\|\mathbf v\|} cos θ = ∥ u ∥∥ v ∥ u ⋅ v
ตัวอย่าง 2
หามุมระหว่าง u = ⟨ 1 , 0 ⟩ \mathbf u=\langle1,0\rangle u = ⟨ 1 , 0 ⟩ v = ⟨ 1 , 3 ⟩ \mathbf v=\langle1,\sqrt3\rangle v = ⟨ 1 , 3 ⟩
ดอตโปรดักต์เท่ากับ 1 ( 1 ) + 0 ( 3 ) = 1 1(1)+0(\sqrt3)=1 1 ( 1 ) + 0 ( 3 ) = 1 1 1 1 1 + 3 = 2 \sqrt{1+3}=2 1 + 3 = 2
จึงได้ cos θ = 1 1 ⋅ 2 = 1 2 \cos\theta=\dfrac{1}{1\cdot2}=\dfrac12 cos θ = 1 ⋅ 2 1 = 2 1
มุมระหว่างเวกเตอร์อยู่ในช่วง 0 0 0 π \pi π θ = π / 3 \theta=\pi/3 θ = π /3 60 60 60
ตัวอย่าง 3
หามุมระหว่าง u = ⟨ 1 , 2 , − 2 ⟩ \mathbf u=\langle1,2,-2\rangle u = ⟨ 1 , 2 , − 2 ⟩ v = ⟨ − 2 , − 1 , 2 ⟩ \mathbf v=\langle-2,-1,2\rangle v = ⟨ − 2 , − 1 , 2 ⟩
ดอตโปรดักต์ 1 ( − 2 ) + 2 ( − 1 ) + ( − 2 ) ( 2 ) = − 2 − 2 − 4 = − 8 1(-2)+2(-1)+(-2)(2)=-2-2-4=-8 1 ( − 2 ) + 2 ( − 1 ) + ( − 2 ) ( 2 ) = − 2 − 2 − 4 = − 8
ขนาด ∥ u ∥ = 1 + 4 + 4 = 3 \|\mathbf u\|=\sqrt{1+4+4}=3 ∥ u ∥ = 1 + 4 + 4 = 3 ∥ v ∥ = 4 + 1 + 4 = 3 \|\mathbf v\|=\sqrt{4+1+4}=3 ∥ v ∥ = 4 + 1 + 4 = 3
cos θ = − 8 3 ⋅ 3 = − 8 9 \cos\theta=\dfrac{-8}{3\cdot3}=-\dfrac89 cos θ = 3 ⋅ 3 − 8 = − 9 8 − 1 -1 − 1 1 1 1 ใช้เครื่องคิดเลขได้ θ \theta θ 152.7 152.7 152.7 90 90 90
ตรวจการตั้งฉาก
เวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์สองตัวตั้งฉากกันก็ต่อเมื่อดอตกันได้ศูนย์ เพราะ cos 90 ∘ = 0 \cos90^\circ=0 cos 9 0 ∘ = 0
ตัวอย่าง 4
u = ⟨ 2 , 1 ⟩ \mathbf u=\langle2,1\rangle u = ⟨ 2 , 1 ⟩ v = ⟨ 1 , − 2 ⟩ \mathbf v=\langle1,-2\rangle v = ⟨ 1 , − 2 ⟩
คำนวณ u ⋅ v = 2 ( 1 ) + 1 ( − 2 ) = 0 \mathbf u\cdot\mathbf v=2(1)+1(-2)=0 u ⋅ v = 2 ( 1 ) + 1 ( − 2 ) = 0
ทั้งสองเวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ จึงตั้งฉาก
ตัวอย่าง 5
หาค่า k k k ⟨ k , 2 , − 1 ⟩ \langle k,2,-1\rangle ⟨ k , 2 , − 1 ⟩ ⟨ 3 , k , 4 ⟩ \langle3,k,4\rangle ⟨ 3 , k , 4 ⟩
ตั้งเงื่อนไขตั้งฉาก ดอตโปรดักต์ต้องเป็นศูนย์ 3 k + 2 k + ( − 1 ) ( 4 ) = 0 3k+2k+(-1)(4)=0 3 k + 2 k + ( − 1 ) ( 4 ) = 0
รวมพจน์ได้ 5 k − 4 = 0 5k-4=0 5 k − 4 = 0 k = 4 5 k=\tfrac45 k = 5 4
ตรวจ เวกเตอร์ทั้งสองกลายเป็น ⟨ 4 5 , 2 , − 1 ⟩ \langle\tfrac45,2,-1\rangle ⟨ 5 4 , 2 , − 1 ⟩ ⟨ 3 , 4 5 , 4 ⟩ \langle3,\tfrac45,4\rangle ⟨ 3 , 5 4 , 4 ⟩ 12 5 + 8 5 − 4 = 0 \tfrac{12}{5}+\tfrac85-4=0 5 12 + 5 8 − 4 = 0
ลองคิดก่อน
ดอตโปรดักต์เป็นศูนย์แปลว่าเวกเตอร์ทั้งสองเป็นศูนย์หรือไม่
ดูคำตอบ ไม่จำเป็น เวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ที่ตั้งฉากกันก็ดอตกันได้ศูนย์ เช่น ⟨ 2 , 1 ⟩ \langle2,1\rangle ⟨ 2 , 1 ⟩ ⟨ 1 , − 2 ⟩ \langle1,-2\rangle ⟨ 1 , − 2 ⟩
ลองคิดก่อน
ถ้า u ⋅ v = u ⋅ w \mathbf u\cdot\mathbf v=\mathbf u\cdot\mathbf w u ⋅ v = u ⋅ w u ≠ 0 \mathbf u\ne\mathbf0 u = 0 u \mathbf u u v = w \mathbf v=\mathbf w v = w
ดูคำตอบ ไม่ได้ ลอง u = ⟨ 1 , 0 ⟩ \mathbf u=\langle1,0\rangle u = ⟨ 1 , 0 ⟩ v = ⟨ 2 , 3 ⟩ \mathbf v=\langle2,3\rangle v = ⟨ 2 , 3 ⟩ w = ⟨ 2 , − 5 ⟩ \mathbf w=\langle2,-5\rangle w = ⟨ 2 , − 5 ⟩ u \mathbf u u 2 2 2 v ≠ w \mathbf v\ne\mathbf w v = w u ⋅ ( v − w ) = 0 \mathbf u\cdot(\mathbf v-\mathbf w)=0 u ⋅ ( v − w ) = 0 v − w \mathbf v-\mathbf w v − w u \mathbf u u
โครงฉาย
ส่องไฟลงมาตั้งฉากกับแนวของ v \mathbf v v u \mathbf u u โครงฉาย ของ u \mathbf u u v \mathbf v v ∥ u ∥ cos θ \|\mathbf u\|\cos\theta ∥ u ∥ cos θ cos θ \cos\theta cos θ u ⋅ v ∥ v ∥ \dfrac{\mathbf u\cdot\mathbf v}{\|\mathbf v\|} ∥ v ∥ u ⋅ v v \mathbf v v
proj v u = u ⋅ v ∥ v ∥ 2 v \operatorname{proj}_{\mathbf v}\mathbf u=\frac{\mathbf u\cdot\mathbf v}{\|\mathbf v\|^2}\,\mathbf v proj v u = ∥ v ∥ 2 u ⋅ v v
ส่วนที่เหลือ u − proj v u \mathbf u-\operatorname{proj}_{\mathbf v}\mathbf u u − proj v u v \mathbf v v u \mathbf u u v \mathbf v v
ตัวอย่าง 6
หาโครงฉายของ u = ⟨ 4 , 2 ⟩ \mathbf u=\langle4,2\rangle u = ⟨ 4 , 2 ⟩ v = ⟨ 3 , 4 ⟩ \mathbf v=\langle3,4\rangle v = ⟨ 3 , 4 ⟩
u ⋅ v = 12 + 8 = 20 \mathbf u\cdot\mathbf v=12+8=20 u ⋅ v = 12 + 8 = 20 ∥ v ∥ = 5 \|\mathbf v\|=5 ∥ v ∥ = 5 20 5 = 4 \tfrac{20}{5}=4 5 20 = 4 เวกเตอร์โครงฉายคือ 20 25 ⟨ 3 , 4 ⟩ = ⟨ 12 5 , 16 5 ⟩ \tfrac{20}{25}\langle3,4\rangle=\langle\tfrac{12}{5},\tfrac{16}{5}\rangle 25 20 ⟨ 3 , 4 ⟩ = ⟨ 5 12 , 5 16 ⟩ 4 5 × 5 = 4 \tfrac45\times5=4 5 4 × 5 = 4
ตรวจส่วนที่เหลือ ⟨ 4 , 2 ⟩ − ⟨ 12 5 , 16 5 ⟩ = ⟨ 8 5 , − 6 5 ⟩ \langle4,2\rangle-\langle\tfrac{12}{5},\tfrac{16}{5}\rangle=\langle\tfrac85,-\tfrac65\rangle ⟨ 4 , 2 ⟩ − ⟨ 5 12 , 5 16 ⟩ = ⟨ 5 8 , − 5 6 ⟩ v \mathbf v v 24 5 − 24 5 = 0 \tfrac{24}{5}-\tfrac{24}{5}=0 5 24 − 5 24 = 0
งานของแรงคงที่
ถ้าแรงเป็น F \mathbf F F s \mathbf s s W = F ⋅ s W=\mathbf F\cdot\mathbf s W = F ⋅ s ∥ F ∥ ∥ s ∥ cos θ \|\mathbf F\|\|\mathbf s\|\cos\theta ∥ F ∥∥ s ∥ cos θ
ตัวอย่าง 7
แรง ⟨ 6 , 8 ⟩ \langle6,8\rangle ⟨ 6 , 8 ⟩ ⟨ 5 , 0 ⟩ \langle5,0\rangle ⟨ 5 , 0 ⟩
ดอตโปรดักต์ได้ 6 ( 5 ) + 8 ( 0 ) = 30 6(5)+8(0)=30 6 ( 5 ) + 8 ( 0 ) = 30
งานเป็น 30 30 30
ตัวอย่าง 8
กลับไปที่กระเป๋าตอนต้นหน้า ดึงด้วยแรง 50 50 50 60 60 60 20 20 20
ใช้รูปมุม W = ∥ F ∥ ∥ s ∥ cos θ = 50 × 20 × cos 60 ∘ = 50 × 20 × 1 2 = 500 W=\|\mathbf F\|\|\mathbf s\|\cos\theta=50\times20\times\cos60^\circ=50\times20\times\tfrac12=500 W = ∥ F ∥∥ s ∥ cos θ = 50 × 20 × cos 6 0 ∘ = 50 × 20 × 2 1 = 500
ตรวจด้วยองค์ประกอบ แรงคือ ⟨ 50 cos 60 ∘ , 50 sin 60 ∘ ⟩ = ⟨ 25 , 25 3 ⟩ \langle50\cos60^\circ,\ 50\sin60^\circ\rangle=\langle25,25\sqrt3\rangle ⟨ 50 cos 6 0 ∘ , 50 sin 6 0 ∘ ⟩ = ⟨ 25 , 25 3 ⟩ ⟨ 20 , 0 ⟩ \langle20,0\rangle ⟨ 20 , 0 ⟩ 25 ( 20 ) + 0 = 500 25(20)+0=500 25 ( 20 ) + 0 = 500
แรงส่วนที่ลากไปข้างหน้ามีแค่ 25 25 25 cos 90 ∘ = 0 \cos90^\circ=0 cos 9 0 ∘ = 0
ตรวจวิธีคิด
ถ้าคูณเวกเตอร์ตัวหนึ่งด้วยจำนวนบวก มุมเดิมไม่เปลี่ยนเพราะตัวคูณหักล้างในเศษกับส่วน แต่ถ้าคูณด้วยลบ ทิศกลับและมุมเป็นมุมเสริม ไม่ใช้ค่าดอตเป็นองศาหรือเรเดียนโดยตรง
สรุป
ดอตโปรดักต์ให้จำนวน ไม่ใช่เวกเตอร์ และ u ⋅ u = ∥ u ∥ 2 \mathbf u\cdot\mathbf u=\|\mathbf u\|^2 u ⋅ u = ∥ u ∥ 2
ใช้สูตรพิกัดคำนวณแล้วเชื่อมกับสูตรมุม cos θ = u ⋅ v ∥ u ∥ ∥ v ∥ \cos\theta=\dfrac{\mathbf u\cdot\mathbf v}{\|\mathbf u\|\|\mathbf v\|} cos θ = ∥ u ∥∥ v ∥ u ⋅ v
เวกเตอร์ไม่เป็นศูนย์ตั้งฉากกันก็ต่อเมื่อดอตกันได้ศูนย์
โครงฉายของ u \mathbf u u v \mathbf v v u ⋅ v ∥ v ∥ 2 v \dfrac{\mathbf u\cdot\mathbf v}{\|\mathbf v\|^2}\mathbf v ∥ v ∥ 2 u ⋅ v v
งานต้องใช้หน่วยของแรงและการกระจัดให้สอดคล้อง
ดอตโปรดักต์บอกว่าเวกเตอร์สองตัวไปทางเดียวกันมากแค่ไหน แต่บางงานต้องการเวกเตอร์ใหม่ที่ตั้งฉากกับทั้งสองตัว เช่นทิศที่ตั้งฉากกับแผ่นหลังคา หน้า 41.4 สร้างการคูณที่ให้ผลเป็นเวกเตอร์แบบนั้น