34.4 ค่าสัมบูรณ์และระยะ
น้ำหนักสินค้าอาจคลาดจากเป้าหมาย กรัมได้ไม่เกิน กรัม ทั้งน้ำหนักต่ำกว่าและสูงกว่ายอมรับได้ เงื่อนไขนี้ใช้ระยะจากเป้าหมาย ซึ่งค่าสัมบูรณ์บันทึกได้ด้วยนิพจน์เดียว ถ้าไม่ใช้ค่าสัมบูรณ์ ต้องเขียนเป็นสองเงื่อนไข คือ หนักเกินได้ไม่เกิน กรัม และ เบากว่าได้ไม่เกิน กรัม
ในบทที่ 1 เราใช้ค่าสัมบูรณ์บอกว่าจำนวนหนึ่งอยู่ห่างจากศูนย์เท่าไร หน้านี้ขยายไปเป็นระยะระหว่างสองจุดใดๆ บนเส้นจำนวน แล้วใช้ภาพของระยะแก้สมการและอสมการ
ระยะไม่มีเครื่องหมายลบ
นิยาม
เมื่อ และ เมื่อ ดังนั้น คือระยะระหว่าง กับ บนเส้นจำนวน มีค่าไม่ติดลบเสมอ
นิยามบรรทัดที่สองทำให้หลายคนงง ดูเหมือนเป็นลบ แต่บรรทัดนี้ใช้เฉพาะเมื่อ เป็นลบอยู่แล้ว เช่น ได้ การใส่เครื่องหมายลบหน้าจำนวนลบคือการกลับให้เป็นบวก นิยามจึงพูดว่า ถ้าเป็นบวกหรือศูนย์ก็ใช้ตามเดิม ถ้าเป็นลบก็กลับเครื่องหมาย
ทำไม จึงเป็นระยะ ระยะระหว่าง กับ คือ ลบทางไหนก็ได้ แต่ ค่าสัมบูรณ์ตัดเครื่องหมายทิ้ง ทำให้ เหมือนกัน เราจึงไม่ต้องสนว่าจุดไหนอยู่ซ้ายจุดไหนอยู่ขวา
เมื่อ สมการ มีจุดสองด้านคือ และ ถ้า มีจุดเดียว ส่วนถ้า ไม่มีคำตอบ เพราะระยะติดลบไม่ได้
ตัวอย่าง 1
แก้
- ค่าสัมบูรณ์เป็น แปลว่าข้างในอยู่ห่างศูนย์ หน่วย ข้างในจึงเป็นได้ทั้ง และ
- จาก ได้ จึงได้
- จาก ได้ จึงได้
- แทนกลับ และ จริงทั้งคู่ คำตอบคือ และ
ตัวอย่าง 2
แก้
- ข้างขวามีตัวแปร จึงไม่รู้ว่าเป็นบวกหรือลบ ใช้นิยามแยกกรณีตามเครื่องหมายของข้างใน
- กรณี ได้ สมการเป็น ได้ แต่ ไม่อยู่ในกรณี ต้องทิ้ง
- กรณี ได้ สมการเป็น ได้ จึงได้ ซึ่งอยู่ในกรณี จริง
- ตรวจ และ เท่ากัน คำตอบมีตัวเดียวคือ ถ้าลองแทน จะได้ แต่ ไม่เท่ากัน ยืนยันว่าต้องทิ้งจริง
ลองคิดก่อน
เพื่อนแก้ ได้ หรือ ตอบ และ ถูกไหม
ดูคำตอบ
ไม่ถูก ค่าสัมบูรณ์เป็นระยะ ไม่มีทางเท่ากับ สมการนี้ไม่มีคำตอบ แทน ได้ ไม่ใช่ ก่อนแยกกรณี ให้ดูข้างขวาก่อนทุกครั้งว่าติดลบได้หรือไม่
ภายในกับภายนอก
เงื่อนไข หมายถึงอยู่ห่างไม่เกิน จึงได้ ส่วน หมายถึงอยู่ภายนอกหรือขอบช่วง จึงได้ หรือ คำว่า และ กับ หรือ เป็นจุดสำคัญ
ตัวอย่าง 3
น้ำหนัก ต้องอยู่ห่าง กรัมไม่เกิน กรัม เขียนช่วงที่ยอมรับได้
- ระยะจาก ถึง คือ ไม่เกิน แปลเป็น
- ระยะไม่เกิน แปลว่า อยู่ระหว่าง ถึง ได้
- บวก ทุกส่วน ทิศไม่เปลี่ยน ได้ กรัม รวมจุดปลาย เพราะ ไม่เกิน ยอมให้เท่ากับ
- เขียนเป็นช่วง สังเกตว่า คือจุดกลางช่วง และ คือครึ่งหนึ่งของความกว้างช่วง
ตัวอย่าง 4
แก้
- ค่าสัมบูรณ์มากกว่า คือข้างในอยู่ภายนอกช่วง ได้ หรือ
- จาก ได้
- จาก ได้ จึงได้
- เชื่อมด้วย หรือ ได้ ไม่รวมจุดปลายเพราะเป็น ตรวจ ซึ่งไม่อยู่ในคำตอบ ได้ ไม่มากกว่า จริง
ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยคือเขียน ซึ่งไม่มีจำนวนไหนทำให้จริงได้ เพราะไม่มีจำนวนที่ทั้งน้อยกว่า และมากกว่า พร้อมกัน ภายนอกต้องแยกเป็นสองอสมการเสมอ
ลองคิดก่อน
เสมอหรือไม่
ดูคำตอบ
ไม่เสมอ เช่น ข้างซ้ายเป็น ข้างขวาเป็น สมบัติทั่วไปคือ เท่ากันเมื่อ กับ ไม่มีเครื่องหมายตรงข้ามกัน
ระยะเท่ากันจากสองจุด
เมื่อค่าสัมบูรณ์สองข้างเป็นระยะ ลองหาความหมายทางเรขาคณิตก่อนแยกกรณียาว จุดที่อยู่ห่างจากปลายสองด้านเท่ากันบนเส้นจำนวนคือจุดกึ่งกลาง
ตัวอย่าง 5
แก้
- ข้างซ้ายคือระยะจาก ถึง ข้างขวาคือระยะจาก ถึง โจทย์ถามจุดที่ห่างสองจุดนี้เท่ากัน
- จุดเดียวบนเส้นจำนวนที่ทำได้คือจุดกึ่งกลาง ถ้าเลื่อนไปทางไหน จะใกล้จุดหนึ่งมากขึ้นและไกลอีกจุดหนึ่ง
- ตรวจที่ ได้ จึงเป็นคำตอบ
ถ้าจะทำพีชคณิต ยกกำลังสองทั้งสองข้างได้เพราะทั้งสองข้างไม่ติดลบ จะได้ แล้วแก้สมการเชิงเส้นหลังตัดพจน์กำลังสอง วิธีระยะให้ภาพก่อนและวิธีพีชคณิตใช้ตรวจได้
ค่าสัมบูรณ์หลายชุด
กรณีมีค่าสัมบูรณ์หลายชุด แบ่งช่วงที่แต่ละวงเล็บเปลี่ยนเครื่องหมายก่อน แล้วแทนนิยามในแต่ละช่วง หลีกเลี่ยงการถอดขีดโดยเปลี่ยนเป็นเครื่องหมายบวกทั้งหมด หลักคิดเหมือนตารางเครื่องหมายในหน้า 34.2
ตัวอย่าง 6
แก้
- ข้างในเป็นศูนย์ที่ และ แบ่งเส้นจำนวนเป็นสามช่วง
- ช่วง ข้างในทั้งสองติดลบ ได้ จึงได้ อยู่ในช่วงนี้จริง
- ช่วง ได้ ซึ่งไม่เท่ากับ ช่วงนี้จึงไม่มีคำตอบ
- ช่วง ได้ จึงได้ อยู่ในช่วงนี้จริง คำตอบคือ และ
ภาพระยะอธิบายขั้นที่ 3 ได้ทันที โจทย์ถามจุดที่ระยะถึง บวกระยะถึง ได้ ถ้าจุดอยู่ระหว่าง กับ ผลรวมเท่ากับระยะระหว่างสองจุดนั้นพอดีคือ เสมอ จึงต้องออกไปข้างนอกฝั่งละ หน่วย ได้ และ
หน้าถัดไปกลับไปที่พหุนามดีกรีสูง ซึ่งต้องแยกตัวประกอบให้ได้ก่อนจึงจะใช้ตารางเครื่องหมายในหน้า 34.2 ได้
สรุป
- ค่าสัมบูรณ์แทนระยะและไม่ติดลบ คือระยะจาก ถึง
- ถ้าข้างขวามีตัวแปร แยกกรณีตามนิยาม แล้วทิ้งคำตอบที่ไม่อยู่ในกรณีของตัวเอง
- อยู่ภายในช่วงใช้ และ ภายนอกใช้ หรือ
- ค่าสัมบูรณ์หลายชุด แบ่งช่วงตามจุดที่ข้างในเป็นศูนย์ แล้วแทนนิยามทีละช่วง