38.2 เส้นตรงและความชัน

ทางลาดที่สูงขึ้น $2$ เมตรในระยะแนวนอน $5$ เมตรมีความชัน $2/5$ ความชันบอกอัตราการเปลี่ยนแนวตั้งต่อแนวนอน ไม่ใช่ความยาวของทางลาด

ทางลาดสำหรับรถเข็นตามมาตรฐานทั่วไปต้องชันไม่เกิน $1/12$ คือสูงขึ้น $1$ เมตรต้องใช้ระยะแนวนอน $12$ เมตร ทางลาดที่ชัน $2/5$ จึงชันเกินไปมาก ตัวเลขเดียวนี้บอกได้ทันทีว่าเส้นตรงเอียงแค่ไหน และในบทที่ 8 เราเคยเห็นแล้วว่าความสัมพันธ์ $y = ax + b$ ให้จุดที่ขยับขึ้นหรือลงเท่าเดิมทุกครั้งที่ $x$ เพิ่มหนึ่ง ค่า $a$ ตัวนั้นคือความชันที่จะศึกษาในหน้านี้

หน้านี้จะหาความชันจากสองจุด เขียนสมการเส้นตรงหลายรูปแบบ และใช้ความชันบอกว่าเส้นสองเส้นขนานหรือตั้งฉากกัน ซึ่งต้องใช้ในหน้าถัดไปทั้งหมด

อัตราส่วนผลต่าง

เส้นผ่านสองจุดที่ $x_1\ne x_2$ มีความชัน

$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

ตัวเศษคือระยะที่ขึ้นหรือลง ตัวส่วนคือระยะที่ไปทางขวาหรือซ้าย ถ้า $m$ เป็นบวก เส้นขึ้นเมื่อมองจากซ้ายไปขวา ถ้าเป็นลบ เส้นลง

คำถามที่ควรถามคือ ถ้าเลือกจุดคู่อื่นบนเส้นเดียวกัน ความชันจะเปลี่ยนไหม คำตอบคือไม่เปลี่ยน สามเหลี่ยมมุมฉากที่สร้างจากจุดคู่ใดบนเส้นเดียวกันมีมุมเท่ากันทุกมุม จึงคล้ายกันตามบทที่ 24 อัตราส่วนของขาแนวตั้งต่อขาแนวนอนจึงเท่ากันเสมอ ความชันจึงเป็นสมบัติของเส้น ไม่ใช่ของจุดที่เราเลือก

ข้อนี้ทำให้เขียนสมการเส้นตรงได้ ถ้าเส้นผ่าน $(x_1,y_1)$ และมีความชัน $m$ จุด $(x, y)$ อื่นใดบนเส้นต้องให้ความชันเดียวกันกับ $(x_1, y_1)$ คือ $\tfrac{y - y_1}{x - x_1} = m$ คูณ $x - x_1$ ทั้งสองข้างได้รูปจุดและความชัน

$y-y_1=m(x-x_1)$

รูปนี้รวมจุด $(x_1, y_1)$ เองด้วย ซึ่งรูปเศษส่วนทำไม่ได้เพราะตัวส่วนเป็นศูนย์ ถ้ากระจายแล้วจัดให้ $y$ อยู่ข้างเดียวจะได้รูป $y = mx + b$ โดย $b$ คือจุดตัดแกน $y$

เส้นตั้งและเส้นนอน

เส้นตั้งไม่มีความชันเพราะตัวส่วนเป็นศูนย์ ทุกจุดบนเส้นมีพิกัด $x$ เท่ากัน จึงเขียนเป็น $x=c$ ส่วนเส้นนอนมีความชันศูนย์ เพราะพิกัด $y$ ไม่เปลี่ยน ตัวเศษจึงเป็นศูนย์ เขียนเป็น $y=c$ สองกรณีนี้ต่างกันมาก เส้นนอนมีความชันเป็นจำนวนจริงคือ $0$ แต่เส้นตั้งไม่มีค่าความชันเลย ไม่ใช้คำว่าอนันต์แทนค่าความชันในสมการปกติ

สูตรความชันครอบคลุมเส้นที่ไม่ตั้ง แต่ไม่จำเป็นต้องฝืนใส่เส้นตั้งในรูป $y=mx+b$ ใช้เงื่อนไขพิกัดคงที่เขียนได้ตรงกว่า

รูปทั่วไป Ax + By + C = 0

สมการทั่วไป $Ax+By+C=0$ ใช้ได้เมื่อ $A,B$ ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน รูปนี้มีข้อดีคือเขียนเส้นได้ทุกเส้น รวมทั้งเส้นตั้ง เช่น $x = 3$ เขียนเป็น $x - 3 = 0$ ซึ่งรูป $y = mx + b$ ทำไม่ได้ และหน้าถัดไปจะใช้รูปนี้คำนวณระยะจากจุดถึงเส้น

ถ้า $B\ne0$ ย้ายข้างแล้วหารด้วย $B$ ได้ $y = -\tfrac{A}{B}x - \tfrac{C}{B}$ ความชันจึงเป็น $-A/B$ การคูณทั้งสมการด้วยค่าคงตัวที่ไม่เป็นศูนย์ไม่เปลี่ยนเส้น เพราะจุดที่ทำให้ซ้ายมือเป็นศูนย์ยังเป็นศูนย์อยู่หลังคูณ นิยมคูณให้สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มและ $A$ เป็นบวก

ขนานและตั้งฉาก

เส้นไม่ตั้งสองเส้นขนานกันเมื่อความชันเท่ากันและเป็นคนละเส้น เหตุผลคือเส้นที่เอียงเท่ากันจะเดินไปทางเดียวกันตลอด ไม่มีวันพบกัน ส่วนเรื่องตั้งฉาก ดูรูปข้างล่าง

เส้นสีส้มไปขวา $3$ ขึ้น $2$ มีความชัน $\tfrac23$ หมุนทั้งเส้นรอบจุดตัดไป $90^\circ$ ทวนเข็มนาฬิกา ขาที่เคยไปขวา $3$ กลายเป็นขึ้น $3$ ขาที่เคยขึ้น $2$ กลายเป็นไปซ้าย $2$ เส้นใหม่จึงมีความชัน $\tfrac{3}{-2} = -\tfrac32$ ตัวเลขกลับเศษเป็นส่วนและเปลี่ยนเครื่องหมาย ผลคูณ $\tfrac23 \times \left(-\tfrac32\right) = -1$ เหตุผลเดียวกันใช้กับความชัน $m$ ใดๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ จึงได้

กรณีเส้นตั้งกับเส้นนอนตั้งฉากกันต้องพิจารณาแยก เพราะเส้นตั้งไม่มีความชันให้คูณ

เส้นขนานใช้วิธีลัดได้เมื่อเส้นเดิมอยู่ในรูปทั่วไป เส้นที่ขนานกับ $Ax + By + C = 0$ มีความชัน $-A/B$ เท่าเดิม จึงเขียนเป็น $Ax + By + D = 0$ โดยคง $A, B$ ไว้ แล้วหา $D$ จากจุดที่เส้นใหม่ผ่าน

รวมทุกเรื่องในโจทย์เดียว

หน้าที่แล้วเราหาศาลาริมถนนที่ห่างจากบ้าน $A(1, 3)$ และ $B(5, 1)$ เท่ากัน ได้คำตอบ $(2, 0)$ จุดทุกจุดที่ห่างจาก $A$ และ $B$ เท่ากันอยู่บนเส้นที่ผ่านจุดกึ่งกลางของ $AB$ และตั้งฉากกับ $AB$ ตอนนี้เขียนสมการเส้นนั้นได้แล้ว

สองวิธีให้คำตอบเดียวกัน แสดงว่าเงื่อนไขเรื่องระยะกับเงื่อนไขเรื่องความชันอธิบายรูปเดียวกันจากคนละมุม หน้าถัดไปจะใช้ทั้งสองอย่างพร้อมกัน เพื่อหาระยะที่สั้นที่สุดจากจุดหนึ่งถึงเส้นตรง

สรุป

• ความชัน $m = \tfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ ไม่ขึ้นกับจุดคู่ที่เลือกบนเส้น
• รูปจุดและความชัน $y - y_1 = m(x - x_1)$ รูปทั่วไป $Ax + By + C = 0$ มีความชัน $-A/B$
• เส้นตั้งเขียน $x=c$ และไม่มีค่าความชัน เส้นนอนเขียน $y = c$ และมีความชันศูนย์
• ขนานเมื่อความชันเท่ากัน ตั้งฉากใช้ผลคูณความชันเป็น $-1$ เมื่อทั้งคู่มีความชัน
• ตรวจสมการด้วยการแทนจุดที่กำหนด