descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 34 จำนวนจริงตรงกับหนังสือ เพิ่มเติม ม.4 เล่ม 1 บทที่ 3เพิ่มเติม

34.3 สมการและอสมการเศษส่วนของพหุนาม

ห้องเรียนจะสั่งทำเสื้อรุ่น ร้านคิดค่าทำบล็อกสกรีน 30003000 บาทครั้งเดียว และค่าเสื้อตัวละ 150150 บาท ถ้าสั่ง xx ตัว ราคาเฉลี่ยต่อตัวคือ 3000+150xx\frac{3000 + 150x}{x} บาท ห้องอยากให้ราคาเฉลี่ยไม่เกิน 200200 บาท ต้องสั่งอย่างน้อยกี่ตัว

ตัวแปรไปอยู่ในตัวส่วน นิพจน์แบบนี้เรียกว่า เศษส่วนของพหุนาม คือพหุนามหารด้วยพหุนาม เช่น x−1x+2\frac{x-1}{x+2} ทุกอย่างที่ทำในหน้า 34.2 ยังใช้ได้เกือบหมด แต่มีกฎเพิ่มหนึ่งข้อที่ห้ามลืม ตัวส่วนเป็นศูนย์ไม่ได้

ค่าที่ห้ามใช้

ก่อนแก้อะไรทั้งนั้น ให้หาค่าของ xx ที่ทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์ แล้วเขียนไว้ข้างโจทย์ ค่าพวกนี้ไม่มีวันเป็นคำตอบได้ เพราะที่ค่านั้นนิพจน์ไม่มีความหมาย ตามเหตุผลเรื่องการหารด้วยศูนย์ในหน้า 34.1

เช่น x+1x−3\frac{x+1}{x-3} ห้าม x=3x = 3 ส่วน 5x2−4\frac{5}{x^2 - 4} ห้ามทั้ง x=2x = 2 และ x=−2x = -2 เพราะ x2−4=(x−2)(x+2)x^2 - 4 = (x-2)(x+2) เป็นศูนย์ได้สองที่ การเขียนค่าต้องห้ามไว้ตั้งแต่แรกสำคัญ เพราะระหว่างแก้สมการ ตัวส่วนจะหายไป แล้วเราจะลืมว่ามันเคยมีอยู่

สมการเศษส่วน

สำหรับ สมการ วิธีที่ตรงที่สุดคือคูณทั้งสองข้างด้วยตัวส่วน ให้เศษส่วนหายไป แล้วแก้สมการพหุนามที่เหลือ การคูณด้วยนิพจน์ทำได้ในสมการ เพราะเราได้ตัดค่าที่ทำให้ตัวคูณเป็นศูนย์ไว้แล้ว สมการไม่มีทิศให้กลับ ปัญหาเดียวคือคำตอบที่ได้อาจเป็นค่าต้องห้าม ต้องตรวจทุกครั้ง

ตัวอย่าง 1

แก้สมการ x+1x−3=2\frac{x+1}{x-3} = 2

  1. ตัวส่วน x−3x - 3 เป็นศูนย์ที่ x=3x = 3 จดไว้ก่อนว่า x≠3x \ne 3
  2. คูณ x−3x - 3 ทั้งสองข้าง ทำได้เพราะ x≠3x \ne 3 ทำให้ตัวคูณไม่เป็นศูนย์ ได้ x+1=2(x−3)=2x−6x + 1 = 2(x - 3) = 2x - 6
  3. ย้ายข้างได้ x=7x = 7 ซึ่งไม่ใช่ค่าต้องห้าม
  4. ตรวจในสมการเดิม 7+17−3=84=2\frac{7+1}{7-3} = \frac{8}{4} = 2 จริง คำตอบคือ x=7x = 7

ตัวอย่าง 2

แก้สมการ x2x−1=1x−1\frac{x^2}{x-1} = \frac{1}{x-1}

  1. ค่าต้องห้ามคือ x=1x = 1
  2. ตัวส่วนเท่ากัน คูณ x−1x - 1 ทั้งสองข้างได้ x2=1x^2 = 1 จึงได้ x=1x = 1 หรือ x=−1x = -1
  3. x=1x = 1 เป็นค่าต้องห้าม แทนแล้วได้ 10\frac{1}{0} ซึ่งไม่มีความหมาย ต้องตัดทิ้ง ค่านี้โผล่มาเพราะสมการ x2=1x^2 = 1 ไม่รู้จักตัวส่วนที่หายไปแล้ว
  4. ตรวจ x=−1x = -1 ได้ 1−2=1−2\frac{1}{-2} = \frac{1}{-2} จริง คำตอบมีตัวเดียวคือ x=−1x = -1

ค่าอย่าง x=1x = 1 ในตัวอย่างนี้เรียกว่า คำตอบแปลกปลอม เป็นคำตอบของสมการพหุนามหลังคูณ แต่ไม่ใช่คำตอบของสมการเดิม ถ้าไม่ได้จดค่าต้องห้ามไว้ จะส่งคำตอบผิดไปโดยไม่รู้ตัว

ตัวอย่าง 3

ก๊อกน้ำ ก เติมถังเก็บน้ำจนเต็มใช้เวลา xx ชั่วโมง ก๊อก ข ช้ากว่า ใช้ x+2x + 2 ชั่วโมง ถ้าเปิดพร้อมกัน ถังเต็มใน 8080 นาที ก๊อก ก ใช้เวลากี่ชั่วโมง

  1. ใน 11 ชั่วโมง ก๊อก ก เติมได้ 1x\frac{1}{x} ถัง ก๊อก ข เติมได้ 1x+2\frac{1}{x+2} ถัง เปิดพร้อมกัน 8080 นาทีหรือ 43\frac43 ชั่วโมงได้ 11 ถัง จึงเติมได้ชั่วโมงละ 34\frac34 ถัง
  2. ตั้งสมการ 1x+1x+2=34\frac1x + \frac{1}{x+2} = \frac34 ค่าต้องห้ามคือ 00 กับ −2-2 และในโจทย์นี้ xx เป็นเวลา จึงต้องเป็นบวกด้วย
  3. คูณทั้งสองข้างด้วย 4x(x+2)4x(x+2) ซึ่งเป็น ค.ร.น. ของตัวส่วน ได้ 4(x+2)+4x=3x(x+2)4(x+2) + 4x = 3x(x+2) จัดรูปได้ 3x2−2x−8=03x^2 - 2x - 8 = 0 หรือ (3x+4)(x−2)=0(3x + 4)(x - 2) = 0
  4. ได้ x=2x = 2 หรือ x=−43x = -\frac43 ทั้งคู่ไม่ใช่ค่าต้องห้ามและทำให้สมการเป็นจริง แต่เวลาติดลบไม่มีความหมาย จึงตอบ x=2x = 2 ก๊อก ก ใช้ 22 ชั่วโมง ตรวจ 12+14=34\frac12 + \frac14 = \frac34 จริง

อสมการเศษส่วน

อสมการต่างจากสมการตรงนี้ การคูณทั้งสองข้างด้วยตัวส่วนอย่าง x+2x + 2 ใช้ไม่ได้ทันที เพราะ x+2x + 2 เป็นบวกเมื่อ x>−2x > -2 แต่เป็นลบเมื่อ x<−2x < -2 ถ้าเป็นลบ ทิศอสมการต้องกลับ เราไม่รู้ว่า xx อยู่ฝั่งไหน จึงไม่รู้ว่าต้องกลับทิศหรือไม่

ลองคิดก่อน

เพื่อนแก้ x−1x+2≥0\frac{x-1}{x+2}\ge0 โดยคูณ x+2x + 2 ทั้งสองข้าง ได้ x−1≥0x - 1 \ge 0 ตอบ [1,∞)[1, \infty) ลองแทน x=−5x = -5 ในโจทย์ แล้วบอกว่าเพื่อนพลาดตรงไหน

ดูคำตอบ

แทน x=−5x = -5 ได้ −6−3=2\frac{-6}{-3} = 2 ซึ่งมากกว่าศูนย์ จึงเป็นคำตอบ แต่ไม่อยู่ในคำตอบของเพื่อน เพื่อนพลาดตอนคูณ x+2x + 2 เพราะเมื่อ x<−2x < -2 ตัวคูณนี้ติดลบ ทิศอสมการต้องกลับ เพื่อนจึงทำช่วง (−∞,−2)(-\infty, -2) หายไปทั้งก้อน

วิธีที่ปลอดภัยคือไม่คูณ แต่ใช้ตารางเครื่องหมายแบบหน้า 34.2 ได้เลย เพราะกฎเครื่องหมายของการหารเหมือนการคูณ ลบหารลบได้บวก บวกหารลบได้ลบ ขั้นตอนคือ

  1. ย้ายทุกอย่างมาข้างเดียวให้อีกข้างเป็นศูนย์
  2. รวมเป็นเศษส่วนก้อนเดียว แล้วแยกตัวประกอบทั้งตัวเศษและตัวส่วน
  3. ใช้รากของตัวเศษและรากของตัวส่วนแบ่งเส้นจำนวน หาเครื่องหมายแต่ละช่วง
  4. รากของตัวเศษรวมได้ถ้าอสมการมีเครื่องหมายเท่ากับ แต่รากของตัวส่วนเป็นจุดโปร่งเสมอ ไม่ว่าอสมการจะเป็นแบบไหน

ตัวอย่าง 4

แก้ x−1x+2≥0\frac{x-1}{x+2}\ge0

  1. จุดแบ่งช่วงคือ −2-2 จากตัวส่วนและ 11 จากตัวเศษ ทั้งสองจุดใช้แบ่งช่วงได้ เพราะเป็นจุดที่ตัวเศษหรือตัวส่วนเปลี่ยนเครื่องหมาย
  2. ทดสอบ x=−3x = -3 ได้ −4−1=4\frac{-4}{-1} = 4 บวก x=0x = 0 ได้ −12\frac{-1}{2} ลบ x=2x = 2 ได้ 14\frac{1}{4} บวก จึงเป็นบวกบน (−∞,−2)(-\infty,-2) กับ (1,∞)(1,\infty) และเป็นลบบนช่วงกลาง
  3. รวม 11 เพราะทำให้ตัวเศษเป็นศูนย์ ผลหารเป็น 00 ซึ่งผ่าน ≥0\ge 0 แต่ไม่รวม −2-2 เพราะตัวส่วนเป็นศูนย์ ได้ (−∞,−2)∪[1,∞)(-\infty,-2)\cup[1,\infty)
x − 1x + 2ผลหาร−−+−+++−+−21
จุดโปร่งที่ −2-2 คือจุดที่ตัวส่วนเป็นศูนย์ ไม่มีวันเป็นคำตอบ จุดทึบที่ 11 คือจุดที่ตัวเศษเป็นศูนย์ ซึ่ง ≥\ge ยอมให้รวม

ตัวอย่าง 5

แก้ x+1x−3≤2\frac{x+1}{x-3} \le 2

  1. ข้างขวาเป็น 22 ไม่ใช่ศูนย์ และห้ามคูณ x−3x - 3 ข้ามไป เพราะไม่รู้เครื่องหมาย จึงลบ 22 ทั้งสองข้าง ได้ x+1x−3−2≤0\frac{x+1}{x-3} - 2 \le 0
  2. รวมเป็นเศษส่วนเดียวด้วยตัวส่วนร่วม (x+1)−2(x−3)x−3=7−xx−3≤0\frac{(x+1) - 2(x-3)}{x-3} = \frac{7 - x}{x - 3} \le 0 ระวังเครื่องหมายลบที่ต้องคูณเข้าไปทั้งวงเล็บ
  3. ตัวเศษ 7−x7 - x มี xx ติดลบ เขียนเป็น −(x−7)-(x - 7) แล้วคูณ −1-1 ทั้งสองข้าง ทิศกลับ ได้ x−7x−3≥0\frac{x - 7}{x - 3} \ge 0 การคูณ −1-1 ทำได้เพราะรู้แน่ว่าเป็นลบ
  4. จุดแบ่งคือ 33 จากตัวส่วนและ 77 จากตัวเศษ ทดสอบ x=0x = 0 ได้ −7−3\frac{-7}{-3} บวก x=5x = 5 ได้ −22\frac{-2}{2} ลบ x=8x = 8 ได้ 15\frac{1}{5} บวก
  5. เลือกช่วงบวก รวม 77 แต่ไม่รวม 33 ได้ (−∞,3)∪[7,∞)(-\infty, 3) \cup [7, \infty) ตรวจในโจทย์เดิมที่ x=5x = 5 ได้ 62=3\frac{6}{2} = 3 มากกว่า 22 จริง ช่วงกลางจึงไม่ใช่คำตอบ

ลองคิดก่อน

x−1x+2≥0\frac{x-1}{x+2} \ge 0 กับ (x−1)(x+2)≥0(x-1)(x+2) \ge 0 มีคำตอบเหมือนกันไหม

ดูคำตอบ

เกือบเหมือน ผลหารกับผลคูณมีเครื่องหมายเดียวกันทุกที่ที่ x≠−2x \ne -2 เพราะกฎเครื่องหมายเหมือนกัน ต่างกันจุดเดียวคือ x=−2x = -2 ซึ่งทำให้ผลคูณเป็น 00 จึงผ่าน ≥0\ge 0 แต่ทำให้ผลหารไม่มีความหมาย คำตอบของผลคูณคือ (−∞,−2]∪[1,∞)(-\infty, -2] \cup [1, \infty) ส่วนของผลหารต้องเปิดที่ −2-2

เมื่อรู้เครื่องหมายของตัวส่วน

กฎห้ามคูณตัวส่วนมีไว้เพราะไม่รู้เครื่องหมาย ถ้าโจทย์บอกเครื่องหมายมาแล้ว ก็คูณได้ตามสมบัติการไม่เท่ากัน กลับไปที่เสื้อรุ่นตอนต้นหน้า

ตัวอย่าง 6

ราคาเฉลี่ยต่อตัว 3000+150xx\frac{3000 + 150x}{x} บาท ต้องสั่งอย่างน้อยกี่ตัว ราคาเฉลี่ยจึงไม่เกิน 200200 บาท

  1. ตั้งอสมการ 3000+150xx≤200\frac{3000 + 150x}{x} \le 200 โดย xx เป็นจำนวนเสื้อ จึงเป็นจำนวนนับ x>0x > 0 แน่นอน
  2. เพราะรู้ว่า xx เป็นบวก คูณ xx ทั้งสองข้างได้โดยทิศไม่เปลี่ยน ได้ 3000+150x≤200x3000 + 150x \le 200x
  3. ลบ 150x150x ทั้งสองข้าง ได้ 3000≤50x3000 \le 50x หาร 5050 ได้ x≥60x \ge 60
  4. ต้องสั่งอย่างน้อย 6060 ตัว ตรวจที่ 6060 ตัว ราคาเฉลี่ย 3000+900060=200\frac{3000 + 9000}{60} = 200 บาทพอดี ที่ 5050 ตัวได้ 1050050=210\frac{10500}{50} = 210 บาท เกินจริง

ตัวอย่างนี้ไม่ได้ขัดกับที่เตือนไว้ ความผิดพลาดในกล่องลองคิดก่อนเกิดจากการคูณด้วยนิพจน์ที่เป็นลบได้ ส่วนในโจทย์เสื้อรุ่น ความหมายของ xx รับประกันว่าเป็นบวก ก่อนคูณทุกครั้งให้ถามตัวเองว่ารู้เครื่องหมายของตัวคูณแน่หรือยัง

หน้าถัดไปเปลี่ยนจากตัวส่วนมาเป็นค่าสัมบูรณ์ ซึ่งก็ต้องแยกกรณีตามเครื่องหมายเหมือนกัน แต่มีภาพของระยะบนเส้นจำนวนช่วยให้คิดเร็วขึ้น

สรุป

  • หาค่าที่ทำให้ตัวส่วนเป็นศูนย์ก่อนลงมือ ค่าเหล่านี้ไม่เป็นคำตอบเด็ดขาด
  • สมการเศษส่วน คูณด้วยตัวส่วนได้ แล้วตัดคำตอบแปลกปลอมที่เป็นค่าต้องห้าม
  • อสมการเศษส่วน ห้ามคูณด้วยตัวส่วนที่ไม่รู้เครื่องหมาย ให้ย้ายข้าง รวมเป็นเศษส่วนเดียว แล้วใช้ตารางเครื่องหมาย
  • รากของตัวส่วนเป็นจุดโปร่งเสมอ รากของตัวเศษรวมได้เมื่ออสมการมีเครื่องหมายเท่ากับ
  • ถ้ารู้แน่ว่าตัวส่วนเป็นบวก คูณได้โดยทิศไม่เปลี่ยน