6.1 แบบรูปและความสัมพันธ์

โรงเรียนจะปูทางเดินด้วยกระเบื้องสีขาวเรียงเป็นแถวเดียว แล้วล้อมขอบด้วยกระเบื้องสีเขียวรอบทุกด้าน ช่างอยากรู้ว่าถ้าทางเดินยาว 40 แผ่น ต้องสั่งกระเบื้องสีเขียวกี่แผ่น จะนั่งวาดทีละแผ่นจนครบ 40 ก็ได้ แต่ช้าและนับพลาดง่าย หน้านี้จะหาวิธีตอบโดยไม่ต้องวาด

ดูว่าอะไรเพิ่มขึ้นทีละเท่าไร

นับกระเบื้องสีเขียวในแต่ละรูปแล้วใส่ตาราง ให้ $n$ แทนจำนวนกระเบื้องขาว

กระเบื้องขาวเพิ่ม 1 แผ่น กระเบื้องเขียวเพิ่ม 2 แผ่นทุกครั้ง เพราะต่อทางเดินยาวขึ้นหนึ่งช่อง ต้องเติมกระเบื้องเขียวข้างบนหนึ่งแผ่นและข้างล่างหนึ่งแผ่น

เมื่อเพิ่มทีละ 2 แสดงว่าในความสัมพันธ์มี $2n$ อยู่ ลองเทียบ $2n$ กับจำนวนจริงในตาราง

ทุกช่องกระเบื้องเขียวมากกว่า $2n$ อยู่ 6 พอดี จึงได้ความสัมพันธ์

ทางเดินยาว 40 แผ่น ใช้กระเบื้องเขียว $2(40) + 6 = 86$ แผ่น ไม่ต้องวาดเลย

ตรวจด้วยรูป

ตัวเลขที่ได้จากตารางควรอธิบายได้ด้วยรูป ดูรูปที่ $n$ แถวบนมีกระเบื้องเขียว $n + 2$ แผ่น แถวล่างก็ $n + 2$ แผ่น เหลือหัวท้ายแถวกลางอีก 2 แผ่น รวมเป็น $(n + 2) + (n + 2) + 2 = 2n + 6$ ตรงกับที่หาจากตาราง ถ้าสองวิธีได้ไม่ตรงกัน แสดงว่ามีที่ผิดสักแห่ง

พจน์ที่ n ของแบบรูปของจำนวน

จำนวนที่เรียงกันตามกฎบางอย่าง เรียกว่าแบบรูป แต่ละจำนวนเรียกว่าพจน์ พจน์ที่ 1 พจน์ที่ 2 ไปเรื่อยๆ ถ้าเขียนพจน์ที่ $n$ เป็นนิพจน์ของ $n$ ได้ ก็หาพจน์ไหนก็ได้ทันที

ความสัมพันธ์จากชีวิตประจำวัน

แบบรูปไม่ได้มีแค่ในรูปภาพหรือลำดับตัวเลข ค่าบริการหลายอย่างก็เป็นแบบรูปที่เพิ่มทีละเท่าๆ กัน

ถามย้อนกลับ

กลับไปที่ทางเดินกระเบื้อง ถ้าคำถามกลับข้าง คือมีกระเบื้องเขียวอยู่ 50 แผ่น จะทำทางเดินที่มีกระเบื้องขาวได้กี่แผ่น ครั้งนี้รู้ผลลัพธ์แต่ไม่รู้ $n$ เขียนเป็นประโยคได้ว่า

ลองคิดย้อนทีละขั้น จำนวนหนึ่งคูณ 2 แล้วบวก 6 ได้ 50 ก่อนบวก 6 ต้องเป็น 44 ก่อนคูณ 2 ต้องเป็น 22 จึงทำทางเดินกระเบื้องขาวได้ 22 แผ่น ตรวจ $2(22) + 6 = 50$ จริง

ประโยคที่มีเครื่องหมายเท่ากับและมีตัวที่ยังไม่รู้ค่าแบบนี้เรียกว่าสมการ การคิดย้อนใช้ได้กับสมการสั้นๆ แต่ถ้าตัวที่ไม่รู้ค่าอยู่ทั้งสองข้าง เช่น $5n + 1 = 2n + 10$ จะคิดย้อนไม่ได้แล้ว หน้าต่อไปจึงจะเริ่มเรียนสมการอย่างจริงจัง

สรุป

• ดูว่าแต่ละพจน์เพิ่มหรือลดทีละเท่าไร ถ้าเพิ่มทีละ $d$ นิพจน์จะมี $dn$
• เทียบ $dn$ กับพจน์จริงเพื่อหาจำนวนที่ต้องบวกหรือลบ
• แทน $n$ อย่างน้อยสองค่าเพื่อตรวจนิพจน์ทุกครั้ง
• รู้ผลลัพธ์แต่ไม่รู้ $n$ จะได้สมการ ซึ่งเป็นเรื่องของหน้าต่อไป