descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 31 อัตราส่วนตรีโกณมิติตรงกับหนังสือ ม.3 เล่ม 2 บทที่ 5

31.3 เลือกอัตราส่วนหาความยาวด้าน

โจทย์ให้มุมกับความยาวด้านหนึ่งและถามอีกด้านหนึ่ง ขั้นตอนที่สำคัญกว่าการแทนตัวเลขคือเลือกอัตราส่วนที่เชื่อมสองด้านนี้โดยไม่เพิ่มตัวไม่รู้ใหม่

เขียนชื่อด้านเทียบกับมุม

  1. หามุมฉากก่อน ด้านตรงข้ามมุมฉากคือด้านฉากและยาวที่สุด
  2. วงมุมแหลมที่ใช้เป็นมุมอ้างอิง
  3. ระบุด้านข้ามมุมนั้นและด้านประชิดมุมนั้น โดยด้านฉากไม่ใช้เป็นประชิดในชื่ออัตราส่วน
  4. เลือก sin สำหรับข้ามกับฉาก cos สำหรับประชิดกับฉาก tan สำหรับข้ามกับประชิด

ตัวอย่าง 1

บันไดยาว 10 เมตรพาดผนังทำมุม 60 องศากับพื้น ปลายบนสูงจากพื้นเท่าไร

  1. บันไดเป็นด้านฉาก ความสูงเป็นด้านข้ามมุม 60 จึงใช้ sin
  2. sin⁡60∘=h/10\sin60^\circ=h/10 ได้ h=10(3/2)=53h=10(\sqrt3/2)=5\sqrt3 เมตร
  3. ประมาณได้ 8.66 เมตร ซึ่งสั้นกว่าบันได 10 เมตรตามที่ควรเป็น

บางครั้งต้องหารแทนคูณ

ตัวอย่าง 2

สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านประชิดมุม 30 องศายาว 9 เซนติเมตร ต้องการด้านฉาก c

  1. ประชิดกับฉากใช้ cos ได้ cos⁡30∘=9/c\cos30^\circ=9/c
  2. คูณทั้งสองข้างด้วย c แล้วหารด้วย cos ได้ c=9/cos⁡30∘c=9/\cos30^\circ
  3. แทนค่า c=9/(3/2)=63c=9/(\sqrt3/2)=6\sqrt3 เซนติเมตร ประมาณ 10.39 ซึ่งมากกว่าด้านประกอบมุมฉาก 9

ถ้าตัวไม่รู้อยู่ตัวส่วน ห้ามคูณค่าตรีโกณมิติเข้าไปทันที การคูณไขว้โดยเขียนสมการทีละบรรทัดช่วยลดการกลับเศษส่วนผิด

ใช้ tan เมื่อต้องการสองด้านประกอบมุมฉาก

ตัวอย่าง 3

ทางลาดสูงจากพื้น 2 เมตร ทำมุม 30 องศากับพื้น ระยะราบจากต้นถึงปลายทางลาดเท่าไร

  1. ความสูงคือด้านข้าม ระยะราบ d คือด้านประชิด จึงใช้ tan
  2. tan⁡30∘=2/d\tan30^\circ=2/d จึง d=2/tan⁡30∘=23d=2/\tan30^\circ=2\sqrt3 เมตร
  3. ความยาวทางลาดจริงเป็นด้านฉาก ถ้าโจทย์ถามค่านั้นต้องใช้ sin จะได้ 4 เมตร ไม่ใช่ 232\sqrt3

เครื่องคิดเลขและการประมาณ

สำหรับมุมที่ไม่ใช่มุมพิเศษ ตรวจว่าเครื่องคิดเลขอยู่โหมดองศา DEG เมื่อโจทย์ให้หน่วยองศา เก็บทศนิยมหลายหลักระหว่างคำนวณ แล้วปัดครั้งเดียวตอนจบตามที่โจทย์ขอ ไม่เปลี่ยนค่าใกล้เคียงเป็นความเท่ากันตรงๆ ใช้ ≈\approx เมื่อตอบค่าประมาณ

ลองคิดก่อน

รู้ประชิดยาว 9 แล้วหาฉากด้วย 9cos⁡30∘9\cos30^\circ ได้ไหม

ดูคำตอบ

ไม่ได้ เพราะ cos เท่ากับประชิดหารฉาก ซึ่งน้อยกว่า 1 การคูณ 9 ด้วย cos จะได้ค่าต่ำกว่า 9 ทั้งที่ด้านฉากต้องยาวกว่า 9 สมการที่ถูกคือฉากเท่ากับ 9 หาร cos

สรุป

  • เลือกอัตราส่วนจากสองด้านที่เกี่ยวข้อง ก่อนหาค่าจากตาราง
  • จัดสมการก่อนแทนค่า โดยเฉพาะเมื่อตัวไม่รู้อยู่ตัวส่วน
  • ตรวจว่าด้านฉากยาวที่สุดและปัดทศนิยมตอนจบ