descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 36 ความสัมพันธ์และฟังก์ชันตรงกับหนังสือ พื้นฐาน ม.5 บทที่ 2 และเพิ่มเติม ม.4 เล่ม 2 บทที่ 1เพิ่มเติม

36.4 การดำเนินการและฟังก์ชันประกอบ

ร้านเสื้อออนไลน์ขายเสื้อตัวละ 500500 บาท มีคูปองลด 10%10\% และคิดค่าส่ง 4040 บาท ถ้าลดราคาก่อนแล้วบวกค่าส่ง จะจ่าย 490490 บาท แต่ถ้าบวกค่าส่งก่อนแล้วลดทั้งก้อน จะจ่าย 486486 บาท ขั้นตอนเหมือนกันทุกอย่าง ต่างกันแค่ลำดับ แต่เงินที่จ่ายไม่เท่ากัน

ชีวิตจริงเต็มไปด้วยขั้นตอนที่ต่อกันแบบนี้ ผลของขั้นแรกกลายเป็นข้อมูลเข้าของขั้นถัดไป หน้านี้จะเขียนการต่อกันนั้นเป็นฟังก์ชัน เรียกว่าฟังก์ชันประกอบ และดูวิธีบวก ลบ คูณ หาร ฟังก์ชันสองตัว โดยระวังโดเมนทุกขั้นตามหน้า 36.3

การดำเนินการทีละจุด

ร้านขายข้าวมีรายได้จากอาหาร f(x)f(x) บาท และรายได้จากเครื่องดื่ม g(x)g(x) บาท เมื่อขายได้ xx จาน รายได้รวมก็คือ f(x)+g(x)f(x) + g(x) เอาค่าที่จุดเดียวกันมารวมกัน แนวคิดนี้ใช้นิยามการดำเนินการของฟังก์ชัน

นิยาม

  • (f+g)(x)=f(x)+g(x)(f + g)(x) = f(x) + g(x) และ (f−g)(x)=f(x)−g(x)(f - g)(x) = f(x) - g(x)
  • (fg)(x)=f(x)⋅g(x)(fg)(x) = f(x) \cdot g(x)
  • (fg)(x)=f(x)g(x)\left(\dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)} เมื่อ g(x)≠0g(x) \ne 0

โดเมนของ f+gf + g f−gf - g และ fgfg คือ Df∩DgD_f \cap D_g ส่วนโดเมนของ fg\dfrac{f}{g} ต้องตัดค่าที่ทำให้ g(x)=0g(x) = 0 ออกอีก

ทำไมใช้ส่วนร่วม เพราะจะบวก f(x)f(x) กับ g(x)g(x) ได้ ต้องหาค่าได้ทั้งสองตัวที่ xx เดียวกัน ถ้าตัวใดตัวหนึ่งไม่มีค่า ผลบวกก็ไม่มีความหมาย

ตัวอย่าง 1

ให้ f(x)=xf(x) = \sqrt{x} และ g(x)=x−2g(x) = x - 2 หา (f+g)(x)(f + g)(x) และ (fg)(x)\left(\dfrac{f}{g}\right)(x) พร้อมโดเมน แล้วหาค่าทั้งสองที่ x=4x = 4

  1. หาโดเมนของแต่ละตัวก่อน Df=[0,∞)D_f = [0, \infty) เพราะข้างในรากต้องไม่ติดลบ และ Dg=RD_g = \mathbb R ส่วนร่วมคือ [0,∞)[0, \infty)
  2. (f+g)(x)=x+x−2(f + g)(x) = \sqrt{x} + x - 2 มีโดเมน [0,∞)[0, \infty) ตามส่วนร่วม
  3. (fg)(x)=xx−2\left(\dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{\sqrt{x}}{x - 2} ต้องตัดค่าที่ g(x)=0g(x) = 0 คือ x=2x = 2 ออกเพิ่ม โดเมนจึงเป็น [0,2)∪(2,∞)[0, 2) \cup (2, \infty)
  4. ที่ x=4x = 4 ได้ (f+g)(4)=2+2=4(f + g)(4) = 2 + 2 = 4 และ (fg)(4)=22=1\left(\dfrac{f}{g}\right)(4) = \dfrac{2}{2} = 1

ลองคิดก่อน

ถ้า (fg)(x)=x2−1x−1\left(\dfrac{f}{g}\right)(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} จัดรูปเป็น x+1x + 1 แล้วใส่ x=1x = 1 ได้ไหม

ดูคำตอบ

ไม่ได้ ฟังก์ชันเดิมไม่กำหนดที่ 11 เพราะตัวส่วนเป็นศูนย์ การตัด x−1x - 1 บนกับล่างทำได้เฉพาะเมื่อ x≠1x \ne 1 เท่านั้น ฟังก์ชันนี้จึงเท่ากับ x+1x + 1 ทุกจุดยกเว้นที่ x=1x = 1 กราฟเป็นเส้นตรงที่มีรูโหว่หนึ่งจุด การจัดรูปไม่ได้คืนจุดที่เดิมห้ามใช้

ฟังก์ชันประกอบ ทำข้างในก่อน

ฟังก์ชันประกอบไม่ได้เอาค่ามาบวกหรือคูณกัน แต่เอาผลของฟังก์ชันหนึ่งไปเป็นข้อมูลเข้าของอีกฟังก์ชัน เหมือนสายพานในโรงงานที่ของออกจากเครื่องแรกแล้วเข้าเครื่องที่สองทันที

xgfg(x)f(g(x))ทำก่อนทำทีหลัง
f∘gf \circ g ส่ง xx เข้า gg ก่อน แล้วส่งผล g(x)g(x) เข้า ff ตัวที่เขียนติด xx คือตัวที่ทำก่อน

นิยาม

ฟังก์ชันประกอบ f∘gf \circ g อ่านว่า เอฟประกอบจี นิยามโดย (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) โดเมนคือเซตของ xx ที่ x∈Dgx \in D_g และ g(x)∈Dfg(x) \in D_f

สัญลักษณ์นี้อ่านจากขวาไปซ้าย เพราะในวงเล็บ f(g(x))f(g(x)) ตัว gg อยู่ติดกับ xx จึงได้ทำงานก่อน เงื่อนไขโดเมนมีสองชั้นด้วยเหตุผลเดียวกับสายพาน ของต้องเข้าเครื่องแรกได้ และของที่ออกมาต้องเข้าเครื่องที่สองได้ด้วย

ตัวอย่าง 2

ให้ f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 และ g(x)=x2g(x) = x^2 หา (f∘g)(3)(f \circ g)(3) และ (g∘f)(3)(g \circ f)(3)

  1. (f∘g)(3)=f(g(3))(f \circ g)(3) = f(g(3)) ทำข้างในก่อน g(3)=32=9g(3) = 3^2 = 9
  2. ส่งผล 99 เข้า ff ได้ f(9)=2(9)+1=19f(9) = 2(9) + 1 = 19
  3. (g∘f)(3)=g(f(3))(g \circ f)(3) = g(f(3)) ครั้งนี้ ff อยู่ข้างใน f(3)=2(3)+1=7f(3) = 2(3) + 1 = 7 แล้ว g(7)=49g(7) = 49
  4. ได้ 1919 กับ 4949 ต่างกันมาก เพราะยกกำลังสองก่อนหรือหลังคูณสองบวกหนึ่งให้ผลคนละอย่าง

เมื่อต้องการสูตรของฟังก์ชันประกอบทั้งเส้น ให้เขียนฟังก์ชันชั้นนอกเป็นช่องว่าง เช่น f(  )=2(  )+1f(\ \ ) = 2(\ \ ) + 1 แล้วแทนนิพจน์ชั้นในลงช่องทั้งก้อนพร้อมวงเล็บ เหมือนการแทนนิพจน์ในหน้า 36.1

ตัวอย่าง 3

ใช้ ff และ gg จากตัวอย่าง 2 หาสูตรของ f∘gf \circ g และ g∘fg \circ f

  1. f(g(x))f(g(x)) แทน g(x)=x2g(x) = x^2 ลงในช่องของ ff ได้ 2(x2)+1=2x2+12(x^2) + 1 = 2x^2 + 1
  2. g(f(x))g(f(x)) แทน f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 ลงในช่องของ gg ซึ่งยกกำลังสองทั้งช่อง ได้ (2x+1)2=4x2+4x+1(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1
  3. ตรวจด้วยตัวอย่าง 2 แทน x=3x = 3 ได้ 2(9)+1=192(9) + 1 = 19 และ 4(9)+12+1=494(9) + 12 + 1 = 49 ตรงกัน
  4. ทั้งสองมีโดเมน R\mathbb R แต่สูตรต่างกัน โดยทั่วไป f∘g≠g∘ff \circ g \ne g \circ f

ลองคิดก่อน

เพื่อนเขียน (f∘g)(x)(f \circ g)(x) ของตัวอย่าง 3 เป็น (2x+1)⋅x2=2x3+x2(2x + 1) \cdot x^2 = 2x^3 + x^2 ผิดตรงไหน

ดูคำตอบ

เพื่อนคูณสองฟังก์ชันกัน ซึ่งคือ (fg)(x)(fg)(x) ไม่ใช่ f∘gf \circ g วงกลมเล็ก ∘\circ แปลว่าส่งต่อ ไม่ใช่คูณ ลองแทน x=3x = 3 จะได้ 2(27)+9=632(27) + 9 = 63 ไม่ใช่ 1919

ตัวอย่าง 4

ให้ f(x)=xf(x) = \sqrt{x} และ g(x)=x−4g(x) = x - 4 หาสูตรและโดเมนของ f∘gf \circ g

  1. ชั้นแรก gg รับจำนวนจริงได้ทุกตัว ไม่มีข้อจำกัด
  2. ชั้นที่สอง ผลของ gg คือ x−4x - 4 ต้องเข้า ff ได้ ซึ่งรับเฉพาะจำนวนที่ไม่ติดลบ จึงต้องมี x−4≥0x - 4 \ge 0
  3. แก้อสมการได้ x≥4x \ge 4 โดเมนจึงเป็น [4,∞)[4, \infty) และสูตรคือ (f∘g)(x)=x−4(f \circ g)(x) = \sqrt{x - 4}
  4. ตรวจ x=2x = 2 อยู่ในโดเมนของ gg ก็จริง แต่ g(2)=−2g(2) = -2 เข้า ff ไม่ได้ จึงต้องตัดทิ้ง นี่คือเหตุที่ดูแค่ DgD_g ไม่พอ

ส่วนลดกับค่าจัดส่งเรียงขั้นต่างกัน

เมื่อแต่ละฟังก์ชันแทนขั้นตอนในชีวิตจริง การสลับลำดับต้องแปลความหมายใหม่ด้วย ไม่ใช่มองว่าฟังก์ชันประกอบเป็นแค่การจัดสัญลักษณ์

ตัวอย่าง 5

ให้ d(x)=0.9xd(x) = 0.9x เป็นการลดราคา 10%10\% และ s(x)=x+40s(x) = x + 40 เป็นการบวกค่าส่ง ราคาเสื้อเดิม 500500 บาท เปรียบเทียบ s(d(500))s(d(500)) กับ d(s(500))d(s(500))

  1. s(d(500))s(d(500)) ทำ dd ก่อน ลดราคาเหลือ d(500)=450d(500) = 450 บาท แล้วบวกค่าส่ง s(450)=490s(450) = 490 บาท
  2. d(s(500))d(s(500)) ทำ ss ก่อน บวกค่าส่งเป็น 540540 บาท แล้วลด 10%10\% ทั้งก้อน ได้ d(540)=486d(540) = 486 บาท
  3. ต่างกัน 44 บาท ซึ่งก็คือ 10%10\% ของค่าส่ง 4040 บาท เพราะกรณีหลังค่าส่งได้ส่วนลดด้วย
  4. สูตรทั้งเส้นคือ s(d(x))=0.9x+40s(d(x)) = 0.9x + 40 กับ d(s(x))=0.9x+36d(s(x)) = 0.9x + 36 เห็นชัดว่าค่าคงที่ต่างกัน 44 ทุกราคา

โจทย์ร้านค้าต้องบอกว่าค่าส่งได้ส่วนลดด้วยหรือไม่ เมื่อแปลลำดับถูก สูตรจะตามมาเอง อย่าเลือกสูตรเพราะคำนวณง่ายแล้วค่อยตีความย้อนหลัง

แยกฟังก์ชันออกเป็นสองชั้น

บางครั้งโจทย์ให้ฟังก์ชันที่ซับซ้อนมา แล้วถามกลับว่าประกอบขึ้นจากฟังก์ชันง่ายสองตัวใด ทักษะนี้จะใช้มากในบทที่ 46 วิธีคิดคือถามว่า ถ้าใช้เครื่องคิดเลขหาค่า จะกดอะไรเป็นอย่างสุดท้าย สิ่งนั้นคือชั้นนอก ที่เหลือคือชั้นใน

ตัวอย่าง 6

เขียน h(x)=x2+1h(x) = \sqrt{x^2 + 1} ในรูป f(g(x))f(g(x))

  1. ถ้าหา h(3)h(3) ด้วยเครื่องคิดเลข จะยกกำลังสองแล้วบวกหนึ่งก่อน ได้ 1010 แล้วจึงถอดรากเป็นขั้นสุดท้าย
  2. ขั้นที่ทำก่อนคือชั้นใน g(x)=x2+1g(x) = x^2 + 1 ขั้นสุดท้ายคือชั้นนอก f(x)=xf(x) = \sqrt{x}
  3. ตรวจ f(g(x))=x2+1=h(x)f(g(x)) = \sqrt{x^2 + 1} = h(x) ตรงกัน ถ้าสลับเป็น g(f(x))=(x)2+1=x+1g(f(x)) = (\sqrt{x})^2 + 1 = x + 1 เมื่อ x≥0x \ge 0 ได้ฟังก์ชันอื่นไปเลย

ลองนึกถึงกรณีพิเศษ ถ้าประกอบสองชั้นแล้วได้ xx กลับมาเฉยๆ เช่น f(x)=x+5f(x) = x + 5 กับ g(x)=x−5g(x) = x - 5 แปลว่าชั้นหนึ่งย้อนงานของอีกชั้นพอดี ฟังก์ชันคู่แบบนั้นมีชื่อเรียกว่าฟังก์ชันผกผัน ซึ่งเป็นเรื่องของหน้าถัดไป

สรุป

  • บวก ลบ คูณ หาร ฟังก์ชันทำทีละจุด โดเมนคือส่วนร่วม และการหารต้องตัดจุดที่ตัวส่วนเป็นศูนย์
  • การจัดรูปไม่คืนจุดที่เดิมห้ามใช้
  • (f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x)) อ่านจากขวาไปซ้าย ทำ gg ก่อน
  • โดเมนของ f∘gf \circ g ต้องให้ xx เข้า gg ได้ และผล g(x)g(x) เข้า ff ได้
  • โดยทั่วไป f∘g≠g∘ff \circ g \ne g \circ f และ f∘gf \circ g ไม่ใช่ fgfg