descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 14 สมบัติของเลขยกกำลังตรงกับหนังสือ ม.2 เล่ม 1 บทที่ 5

14.4 สัญกรณ์วิทยาศาสตร์

กระดาษรายงานหนึ่งแผ่นหนาประมาณ 0.00010.0001 เมตร ส่วนไวรัสไข้หวัดใหญ่หนึ่งตัวกว้างประมาณ 0.00000010.0000001 เมตร จำนวนแบบนี้นับศูนย์ผิดง่ายพอๆ กับจำนวนใหญ่ๆ ในบทที่ 3 บทนั้นเขียนจำนวนใหญ่เป็นสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ได้แล้ว แต่ใช้กับจำนวนที่น้อยกว่า 11 ไม่ได้ เพราะตอนนั้นยังไม่มีเลขชี้กำลังที่ติดลบ ตอนนี้มีแล้ว

สิบยกกำลังจำนวนลบ

ใช้ความหมาย a−n=1ana^{-n} = \dfrac{1}{a^n} จากหน้าที่แล้ว

เลขยกกำลัง10−110^{-1}10−210^{-2}10−310^{-3}10−410^{-4}10−510^{-5}10−610^{-6}
เศษส่วน110\tfrac{1}{10}1100\tfrac{1}{100}11,000\tfrac{1}{1{,}000}110,000\tfrac{1}{10{,}000}1100,000\tfrac{1}{100{,}000}11,000,000\tfrac{1}{1{,}000{,}000}
ทศนิยม0.10.010.0010.00010.000010.000001

10−n10^{-n} เขียนเป็นทศนิยมได้ nn ตำแหน่ง โดยมีเลข 11 อยู่ที่ตำแหน่งที่ nn หลังจุด เช่น 10−4=0.000110^{-4} = 0.0001 มีทศนิยมสี่ตำแหน่ง และ 11 อยู่ตำแหน่งที่สี่

คูณด้วย 10−n10^{-n} ก็คือหารด้วย 10n10^n จุดทศนิยมจึงเลื่อนไปทางซ้าย nn ตำแหน่ง ตรงข้ามกับการคูณด้วย 10n10^n ในบทที่ 3 ที่เลื่อนไปทางขวา

ตัวอย่าง 1

เขียน 3.6×10−43.6 \times 10^{-4} 7×10−67 \times 10^{-6} และ 1.05×10−31.05 \times 10^{-3} เป็นทศนิยม

  1. 3.6×10−43.6 \times 10^{-4} เลื่อนจุดทศนิยมไปทางซ้ายสี่ตำแหน่ง หน้าจุดมีเลขตัวเดียว จึงต้องเติมศูนย์ข้างหน้าอีกสามตัว ได้ 0.000360.00036
  2. 7×10−67 \times 10^{-6} เลื่อนจุดไปทางซ้ายหกตำแหน่ง ได้ 0.0000070.000007 เลข 77 อยู่ตำแหน่งที่หกหลังจุด
  3. 1.05×10−31.05 \times 10^{-3} เลื่อนจุดไปทางซ้ายสามตำแหน่ง ได้ 0.001050.00105

เขียนจำนวนที่น้อยกว่า 1 เป็นสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

นิยามเหมือนในบทที่ 3 ทุกอย่าง คือรูป A×10nA \times 10^n เมื่อ 1≤A<101 \le A < 10 และ nn เป็นจำนวนเต็ม ที่ต่างคือตอนนี้ nn ติดลบได้ ทำสองขั้น

  1. วางจุดทศนิยมไว้หลังตัวเลขตัวแรกที่ไม่ใช่ศูนย์ ตัดศูนย์ข้างหน้าทิ้ง จะได้ AA
  2. นับว่าจากจุดทศนิยมเดิมไปถึงจุดใหม่ เลื่อนไปทางขวากี่ตำแหน่ง ได้เท่าไรใส่เครื่องหมายลบ คือ nn

ตัวอย่าง 2

เขียน 0.0000520.000052 0.08090.0809 และ 0.30.3 ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

  1. 0.0000520.000052 ตัวเลขตัวแรกที่ไม่ใช่ศูนย์คือ 55 วางจุดหลัง 55 ได้ A=5.2A = 5.2 จากจุดเดิมต้องเลื่อนไปทางขวาห้าตำแหน่งจึงถึงหลัง 55 ได้ n=−5n = -5 จึงได้ 5.2×10−55.2 \times 10^{-5}
  2. 0.08090.0809 ตัวแรกที่ไม่ใช่ศูนย์คือ 88 ได้ A=8.09A = 8.09 เลื่อนไปสองตำแหน่ง ได้ 8.09×10−28.09 \times 10^{-2} ศูนย์ระหว่าง 88 กับ 99 ต้องเก็บไว้
  3. 0.30.3 เลื่อนไปหนึ่งตำแหน่ง ได้ 3×10−13 \times 10^{-1}

วิธีตรวจเร็วๆ คือ nn เท่ากับลบของตำแหน่งที่ตัวเลขตัวแรกที่ไม่ใช่ศูนย์อยู่ 0.0000520.000052 มีเลข 55 อยู่ตำแหน่งที่ห้าหลังจุด จึงได้ n=−5n = -5

ลองคิดก่อน

เพื่อนสามคนเขียน 0.0000520.000052 เป็น 5.2×1055.2 \times 10^{5} 5.2×10−65.2 \times 10^{-6} และ 52×10−652 \times 10^{-6} แต่ละคนพลาดตรงไหน

ดูคำตอบ
  • 5.2×1055.2 \times 10^{5} คือ 520,000520{,}000 ใหญ่กว่าเดิมเป็นหมื่นล้านเท่า จำนวนที่น้อยกว่า 11 ต้องมี nn ติดลบเสมอ
  • 5.2×10−65.2 \times 10^{-6} นับศูนย์ได้หกตัวรวมศูนย์หน้าจุดทศนิยมด้วย ศูนย์หน้าจุดไม่นับ เลข 55 อยู่ตำแหน่งที่ห้า nn จึงเป็น −5-5
  • 52×10−652 \times 10^{-6} ค่าเท่ากับ 0.0000520.000052 จริง แต่ A=52A = 52 ไม่อยู่ในช่วง 1≤A<101 \le A < 10 จึงยังไม่ใช่สัญกรณ์วิทยาศาสตร์

ดูเครื่องหมายของ n ก่อนนับ

  • จำนวนที่มากกว่าหรือเท่ากับ 1010 ได้ nn เป็นบวก
  • จำนวนตั้งแต่ 11 แต่น้อยกว่า 1010 ได้ n=0n = 0 เช่น 7=7×1007 = 7 \times 10^0 ซึ่งตอนนี้มีความหมายแล้ว เพราะ 100=110^0 = 1
  • จำนวนที่มากกว่า 00 แต่น้อยกว่า 11 ได้ nn ติดลบ

เปรียบเทียบจำนวนเล็กๆ

หลักเดิมจากบทที่ 3 ยังใช้ได้ ดูเลขชี้กำลังก่อน ตัวที่ nn มากกว่าคือจำนวนที่มากกว่า แต่ต้องระวังว่า −4-4 มากกว่า −5-5

ตัวอย่าง 3

9.9×10−59.9 \times 10^{-5} กับ 1.1×10−41.1 \times 10^{-4} จำนวนใดมากกว่า

  1. เลขชี้กำลังคือ −5-5 กับ −4-4 และ −4-4 มากกว่า −5-5
  2. 1.1×10−41.1 \times 10^{-4} จึงมากกว่า แม้ A=1.1A = 1.1 จะน้อยกว่า 9.99.9
  3. ตรวจด้วยทศนิยม 9.9×10−5=0.0000999.9 \times 10^{-5} = 0.000099 และ 1.1×10−4=0.000111.1 \times 10^{-4} = 0.00011 ตัวหลังมากกว่าจริง

คูณและหารในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

ไม่ต้องเขียนกลับเป็นทศนิยม คูณหรือหารส่วน AA ด้วยกัน แล้วใช้สมบัติจากหน้า 14.1 และ 14.2 กับสิบยกกำลัง สุดท้ายตรวจว่า AA ยังอยู่ในช่วง 1≤A<101 \le A < 10 ไหม

ตัวอย่าง 4

กระดาษรายงานหนาแผ่นละ 1×10−41 \times 10^{-4} เมตร กระดาษหนึ่งรีมมี 500500 แผ่น หนึ่งรีมหนากี่เมตร

  1. เขียน 500=5×102500 = 5 \times 10^2
  2. ความหนารวม (5×102)×(1×10−4)=(5×1)×102+(−4)(5 \times 10^2) \times (1 \times 10^{-4}) = (5 \times 1) \times 10^{2 + (-4)}
  3. ได้ 5×10−25 \times 10^{-2} เมตร หรือ 0.050.05 เมตร คือ 55 เซนติเมตร

ตัวอย่าง 5

หาผลคูณ (8×10−3)×(6×10−5)(8 \times 10^{-3}) \times (6 \times 10^{-5}) ตอบในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

  1. คูณส่วน AA ได้ 8×6=488 \times 6 = 48 และคูณสิบยกกำลัง 10−3×10−5=10−3+(−5)=10−810^{-3} \times 10^{-5} = 10^{-3 + (-5)} = 10^{-8}
  2. ได้ 48×10−848 \times 10^{-8} แต่ 4848 มากกว่า 1010 ยังไม่ใช่สัญกรณ์วิทยาศาสตร์
  3. เขียน 48=4.8×10148 = 4.8 \times 10^1 จึงได้ 4.8×101×10−8=4.8×10−74.8 \times 10^1 \times 10^{-8} = 4.8 \times 10^{-7}

ลองคิดก่อน

เพื่อนทำขั้นสุดท้ายของตัวอย่าง 5 โดยเขียน 48×10−8=4.8×10−948 \times 10^{-8} = 4.8 \times 10^{-9} เพราะคิดว่า AA เล็กลง nn ก็ต้องเล็กลงด้วย ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก 4848 ลดลงเป็น 4.84.8 คือหารด้วย 1010 ค่าทั้งหมดจะเท่าเดิมได้ต้องคูณ 1010 กลับเข้าไป nn จึงต้องเพิ่มหนึ่ง จาก −8-8 เป็น −7-7

ระวังว่าเพิ่มหนึ่งจาก −8-8 ได้ −7-7 ซึ่งตัวเลขดูเล็กลง แต่ค่ามากขึ้น ตรวจด้วยทศนิยม 48×10−8=0.0000004848 \times 10^{-8} = 0.00000048 และ 4.8×10−7=0.000000484.8 \times 10^{-7} = 0.00000048 เท่ากัน

ตัวอย่าง 6

เส้นผมเส้นหนึ่งหนาประมาณ 7×10−57 \times 10^{-5} เมตร ไวรัสชนิดหนึ่งกว้าง 1.4×10−71.4 \times 10^{-7} เมตร ถ้าเรียงไวรัสชนิดนี้ต่อกันให้ยาวเท่าความหนาของเส้นผม ต้องใช้กี่ตัว

  1. จำนวนตัวคือ 7×10−51.4×10−7\dfrac{7 \times 10^{-5}}{1.4 \times 10^{-7}} หารส่วน AA ได้ 7÷1.4=57 \div 1.4 = 5
  2. หารสิบยกกำลัง ลบเลขชี้กำลัง 10−5−(−7)=10−5+7=10210^{-5 - (-7)} = 10^{-5 + 7} = 10^2
  3. ได้ 5×102=5005 \times 10^2 = 500 ตัว

ตัวอย่าง 7

ข้าวสาร 11 กิโลกรัมมีประมาณ 5×1045 \times 10^4 เม็ด ข้าวสารหนึ่งเม็ดหนักประมาณกี่กิโลกรัม ตอบในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์

  1. น้ำหนักหนึ่งเม็ดคือ 15×104\dfrac{1}{5 \times 10^4} กิโลกรัม เขียนเศษเป็น 1×1001 \times 10^0
  2. หารส่วน AA ได้ 1÷5=0.21 \div 5 = 0.2 หารสิบยกกำลังได้ 100−4=10−410^{0 - 4} = 10^{-4} รวมเป็น 0.2×10−40.2 \times 10^{-4}
  3. 0.20.2 น้อยกว่า 11 เขียน 0.2=2×10−10.2 = 2 \times 10^{-1} จึงได้ 2×10−1×10−4=2×10−52 \times 10^{-1} \times 10^{-4} = 2 \times 10^{-5} กิโลกรัม
  4. ตรวจ 2×10−52 \times 10^{-5} กิโลกรัมคือ 0.000020.00002 กิโลกรัม หรือ 0.020.02 กรัม เป็นน้ำหนักที่สมเหตุสมผลสำหรับข้าวหนึ่งเม็ด

สรุป

  • 10−n10^{-n} เป็นทศนิยม nn ตำแหน่งที่มี 11 อยู่ตำแหน่งสุดท้าย คูณด้วย 10−n10^{-n} คือเลื่อนจุดทศนิยมไปทางซ้าย nn ตำแหน่ง
  • จำนวนที่น้อยกว่า 11 วางจุดหลังตัวเลขตัวแรกที่ไม่ใช่ศูนย์ nn คือลบของตำแหน่งตัวเลขนั้น
  • เปรียบเทียบดู nn ก่อน และจำไว้ว่า −4-4 มากกว่า −5-5
  • คูณหาร ทำส่วน AA กับส่วนสิบยกกำลังแยกกัน แล้วปรับ AA ให้อยู่ในช่วง ถ้า AA เล็กลงสิบเท่า nn ต้องเพิ่มหนึ่ง