35.3 เลขชี้กำลังตรรกยะ

การเขียนรากซ้อนกับกำลังอาจอ่านยาก ถ้าเขียนรากเป็นกำลังเศษส่วน กฎการคูณและหารเลขยกกำลังเดิมจะใช้คำนวณได้รวดเร็วขึ้น แต่ต้องรักษาข้อจำกัดของฐาน

ลองนึกถึงโจทย์ที่หน้า 35.2 ยังทำไม่ได้ เช่น $\sqrt{2} \times \sqrt[3]{2}$ หรือ $\sqrt[3]{\sqrt{64}}$ รากต่างอันดับรวมกันด้วยสมบัติของรากไม่ได้ แต่ถ้าทั้งสองเขียนเป็น $2$ ยกกำลังอะไรสักอย่าง ก็จะบวกเลขชี้กำลังได้เหมือนในบทที่ 14 คำถามคือ $2$ ยกกำลังเศษส่วนควรมีความหมายอย่างไร

ทำไม a ยกกำลัง 1/n จึงเป็นราก

ในบทที่ 14 หน้า 14.3 เราไม่รู้ว่า $2^0$ และ $2^{-3}$ แปลว่าอะไร จึงกำหนดความหมายให้สมบัติเดิมยังใช้ได้ ได้ $a^0 = 1$ และ $a^{-n} = \tfrac{1}{a^n}$ หน้านี้ทำแบบเดียวกันกับเลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วน

สมมติว่า $9^{1/2}$ มีค่าอะไรสักค่า และสมบัติ $(a^m)^n = a^{mn}$ ยังใช้ได้ จะได้

แปลว่า $9^{1/2}$ ต้องเป็นจำนวนที่ยกกำลังสองแล้วได้ $9$ คือรากที่สองของ $9$ ถ้าเลือกรากหลักก็ได้ $9^{1/2} = 3 = \sqrt{9}$ ดูอีกทางจากการคูณ $9^{1/2} \times 9^{1/2} = 9^{1/2 + 1/2} = 9^1$ ก็สรุปได้เหมือนกัน ในทำนองเดียวกัน $(8^{1/3})^3 = 8$ จึงต้องให้ $8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2$

เศษส่วนบอกสองขั้น

ในหน้านี้ใช้ฐาน $a>0$ เพื่อให้เลขชี้กำลังตรรกยะทุกค่ามีความหมายในจำนวนจริง ถ้า $m$ เป็นจำนวนเต็มและ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก

ตัวส่วนบอกอันดับของราก ตัวเศษบอกกำลัง ถ้าเลขชี้กำลังติดลบ ให้กลับเป็นส่วนกลับ เช่น $a^{-r}=1/a^r$ จึงต้องมี $a\ne0$ ห้ามตีความเครื่องหมายลบว่าให้คำตอบติดลบ

ที่สองรูปในนิยามเท่ากัน เพราะ $\tfrac{m}{n}$ เขียนได้ทั้ง $\tfrac{1}{n} \times m$ และ $m \times \tfrac{1}{n}$ คือถอดรากก่อนแล้วยกกำลัง หรือยกกำลังก่อนแล้วถอดราก ผลเท่ากัน แต่ความยากต่างกันมาก รูปข้างล่างคิด $32^{2/5}$ สองทาง

ทางบนใช้ตัวเลขไม่เกิน $32$ ทางล่างต้องรู้ว่า $1024$ เป็นกำลังห้าของอะไร จึงควรถอดรากก่อนเสมอเมื่อคิดด้วยมือ

ใช้กฎเดิมกับฐานเดียวกัน

เมื่อ $a > 0$ $b > 0$ และ $r$ $s$ เป็นจำนวนตรรกยะ สมบัติทุกข้อจากบทที่ 14 ยังใช้ได้

$a^r a^s=a^{r+s},\qquad \frac{a^r}{a^s}=a^{r-s},\qquad (a^r)^s=a^{rs},\qquad (ab)^r = a^r b^r$

กฎบวกเลขชี้กำลังใช้กับการคูณฐานเดียวกัน ไม่ใช้กับการบวก เช่น $a^r+a^s$ ไม่เท่ากับ $a^{r+s}$ โดยทั่วไป เมื่อฐานเป็นลบต้องกลับไปตรวจรากอันดับคี่หรือคู่และรูปนิยามโดยตรง อย่าขยายกฎฐานบวกโดยไม่ตรวจ

รวมรากต่างอันดับ

เมื่อเขียนรากทุกตัวเป็นเลขยกกำลังของฐานเดียวกัน ปัญหาเรื่องอันดับต่างกันจะหายไป เหลือแค่การบวกหรือคูณเศษส่วน แล้วค่อยแปลงกลับเป็นรากถ้าโจทย์ต้องการ

จัดรูปนิพจน์ก่อนแทนค่า

บางโจทย์มีฐานหลายตัว การกระจายเลขชี้กำลังและจัดกฎก่อนแทนค่าช่วยลดตัวเลข แต่ต้องตรวจว่าฐานและตัวส่วนผ่านเงื่อนไขทั้งหมด

การคำนวณเลขชี้กำลังต้องทำเศษส่วนให้ส่วนเท่ากัน การบวกตัวเศษและตัวส่วนตรงๆ เช่น $1/2+1/3=2/5$ ไม่ใช่กฎของเศษส่วน แม้โจทย์จะอยู่ในบทเลขยกกำลังก็ตาม

สรุป

• $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ เพราะต้องการให้ $(a^{1/n})^n = a$ ตามกฎเดิม
• ตัวส่วนคือราก ตัวเศษคือกำลัง ถอดรากก่อนจะได้ตัวเลขเล็ก
• เลขชี้กำลังลบคือส่วนกลับ
• นิยามเลขชี้กำลังตรรกยะเมื่อฐานเป็นบวก
• ตรวจชนิดการดำเนินการก่อนรวมเลขชี้กำลัง คูณบวก หารลบ ยกกำลังซ้อนคูณ

หน้าถัดไปจะใช้เลขยกกำลังและรากกับเรื่องจริง ทั้งการลดราคาหลายรอบ ดอกเบี้ยทบต้น และการย้อนหาความยาวจากพื้นที่หรือปริมาตร