descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 39 ฟังก์ชันตรีโกณมิติตรงกับหนังสือ เพิ่มเติม ม.5 เล่ม 1 บทที่ 1เพิ่มเติม

39.1 เรเดียนและวงกลมหนึ่งหน่วย

ในบทที่ 31 เรานิยาม sin⁡θ\sin\theta เป็นด้านตรงข้ามมุมหารด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก นิยามนี้ใช้ได้ดีกับมุมแหลม แต่ถ้าถามว่า sin⁡150∘\sin 150^\circ เท่ากับเท่าไร จะเริ่มติดขัดทันที สามเหลี่ยมมุมฉากมีมุมอีกสองมุมรวมกันได้ 90∘90^\circ จึงไม่มีมุมไหนกาง 150∘150^\circ ได้ แต่เครื่องคิดเลขกลับตอบ sin⁡150∘=0.5\sin 150^\circ = 0.5 ได้หน้าตาเฉย แปลว่าต้องมีนิยามที่กว้างกว่าสามเหลี่ยม

ชีวิตจริงก็มีมุมที่เกิน 90∘90^\circ อยู่ทั่วไป ล้อจักรยานหมุนไปหลายรอบ ชิงช้าสวรรค์หมุนวนไม่หยุด เข็มนาฬิกาหมุนทวนกลับไม่ได้แต่หมุนเกินรอบได้ หน้านี้จะเปลี่ยนวิธีมองมุมสองเรื่อง เรื่องแรกคือหน่วยวัดมุมแบบใหม่ที่ผูกกับความยาวส่วนโค้ง เรื่องที่สองคือวงกลมที่ทำให้ไซน์และโคไซน์มีความหมายกับมุมทุกขนาด

เรเดียนวัดมุมด้วยความยาวส่วนโค้ง

หน่วยองศามาจากการแบ่งหนึ่งรอบเป็น 360360 ส่วน ตัวเลข 360360 เป็นตัวเลขที่คนเลือกขึ้นมาเอง ไม่ได้ผูกกับขนาดของวงกลม ถ้าอยากรู้ว่าจุดบนขอบล้อเคลื่อนไปไกลเท่าไร ต้องแปลงองศาเป็นสัดส่วนของรอบก่อนทุกครั้ง

ลองคิดอีกแบบ ล้อจักรยานรัศมี 3030 เซนติเมตร ถ้าจักรยานเดินหน้าไป 11 เมตร ล้อหมุนไปเท่าไร จุดที่แตะพื้นเปลี่ยนไปตามขอบล้อยาว 100100 เซนติเมตร ความยาวนี้เทียบกับรัศมีได้ 10030=103\tfrac{100}{30} = \tfrac{10}{3} เท่า ตัวเลข 103\tfrac{10}{3} บอกว่าล้อหมุนไปมากแค่ไหน โดยไม่ขึ้นกับว่าวัดความยาวเป็นเซนติเมตรหรือเมตร เพราะหน่วยตัดกันหมด แนวคิดนี้คือมุมแบบเรเดียน

นิยาม

มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมรัศมี rr รองรับส่วนโค้งยาว ss มีขนาด θ=sr\theta = \dfrac{s}{r} เรเดียน มุมหนึ่งเรเดียนจึงรองรับส่วนโค้งยาวเท่ารัศมีพอดี

rrs = r1 เรเดียน
ส่วนโค้งสีส้มยาวเท่ารัศมี มุมที่จุดศูนย์กลางจึงเป็น 11 เรเดียน ประมาณ 57.3∘57.3^\circ

จากนิยามได้สูตร s=rθs = r\theta ทันที สูตรนี้ใช้ได้เมื่อ θ\theta เป็นเรเดียนเท่านั้น หนึ่งรอบมีส่วนโค้งยาวเท่าเส้นรอบวง 2πr2\pi r มุมหนึ่งรอบจึงเป็น 2πrr=2π\tfrac{2\pi r}{r} = 2\pi เรเดียน เทียบกับ 360∘360^\circ ได้ 180∘=π180^\circ = \pi เรเดียน นี่คือสะพานเดียวที่ต้องจำ คูณด้วย π180\tfrac{\pi}{180} เพื่อเปลี่ยนองศาเป็นเรเดียน และคูณด้วย 180π\tfrac{180}{\pi} เพื่อเปลี่ยนกลับ

องศา30∘30^\circ45∘45^\circ60∘60^\circ90∘90^\circ180∘180^\circ270∘270^\circ360∘360^\circ
เรเดียนπ6\tfrac{\pi}{6}π4\tfrac{\pi}{4}π3\tfrac{\pi}{3}π2\tfrac{\pi}{2}π\pi3π2\tfrac{3\pi}{2}2π2\pi

เวลาเขียนมุมเป็นเรเดียน มักไม่เขียนหน่วยกำกับ ถ้าเห็นมุม 22 เฉยๆ ให้อ่านว่า 22 เรเดียน ถ้าเป็นองศาต้องมีเครื่องหมาย ∘^\circ เสมอ

ตัวอย่าง 1

เปลี่ยน 150∘150^\circ เป็นเรเดียน และ 7π6\tfrac{7\pi}{6} เป็นองศา

  1. ครึ่งรอบคือ 180∘=π180^\circ = \pi เรเดียน หนึ่งองศาจึงเท่ากับ π180\tfrac{\pi}{180} เรเดียน คูณ 150150 เข้าไปได้ 150⋅π180=5π6150 \cdot \tfrac{\pi}{180} = \tfrac{5\pi}{6} เรเดียน
  2. ขากลับใช้ว่า π\pi เรเดียนเท่ากับ 180∘180^\circ แทน π\pi ด้วย 180∘180^\circ ได้ 7⋅180∘6=210∘\tfrac{7 \cdot 180^\circ}{6} = 210^\circ
  3. ตรวจด้วยความรู้สึก 5π6\tfrac{5\pi}{6} น้อยกว่า π\pi อยู่นิดเดียว จึงควรน้อยกว่า 180∘180^\circ นิดเดียว ส่วน 7π6\tfrac{7\pi}{6} เกิน π\pi ไปอีก π6\tfrac{\pi}{6} คือ 180∘+30∘180^\circ + 30^\circ ตรงกัน

ตัวอย่าง 2

ล้อจักรยานรัศมี 3030 เซนติเมตร จักรยานเดินหน้าไป 11 เมตรโดยล้อไม่ลื่นไถล ล้อหมุนไปกี่เรเดียน และประมาณกี่องศา

  1. ล้อไม่ลื่นไถล ระยะที่จักรยานเคลื่อนจึงเท่ากับความยาวส่วนโค้งที่ขอบล้อแตะพื้นไป ให้หน่วยตรงกันก่อน s=100s = 100 เซนติเมตร และ r=30r = 30 เซนติเมตร
  2. ใช้นิยาม θ=sr=10030=103\theta = \tfrac{s}{r} = \tfrac{100}{30} = \tfrac{10}{3} เรเดียน ประมาณ 3.333.33 เรเดียน
  3. แปลงเป็นองศา 103⋅180π=600π\tfrac{10}{3} \cdot \tfrac{180}{\pi} = \tfrac{600}{\pi} ประมาณ 191∘191^\circ ล้อหมุนเกินครึ่งรอบไปเล็กน้อย สอดคล้องกับที่ 103\tfrac{10}{3} มากกว่า π\pi ประมาณ 3.143.14 อยู่นิดหน่อย

ตัวอย่าง 3

ล้อรัศมี 1414 เซนติเมตรหมุนมุม 3π4\tfrac{3\pi}{4} เรเดียน จุดบนขอบเคลื่อนตามส่วนโค้งเท่าไร

  1. มุมให้มาเป็นเรเดียนแล้ว จึงใช้ s=rθs = r\theta ได้ทันทีโดยไม่ต้องแปลง
  2. s=14⋅3π4=21π2s = 14 \cdot \tfrac{3\pi}{4} = \tfrac{21\pi}{2} เซนติเมตร ประมาณ 3333 เซนติเมตร

ลองคิดก่อน

โจทย์ให้ล้อรัศมี 1414 เซนติเมตรหมุน 90∘90^\circ เพื่อนแทน θ=90\theta = 90 ในสูตร s=rθs = r\theta ได้ s=1260s = 1260 เซนติเมตร คำตอบนี้สมเหตุสมผลไหม

ดูคำตอบ

ไม่สมเหตุสมผล ล้อหมุนแค่หนึ่งในสี่รอบ แต่ได้ระยะยาวกว่าเส้นรอบวงทั้งวงที่ประมาณ 8888 เซนติเมตรเสียอีก สูตร s=rθs = r\theta มาจากนิยาม θ=sr\theta = \tfrac{s}{r} ซึ่งเป็นเรเดียน ต้องแปลง 90∘90^\circ เป็น π2\tfrac{\pi}{2} ก่อน จะได้ s=7πs = 7\pi ประมาณ 2222 เซนติเมตร

พื้นที่เซกเตอร์

เซกเตอร์คือส่วนของวงกลมที่ล้อมด้วยรัศมีสองเส้นกับส่วนโค้ง เหมือนพิซซ่าหนึ่งชิ้น มุม θ\theta เรเดียนคิดเป็นสัดส่วน θ2π\tfrac{\theta}{2\pi} ของหนึ่งรอบ พื้นที่เซกเตอร์จึงเป็นสัดส่วนเดียวกันของพื้นที่วงกลม

A=θ2π⋅πr2=12r2θA = \frac{\theta}{2\pi} \cdot \pi r^2 = \frac{1}{2} r^2 \theta

สูตรนี้ก็ใช้มุมเรเดียนเหมือน s=rθs = r\theta ถ้าเขียนรวมกันจะได้ A=12rsA = \tfrac{1}{2} r s ซึ่งคล้ายพื้นที่สามเหลี่ยมที่มีฐานยาว ss และสูง rr

ตัวอย่าง 4

พิซซ่ารัศมี 2020 เซนติเมตรตัดเป็น 88 ชิ้นเท่ากัน หาความยาวขอบโค้งและพื้นที่ของหนึ่งชิ้น

  1. แปดชิ้นเท่ากันแบ่งหนึ่งรอบ 2π2\pi เป็นแปดส่วน หนึ่งชิ้นจึงมีมุม θ=2π8=π4\theta = \tfrac{2\pi}{8} = \tfrac{\pi}{4} เรเดียน
  2. ขอบโค้ง s=rθ=20⋅π4=5πs = r\theta = 20 \cdot \tfrac{\pi}{4} = 5\pi ประมาณ 15.715.7 เซนติเมตร
  3. พื้นที่ A=12r2θ=12⋅400⋅π4=50πA = \tfrac{1}{2} r^2 \theta = \tfrac{1}{2} \cdot 400 \cdot \tfrac{\pi}{4} = 50\pi ประมาณ 157157 ตารางเซนติเมตร
  4. ตรวจอีกทาง พื้นที่ทั้งถาด π⋅202=400π\pi \cdot 20^2 = 400\pi แบ่งแปดได้ 50π50\pi ตรงกัน

วงกลมหนึ่งหน่วยให้นิยามที่ใช้ได้กับทุกมุม

วาดวงกลมรัศมี 11 หน่วยที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกำเนิด เรียกว่าวงกลมหนึ่งหน่วย เริ่มวัดมุมจากแกน xx ทางบวก หมุนทวนเข็มนาฬิกาได้มุมบวก หมุนตามเข็มนาฬิกาได้มุมลบ ปลายของมุม θ\theta ไปตกที่จุดหนึ่งบนวงกลม เรียกว่าจุดปลายของมุม

ถ้า θ\theta เป็นมุมแหลม ลากเส้นตั้งฉากจากจุดปลาย (x,y)(x, y) ลงแกน xx จะได้สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 11 ด้านประชิดยาว xx และด้านตรงข้ามยาว yy นิยามจากบทที่ 31 ให้ cos⁡θ=x1=x\cos\theta = \tfrac{x}{1} = x และ sin⁡θ=y1=y\sin\theta = \tfrac{y}{1} = y ข้อสังเกตนี้คือหัวใจของบท

นิยาม

ถ้าจุดปลายของมุม θ\theta บนวงกลมหนึ่งหน่วยคือ (x,y)(x, y) แล้ว cos⁡θ=x\cos\theta = x และ sin⁡θ=y\sin\theta = y

นิยามใหม่ไม่ต้องใช้สามเหลี่ยมอีกต่อไป มุม 150∘150^\circ ก็มีจุดปลายบนวงกลมเหมือนมุมอื่น จึงมีไซน์และโคไซน์ และเมื่อ θ\theta เป็นมุมแหลม นิยามใหม่ให้ค่าเท่าเดิมทุกประการ ไม่ได้ขัดกับสิ่งที่เรียนมา จุดปลายอยู่บนวงกลม x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 จึงได้ cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 ทุกมุม

มุมที่ต่างกัน 2πk2\pi k เมื่อ kk เป็นจำนวนเต็ม หมุนครบรอบเพิ่มแล้วกลับมาที่จุดปลายเดิม เรียกว่ามุมร่วมปลาย ค่าไซน์และโคไซน์จึงซ้ำทุก 2π2\pi ส่วนมุมติดลบ −θ-\theta คือภาพสะท้อนของ θ\theta ข้ามแกน xx พิกัด xx เท่าเดิมแต่พิกัด yy เปลี่ยนเครื่องหมาย จึงได้ cos⁡(−θ)=cos⁡θ\cos(-\theta) = \cos\theta และ sin⁡(−θ)=−sin⁡θ\sin(-\theta) = -\sin\theta

เลื่อนมุมครบหนึ่งรอบ ดูจุดบนวงกลมกลับตำแหน่งเดิมพร้อมกราฟไซน์ครบหนึ่งคาบ

ตัวอย่าง 5

หาพิกัดของจุดปลายของมุม 2π3\tfrac{2\pi}{3} บนวงกลมหนึ่งหน่วย แล้วตอบคำถามต้นหน้าว่า sin⁡150∘\sin 150^\circ เท่ากับเท่าไร

  1. 2π3=120∘\tfrac{2\pi}{3} = 120^\circ หมุนเลยแกน yy ไปแล้ว จุดปลายอยู่ด้านซ้ายบนของวงกลม เส้นปลายมุมทำมุมกับแกน xx ทางลบเป็น 180∘−120∘=60∘180^\circ - 120^\circ = 60^\circ
  2. ลากเส้นตั้งฉากลงแกน xx ได้สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม 60∘60^\circ ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 11 ด้านแนวนอนยาว cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \tfrac{1}{2} ด้านแนวตั้งยาว sin⁡60∘=32\sin 60^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}
  3. จุดอยู่ด้านซ้ายของแกน yy พิกัด xx จึงติดลบ อยู่เหนือแกน xx พิกัด yy จึงเป็นบวก ได้จุด (−12,32)\left(-\tfrac{1}{2}, \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) ดังนั้น cos⁡2π3=−12\cos\tfrac{2\pi}{3} = -\tfrac{1}{2} และ sin⁡2π3=32\sin\tfrac{2\pi}{3} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}
  4. ทำแบบเดียวกันกับ 150∘150^\circ เส้นปลายมุมทำมุม 30∘30^\circ กับแกน xx ทางลบ จุดปลายคือ (−32,12)\left(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}, \tfrac{1}{2}\right) จึงได้ sin⁡150∘=12\sin 150^\circ = \tfrac{1}{2} ตรงกับที่เครื่องคิดเลขบอก

มุมร่วมปลายกับจำนวนรอบที่หมุนจริง

มุมอาจเกินหนึ่งรอบหรือติดลบได้ การลดด้วยจำนวนรอบเต็มช่วยอ่านจุดปลาย แต่ไม่เปลี่ยนจำนวนรอบที่วัตถุหมุนจริง ถ้าโจทย์ถามระยะสะสม ต้องใช้มุมเต็ม

ตัวอย่าง 6

หา sin⁡13π6\sin\tfrac{13\pi}{6} และอธิบายมุมร่วมปลายในช่วง [0,2π)[0, 2\pi)

  1. แยกรอบเต็มออก 13π6=12π6+π6=2π+π6\tfrac{13\pi}{6} = \tfrac{12\pi}{6} + \tfrac{\pi}{6} = 2\pi + \tfrac{\pi}{6} จึงมีจุดปลายเดียวกับ π6\tfrac{\pi}{6}
  2. ค่าไซน์อ่านจากจุดปลาย จึงเท่ากับ sin⁡π6=12\sin\tfrac{\pi}{6} = \tfrac{1}{2}
  3. แต่ถ้าเป็นล้อรัศมี rr ที่หมุน 13π6\tfrac{13\pi}{6} จริง จุดบนขอบเคลื่อนไป 13π6r\tfrac{13\pi}{6}r ไม่ใช่ π6r\tfrac{\pi}{6}r เพราะหมุนครบหนึ่งรอบไปก่อนแล้ว

ความแตกต่างนี้สำคัญในโจทย์ล้อหมุน ค่าตรีโกณมิติขึ้นกับตำแหน่งปลาย ส่วนระยะที่จุดบนขอบเคลื่อนขึ้นกับจำนวนรอบทั้งหมด จึงไม่ลดมุมก่อนคำนวณระยะสะสมโดยอัตโนมัติ

ลองคิดก่อน

เพื่อนกดเครื่องคิดเลขหา sin⁡2\sin 2 ได้ประมาณ 0.0350.035 อีกคนได้ประมาณ 0.9090.909 ใครถูก

ดูคำตอบ

ถ้าโจทย์เขียน sin⁡2\sin 2 โดยไม่มีเครื่องหมายองศา มุมคือ 22 เรเดียน ประมาณ 115∘115^\circ จุดปลายอยู่ด้านซ้ายบนของวงกลม สูงเกือบถึงยอด ค่าไซน์จึงประมาณ 0.9090.909 ส่วน 0.0350.035 คือ sin⁡2∘\sin 2^\circ ซึ่งมุมเล็กมากจนจุดปลายแทบอยู่บนแกน xx คนแรกลืมเปลี่ยนเครื่องคิดเลขเป็นโหมดเรเดียน (RAD) ก่อนกด ตรวจโหมดทุกครั้งที่ใช้เครื่องคิดเลขกับมุม

หน้าถัดไปจะใช้ภาพจุดปลายบนวงกลมนี้อ่านเครื่องหมายของไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ในแต่ละจตุภาค แล้วหาค่าของมุมใดๆ จากมุมแหลมเพียงไม่กี่มุม

สรุป

  • มุม θ\theta เรเดียนคือส่วนโค้งหารรัศมี หนึ่งรอบเท่ากับ 2π2\pi และ 180∘=π180^\circ = \pi
  • ส่วนโค้ง s=rθs = r\theta และพื้นที่เซกเตอร์ 12r2θ\tfrac{1}{2}r^2\theta ใช้มุมเรเดียนเท่านั้น
  • จุดปลายของมุมบนวงกลมหนึ่งหน่วยคือ (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) ใช้ได้กับมุมทุกขนาด
  • มุมร่วมปลายให้ค่าตรีโกณมิติเท่ากัน แต่ระยะที่หมุนจริงต้องใช้มุมเต็ม
  • มุมที่ไม่มีเครื่องหมายองศาเป็นเรเดียน ตั้งเครื่องคิดเลขให้ตรงโหมด