1.5 สมบัติของจำนวนเต็ม

ลองคิดในใจ $25 \times (-7) \times 4$ ถ้าคูณจากซ้ายไปขวาจะได้ $25 \times (-7) = -175$ แล้วต้องเอา $-175$ ไปคูณ $4$ อีก แต่ถ้ารู้ว่าสลับลำดับได้ ก็จับ $25$ คู่กับ $4$ ได้ $100$ ก่อน แล้ว $100 \times (-7) = -700$ คิดในใจได้ทันที

หน้านี้รวบรวมกฎที่บอกว่าเปลี่ยนลำดับหรือจัดกลุ่มใหม่แบบไหนได้ แบบไหนไม่ได้ กฎเหล่านี้ใช้ต่อไปทุกครั้งที่จัดรูปพีชคณิต

สมบัติการสลับที่

ถ้า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มใดๆ

a + b = b + a \qquad a \times b = b \times a

เช่น $(-9) + 4 = 4 + (-9) = -5$ และ $(-6) \times 3 = 3 \times (-6) = -18$ สลับที่แล้วผลไม่เปลี่ยน

การลบและการหารไม่มีสมบัตินี้ ตัวอย่างเดียวที่ไม่จริงก็พอจะบอกว่ากฎใช้ไม่ได้ทั่วไป

$8 - 3 = 5$ แต่ $3 - 8 = -5$
$12 \div (-4) = -3$ แต่ $(-4) \div 12$ ไม่เป็นจำนวนเต็มด้วยซ้ำ

สมบัติการเปลี่ยนหมู่

ถ้า $a$ $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็มใดๆ

(a + b) + c = a + (b + c) \qquad (a \times b) \times c = a \times (b \times c)

สมบัตินี้บอกว่าบวกหรือคูณสามจำนวน จะจับคู่ไหนทำก่อนก็ได้ พอใช้คู่กับสมบัติการสลับที่ จึงเรียงใหม่และจับกลุ่มได้ตามสะดวก

ตัวอย่าง 1

หาค่าของ (1) $(-37) + 58 + 37$ (2) $(-4) \times 19 \times (-25)$

ข้อ (1) สลับให้ $-37$ อยู่คู่กับ $37$ ได้ $\big[(-37) + 37\big] + 58 = 0 + 58 = 58$
ข้อ (2) สลับให้ $-4$ อยู่คู่กับ $-25$ ได้ $\big[(-4) \times (-25)\big] \times 19 = 100 \times 19 = 1900$

การลบและการหารเปลี่ยนหมู่ไม่ได้ ตัวอย่างเช่น

$(10 - 6) - 3 = 1$ แต่ $10 - (6 - 3) = 7$
$(24 \div 4) \div 2 = 3$ แต่ $24 \div (4 \div 2) = 12$

นี่คือเหตุผลที่หน้า 1.4 บอกให้คูณหารจากซ้ายไปขวา ถ้าจับกลุ่มผิด คำตอบเปลี่ยน

สมบัติการแจกแจง

ถ้า $a$ $b$ และ $c$ เป็นจำนวนเต็มใดๆ

a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)

นึกถึงการซื้อของ ซื้อชานมแก้วละ 35 บาทกับขนมปังชิ้นละ 15 บาท อย่างละ 4 ชิ้น จะคิดว่า $4 \times (35 + 15) = 4 \times 50 = 200$ หรือคิดแยกว่า $4 \times 35 + 4 \times 15 = 140 + 60 = 200$ ก็ได้เท่ากัน สมบัตินี้จริงกับจำนวนลบด้วย และใช้กับการลบได้ เพราะการลบคือการบวกจำนวนตรงข้าม จึงได้ $a \times (b - c) = (a \times b) - (a \times c)$

ตัวอย่าง 2

ใช้สมบัติการแจกแจงหาค่าของ (1) $(-6) \times 98$ (2) $17 \times (-23) + 17 \times (-77)$

ข้อ (1) เขียน $98 = 100 - 2$ ได้ $(-6) \times (100 - 2) = (-6) \times 100 - (-6) \times 2$
$= -600 - (-12) = -600 + 12 = -588$
ข้อ (2) มี $17$ เป็นตัวคูณร่วม ดึงออกมาได้ $17 \times \big[(-23) + (-77)\big] = 17 \times (-100) = -1700$

ลองคิดก่อน

เพื่อนคิด $(-3) \times (5 - 2)$ แบบกระจาย แล้วเขียนว่า $(-3) \times 5 - 2 = -17$ เพื่อนพลาดตรงไหน

ดูคำตอบ

เพื่อนคูณ $-3$ เข้าไปแค่ตัวแรก ต้องคูณทุกตัวในวงเล็บ $(-3) \times 5 - (-3) \times 2 = -15 - (-6) = -15 + 6 = -9$ ตรวจด้วยการทำในวงเล็บก่อน $(-3) \times 3 = -9$ ตรงกัน

สมบัติของศูนย์และหนึ่ง

สมบัติ

ถ้า $a$ เป็นจำนวนเต็มใดๆ

$a + 0 = 0 + a = a$ บวกด้วยศูนย์ได้ตัวเดิม
$a \times 1 = 1 \times a = a$ คูณด้วยหนึ่งได้ตัวเดิม
$a \times 0 = 0 \times a = 0$ คูณด้วยศูนย์ได้ศูนย์
$a + (-a) = 0$ บวกกับจำนวนตรงข้ามได้ศูนย์

สมบัติเหล่านี้ดูเหมือนเรื่องง่าย แต่ใช้บ่อยมาก เช่นตัวอย่าง 1 ข้อ (1) ใช้ $(-37) + 37 = 0$ แล้วตามด้วย $0 + 58 = 58$

สรุปสมบัติ

สมบัติ	การบวก	การคูณ	การลบ การหาร
สลับที่	ได้	ได้	ไม่ได้
เปลี่ยนหมู่	ได้	ได้	ไม่ได้
แจกแจง	การคูณแจกแจงบนการบวกและการลบได้

ตัวอย่าง 3

หาค่าของ $(-125) \times 37 \times 8 + 1000 \times 37$ ให้เร็วที่สุด

พจน์แรกสลับที่และเปลี่ยนหมู่ $\big[(-125) \times 8\big] \times 37 = (-1000) \times 37$
ทั้งสองพจน์มี $37$ ร่วมกัน ใช้การแจกแจง $37 \times \big[(-1000) + 1000\big]$
$(-1000) + 1000 = 0$ และ $37 \times 0 = 0$ คำตอบคือ $0$

สรุป

บวกกับคูณสลับที่และเปลี่ยนหมู่ได้ จึงเรียงใหม่และจับกลุ่มให้คิดง่ายได้
ลบกับหารสลับที่และเปลี่ยนหมู่ไม่ได้ ตัวอย่างค้านตัวเดียวก็พอ
$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$ ต้องคูณทุกตัวในวงเล็บ
บวกศูนย์หรือคูณหนึ่งได้ตัวเดิม คูณศูนย์ได้ศูนย์ บวกจำนวนตรงข้ามได้ศูนย์