17.4 ม.ม.ม. และ ด.ด.ม. ใช้ไม่ได้

ทุกเงื่อนไขที่ผ่านมาใช้ข้อมูลสามอย่าง ฟังดูเหมือนว่ารู้ด้านหรือมุมอะไรก็ได้สามอย่างแล้วสรุปได้ทันที แต่ไม่จริง ยังมีอีกสองชุดคือ มุม มุม มุม และ ด้าน ด้าน มุม ที่มุมไม่อยู่ในระหว่าง ทั้งสองชุดใช้สรุปไม่ได้

วิธีแสดงว่าเงื่อนไขหนึ่งใช้ไม่ได้ คือหาตัวอย่างค้าน ได้แก่รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่ตรงตามเงื่อนไขนั้นทุกข้อ แต่ไม่เท่ากันทุกประการ หาเจอแค่คู่เดียวก็พอ

มุม มุม มุม

รูปถ่ายขนาด $4 \times 6$ นิ้ว เมื่อขยายเป็น $8 \times 12$ นิ้ว คนในรูปหน้าตาเหมือนเดิมทุกอย่าง มุมทุกมุมเท่าเดิม แต่รูปใหญ่ขึ้นสองเท่า รูปสามเหลี่ยมก็เป็นแบบเดียวกัน

$\triangle ABC$ มีด้านยาว $3$ $4$ และ $5$ หน่วย ส่วน $\triangle DEF$ ได้จากการขยายทุกด้านเป็นสองเท่า คือ $6$ $8$ และ $10$ หน่วย ทั้งสองรูปเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ตรวจด้วยทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ว่า $3^2 + 4^2 = 5^2$ และ $6^2 + 8^2 = 10^2$ การขยายทุกด้านเท่ากันไม่ทำให้มุมเปลี่ยน มุมคู่ที่สมนัยกันจึงเท่ากันทั้งสามคู่ แต่ $AB = 5$ กับ $DE = 10$ ไม่เท่ากัน สองรูปนี้จึงไม่เท่ากันทุกประการ

มองอีกแบบหนึ่ง ม.ม.ม. ให้ข้อมูลจริงแค่สองอย่าง เพราะมุมที่สามคำนวณได้จากสองมุมแรกเสมอ และไม่มีความยาวของด้านเลยสักด้าน มุมบอกได้แค่ว่ารูปร่างเหมือนกัน แต่ไม่ได้บอกขนาด รูปที่มีรูปร่างเหมือนกันแต่ขนาดอาจต่างกันแบบนี้เรียกว่ารูปที่คล้ายกัน ซึ่งจะได้เรียนใน ม.3

ด้าน ด้าน มุม

ชุดนี้หลอกตากว่า เพราะมีด้านสองคู่กับมุมหนึ่งคู่เหมือน ด.ม.ด. ต่างกันแค่มุมไม่ได้อยู่ระหว่างสองด้าน ลองสร้างดู

1. สร้างมุม $B$ ขนาด $30^\circ$ แล้ววัดจาก $B$ ไปตามแขนบนยาว $8$ เซนติเมตร ได้จุด $A$
2. กางวงเวียน $5$ เซนติเมตร ใช้ $A$ เป็นจุดศูนย์กลาง เขียนส่วนโค้งตัดแขนล่างของมุม
3. ส่วนโค้งตัดแขนล่างได้สองจุด เรียกว่า $C$ กับ $D$

ได้ $\triangle ABC$ กับ $\triangle ABD$ ซึ่งมี $AB = 8$ เซนติเมตรร่วมกัน มี $AC = AD = 5$ เซนติเมตร และมี $\hat{B} = 30^\circ$ เป็นมุมเดียวกัน ข้อมูลแบบ ด้าน ด้าน มุม ตรงกันทุกข้อ แต่วัด $BC$ ได้ประมาณ $3.9$ เซนติเมตร ขณะที่ $BD$ ยาวประมาณ $9.9$ เซนติเมตร รูปเล็กกับรูปใหญ่ต่างกันชัดเจน จึงไม่เท่ากันทุกประการ

ต้นเหตุคือ $\hat{B}$ อยู่ระหว่าง $AB$ กับด้านที่สาม ส่วนด้านยาว $5$ เซนติเมตรอยู่ตรงข้ามมุม $B$ จึงแกว่งรอบจุด $A$ ได้เหมือนขาวงเวียน และแตะแขนของมุมได้สองตำแหน่ง

ทำไม ฉ.ด.ด. จึงใช้ได้

ถ้าดูให้ดี ฉ.ด.ด. ก็มีหน้าตาเป็น ด้าน ด้าน มุม เพราะมุมฉากไม่ได้อยู่ระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับด้านประกอบมุมฉาก แต่ใช้ได้เพราะมุมที่ให้มาเป็นมุมฉากพอดี

ลองนึกถึงรูปการสร้างข้างบนอีกครั้ง แต่เปลี่ยน $\hat{B}$ จาก $30^\circ$ เป็น $90^\circ$ ตอนนี้ $AB$ ตั้งฉากกับแนวของแขนล่าง ส่วนโค้งรอบ $A$ จะตัดแนวนั้นสองจุดที่อยู่คนละข้างของ $B$ ห่างจาก $B$ เท่ากัน มีแค่จุดเดียวที่อยู่บนแขนของมุม จึงได้รูปสามเหลี่ยมรูปเดียว ตรงกับเหตุผลด้วยทฤษฎีบทพีทาโกรัสในหน้า 17.3

สรุป

• ม.ม.ม. ใช้ไม่ได้ เพราะรูปที่ขยายหรือย่อมีมุมเท่าเดิมแต่ขนาดต่างกัน
• ด.ด.ม. ที่มุมไม่อยู่ในระหว่างใช้ไม่ได้ เพราะด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมแกว่งไปแตะได้สองตำแหน่ง
• ข้อยกเว้นคือเมื่อมุมนั้นเป็นมุมฉาก ซึ่งก็คือ ฉ.ด.ด.
• ใช้ไม่ได้ แปลว่าข้อมูลยังไม่พอ ไม่ได้แปลว่าไม่เท่ากัน