descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 42 จำนวนเชิงซ้อนตรงกับหนังสือ เพิ่มเติม ม.5 เล่ม 2 บทที่ 1เพิ่มเติม

42.1 นิยามและการดำเนินการ

ลองหาคำตอบของสมการ x3=15x+4x^3 = 15x + 4 ด้วยการเดา จะพบว่า x=4x = 4 ใช้ได้ เพราะ 43=644^3 = 64 และ 15(4)+4=6415(4) + 4 = 64 คำตอบนี้เป็นจำนวนจริงธรรมดา แต่ในศตวรรษที่ 16 มีสูตรแก้สมการกำลังสามที่การ์ดาโน (Cardano) นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีตีพิมพ์ไว้ พอแทนสมการนี้ลงในสูตร กลับได้

x=2+−1213+2−−1213x = \sqrt[3]{2 + \sqrt{-121}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{-121}}

ซึ่งมีรากที่สองของจำนวนลบอยู่ข้างใน

คนยุคนั้นเห็นรากที่สองของจำนวนลบแล้วมักเลิกคิดต่อ เพราะไม่มีจำนวนจริงใดยกกำลังสองแล้วติดลบ แต่บอมเบลลี (Bombelli) ลองคำนวณต่อไปตรงๆ เขาเขียน −121=11−1\sqrt{-121} = 11\sqrt{-1} แล้วสังเกตว่า (2+−1)3(2 + \sqrt{-1})^3 กระจายแล้วได้ 2+11−12 + 11\sqrt{-1} พอดี รากที่สามทั้งสองตัวในสูตรจึงเป็น 2+−12 + \sqrt{-1} กับ 2−−12 - \sqrt{-1} พอบวกกัน ส่วนที่มี −1\sqrt{-1} หักล้างกันหมด เหลือ 44 ตรงกับคำตอบที่เดาได้

ทางเดินที่ผ่าน −1\sqrt{-1} ให้คำตอบจริงที่ถูกต้อง นักคณิตศาสตร์จึงค่อยๆ ยอมรับจำนวนชนิดใหม่นี้ และต่อมาตั้งชื่อ −1\sqrt{-1} ว่า ii หน้านี้จะนิยามจำนวนเชิงซ้อน แล้วฝึกบวก ลบ คูณ หาร ให้คล่องเหมือนพหุนาม เพราะทุกหน้าที่เหลือในบทต้องใช้

หน่วยจินตภาพและรูป a + bi

นิยาม

กำหนด i2=−1i^2=-1 จำนวนเชิงซ้อนเขียนเป็น z=a+biz=a+bi โดย a,ba,b เป็นจำนวนจริง ส่วนจริงคือ aa และส่วนจินตภาพคือ bb จำนวนสองจำนวนเท่ากันเมื่อส่วนจริงและส่วนจินตภาพเท่ากันแยกกัน

จำนวนเชิงซ้อนหนึ่งตัวประกอบด้วยจำนวนจริงสองตัว ตัวแรกบอกว่ามีส่วนที่เป็นจำนวนจริงเท่าไร ตัวที่สองบอกว่ามี ii อยู่กี่เท่า เช่น 3−2i3 - 2i มีส่วนจริง 33 และส่วนจินตภาพ −2-2 หนังสือบางเล่มเขียนว่า Re⁡(z)=3\operatorname{Re}(z) = 3 และ Im⁡(z)=−2\operatorname{Im}(z) = -2

จำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย เพราะเขียน 7=7+0i7 = 7 + 0i ได้ ระบบจำนวนจริงจึงอยู่ข้างในระบบจำนวนเชิงซ้อน ไม่ได้ถูกแทนที่ ส่วนจำนวนที่ส่วนจริงเป็นศูนย์และส่วนจินตภาพไม่เป็นศูนย์ เช่น 5i5i เรียกว่าจำนวนจินตภาพแท้

รากที่สองของจำนวนลบเขียนผ่าน ii ได้ทันที เมื่อ k>0k > 0 ให้ −k=ik\sqrt{-k} = i\sqrt{k} เช่น −25=5i\sqrt{-25} = 5i และ −8=22 i\sqrt{-8} = 2\sqrt{2}\,i ตรวจได้โดยยกกำลังสองกลับ (5i)2=25i2=−25(5i)^2 = 25i^2 = -25 ควรเปลี่ยนเป็นรูปนี้ก่อนทำอย่างอื่นทุกครั้ง เหตุผลอยู่ในกล่องข้างล่าง

ลองคิดก่อน

เพื่อนคำนวณ −4⋅−9=(−4)(−9)=36=6\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-9} = \sqrt{(-4)(-9)} = \sqrt{36} = 6 ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก กฎ ab=ab\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab} จากหน้า 35.2 ใช้ได้เมื่อ aa และ bb ไม่ติดลบเท่านั้น ถ้าดึง ii ออกจากรากก่อนจะได้ −4⋅−9=(2i)(3i)=6i2=−6\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-9} = (2i)(3i) = 6i^2 = -6 คำตอบที่ถูกเป็น −6-6 ต่างจากของเพื่อนคนละเครื่องหมาย จึงต้องเปลี่ยน −k\sqrt{-k} เป็น iki\sqrt{k} ก่อนคูณเสมอ

ลองคิดก่อน

ส่วนจินตภาพของ 4−3i4-3i คือ −3i-3i หรือ −3-3

ดูคำตอบ

ส่วนจินตภาพตามนิยามเป็นจำนวนจริง คือ −3-3 ส่วนพจน์จินตภาพคือ −3i-3i อย่าสับสนคำสองคำนี้ แบบฝึกหัดที่ถามส่วนจินตภาพต้องตอบเป็นจำนวนจริงที่ไม่มี ii ติดมา

บวก ลบ และคูณแบบพหุนาม

ให้มอง ii เหมือนตัวแปรตัวหนึ่ง การบวกและลบคือรวมพจน์ที่เป็นชนิดเดียวกัน ส่วนจริงรวมกับส่วนจริง ส่วนจินตภาพรวมกับส่วนจินตภาพ เหมือนรวม 2x2x กับ 5x5x ในบทพหุนาม การคูณคือกระจายทุกพจน์ให้ครบ แล้วจุดเดียวที่ต่างจากพหุนามคือต้องแทน i2=−1i^2 = -1 ทุกครั้งที่เจอ พจน์ที่มี i2i^2 จึงย้ายไปอยู่ฝั่งส่วนจริงพร้อมเปลี่ยนเครื่องหมาย

ถ้าทำแบบนี้กับตัวทั่วไปจะได้ (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i(a+bi)(c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i ไม่จำเป็นต้องท่องสูตรนี้ เพราะกระจายเองได้เร็วกว่าและพลาดน้อยกว่า

ตัวอย่าง 1

คำนวณ (4−2i)+(1+5i)(4 - 2i) + (1 + 5i) และ (4−2i)−(1+5i)(4 - 2i) - (1 + 5i)

  1. ผลบวก รวมส่วนจริง 4+1=54 + 1 = 5 และรวมส่วนจินตภาพ −2+5=3-2 + 5 = 3 ได้ 5+3i5 + 3i
  2. ผลลบ ต้องกระจายเครื่องหมายลบให้ทั้งสองพจน์ในวงเล็บหลัง ได้ 4−2i−1−5i4 - 2i - 1 - 5i ขั้นนี้พลาดกันบ่อย ถ้าลบแค่ 11 แต่ลืมลบ 5i5i จะได้ 3+3i3 + 3i ซึ่งผิด
  3. รวมพจน์ ส่วนจริง 4−1=34 - 1 = 3 ส่วนจินตภาพ −2−5=−7-2 - 5 = -7 ได้ 3−7i3 - 7i

ตัวอย่าง 2

คูณ (2+3i)(1−i)(2+3i)(1-i)

  1. กระจายทีละพจน์เหมือนคูณ (2+3x)(1−x)(2 + 3x)(1 - x) ได้ 2−2i+3i−3i22 - 2i + 3i - 3i^2
  2. แทน i2=−1i^2 = -1 พจน์ −3i2-3i^2 กลายเป็น +3+3 ซึ่งเป็นจำนวนจริง
  3. รวมส่วนจริง 2+3=52 + 3 = 5 และส่วนจินตภาพ −2+3=1-2 + 3 = 1 ได้ 5+i5+i

สังยุคและการหาร

สังยุค ของ z=a+biz = a + bi คือ zˉ=a−bi\bar z = a - bi เปลี่ยนเครื่องหมายเฉพาะส่วนจินตภาพ ส่วนจริงคงเดิม สมบัติที่ทำให้สังยุคมีประโยชน์คือผลคูณกับตัวเอง

zzˉ=(a+bi)(a−bi)=a2−(bi)2=a2+b2z\bar z = (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 + b^2

ผลคูณนี้เป็นจำนวนจริงที่ไม่ติดลบเสมอ และเป็นศูนย์เมื่อ z=0z = 0 เท่านั้น เช่น (3+2i)(3−2i)=9+4=13(3 + 2i)(3 - 2i) = 9 + 4 = 13 ไม่มี ii เหลือเลย

การหารจึงใช้สังยุคของตัวส่วนคูณทั้งเศษและส่วน ตัวส่วนจะกลายเป็นจำนวนจริง แล้วแยกหารทีละพจน์ได้ วิธีนี้คล้ายการทำตัวส่วนให้ไม่มีกรณฑ์ในหน้า 35.2 ที่คูณด้วยคู่ a−b\sqrt{a} - \sqrt{b} การคูณทั้งเศษและส่วนด้วยจำนวนเดียวกันคือคูณด้วยหนึ่ง ค่าของเศษส่วนจึงไม่เปลี่ยน ทำได้เมื่อตัวส่วนไม่เป็นศูนย์

ตัวอย่าง 3

เขียน 3+2i1−i\dfrac{3 + 2i}{1 - i} ในรูป a+bia+bi

  1. ตัวส่วนคือ 1−i1 - i สังยุคคือ 1+i1 + i คูณทั้งเศษและส่วนด้วย 1+i1 + i
  2. ตัวส่วน (1−i)(1+i)=12+12=2(1-i)(1+i) = 1^2 + 1^2 = 2 เป็นจำนวนจริงตามที่ต้องการ
  3. ตัวเศษ (3+2i)(1+i)=3+3i+2i+2i2=1+5i(3 + 2i)(1 + i) = 3 + 3i + 2i + 2i^2 = 1 + 5i
  4. ได้ 1+5i2\dfrac{1 + 5i}{2} แยกหารทั้งสองพจน์ให้อยู่ในรูป a+bia + bi ได้ 12+52i\tfrac{1}{2} + \tfrac{5}{2}i
  5. ตรวจโดยคูณกลับ (12+52i)(1−i)=12−12i+52i−52i2=3+2i\left(\tfrac{1}{2} + \tfrac{5}{2}i\right)(1 - i) = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2}i + \tfrac{5}{2}i - \tfrac{5}{2}i^2 = 3 + 2i ตรงกับตัวเศษเดิม

ถ้าเปลี่ยนตัวเศษเป็น 3+i3 + i ทำแบบเดียวกันจะได้ตัวเศษ (3+i)(1+i)=2+4i(3 + i)(1 + i) = 2 + 4i หารด้วย 22 ได้ 3+i1−i=1+2i\dfrac{3+i}{1-i} = 1 + 2i ลองทำเองแล้วเทียบ

กำลังของ i และการเทียบส่วน

ไล่กำลังของ ii ทีละขั้น i1=ii^1 = i แล้ว i2=−1i^2 = -1 แล้ว i3=i2⋅i=−ii^3 = i^2 \cdot i = -i แล้ว i4=(i2)2=1i^4 = (i^2)^2 = 1 พอถึง i5=i4⋅i=ii^5 = i^4 \cdot i = i ก็วนกลับมาที่เดิม กำลังของ ii จึงวนเป็น i,−1,−i,1i,-1,-i,1 แล้วเริ่มใหม่ทุกสี่ขั้น หากำลังสูงๆ ได้โดยหารเลขชี้กำลังด้วยสี่แล้วดูเศษ เพราะ i4q+r=(i4)q ir=iri^{4q + r} = (i^4)^q\, i^r = i^r

ความเท่ากันของจำนวนเชิงซ้อนให้สมการสองสมการเสมอ คือส่วนจริงเท่ากันและส่วนจินตภาพเท่ากัน การแก้สมการเชิงซ้อนที่มีตัวแปรจริงให้แยกส่วนจริงกับส่วนจินตภาพ ไม่รวมเป็นสมการเดียวที่ตัดสินตัวแปรได้ไม่ครบ ถ้าตัวแปรไม่ได้ระบุว่าเป็นจริง การแยกสัมประสิทธิ์แบบนี้ต้องระวังเพราะตัวแปรอาจมีส่วนจินตภาพของตนเอง

ตัวอย่าง 4

หา a,ba,b ที่เป็นจำนวนจริงเมื่อ (a+2)+(b−1)i=5+3i(a+2)+(b-1)i=5+3i และหา i27i^{27}

  1. aa และ bb เป็นจำนวนจริง a+2a + 2 จึงเป็นส่วนจริงของข้างซ้าย และ b−1b - 1 เป็นส่วนจินตภาพ
  2. เทียบส่วนจริงได้ a+2=5a+2=5 จึง a=3a=3
  3. เทียบส่วนจินตภาพได้ b−1=3b-1=3 จึง b=4b=4
  4. 27=4(6)+327 = 4(6) + 3 หารสี่เหลือสาม จึงได้ i27=(i4)6⋅i3=i3=−ii^{27} = (i^4)^6 \cdot i^3 = i^3 = -i

ตัวอย่าง 5

หาจำนวนเชิงซ้อน zz ที่ทำให้ (2+i)z=5(2 + i)z = 5

  1. วิธีแรก มองเป็นสมการเชิงเส้น หารทั้งสองข้างด้วย 2+i2 + i ซึ่งไม่เป็นศูนย์ ได้ z=52+iz = \dfrac{5}{2 + i}
  2. คูณเศษและส่วนด้วยสังยุค 2−i2 - i ตัวส่วนเป็น (2+i)(2−i)=4+1=5(2 + i)(2 - i) = 4 + 1 = 5 ได้ z=5(2−i)5=2−iz = \dfrac{5(2 - i)}{5} = 2 - i
  3. วิธีที่สอง ให้ z=a+biz = a + bi เมื่อ a,ba, b จริง กระจายข้างซ้ายได้ (2+i)(a+bi)=(2a−b)+(a+2b)i(2 + i)(a + bi) = (2a - b) + (a + 2b)i
  4. ข้างขวาคือ 5+0i5 + 0i เทียบส่วนจริงได้ 2a−b=52a - b = 5 และเทียบส่วนจินตภาพได้ a+2b=0a + 2b = 0 แก้ระบบได้ a=2a = 2 และ b=−1b = -1 ตรงกับวิธีแรก
  5. ตรวจ (2+i)(2−i)=5(2 + i)(2 - i) = 5 ถูกต้อง

วิธีแรกสั้นกว่าเมื่อตัวไม่รู้ถูกคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อนตัวเดียว วิธีที่สองใช้ได้กว้างกว่า เช่นสมการที่มีทั้ง zz และ zˉ\bar z ซึ่งหารตรงๆ ไม่ได้

ตรวจวิธีคิด

เขียนคำตอบสุดท้ายเป็นส่วนจริงบวกส่วนจินตภาพคูณ i เสมอเพื่อเห็นเครื่องหมายชัด การใช้กำลังวนช่วยคำนวณเร็วแต่ไม่เปลี่ยนนิยามพื้นฐาน i กำลังสองเท่ากับลบหนึ่ง

สรุป

  • i2=−1i^2 = -1 และ −k=ik\sqrt{-k} = i\sqrt{k} เมื่อ k>0k > 0 ดึง ii ออกจากรากก่อนคูณ
  • บวกลบด้วยการรวมพจน์ชนิดเดียวกัน คูณด้วยการกระจายเหมือนพหุนามแต่ลดกำลังด้วย i2=−1i^2=-1
  • สังยุคเปลี่ยนเครื่องหมายหน้าส่วนจินตภาพ และ zzˉ=a2+b2z\bar z = a^2 + b^2 เป็นจำนวนจริง
  • หารด้วยการคูณเศษและส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน ตัวส่วนต้องไม่เป็นศูนย์
  • กำลังของ ii วนทุกสี่ขั้น และความเท่ากันให้สองสมการ

หน้าถัดไปจะวาง a+bia + bi เป็นจุด (a,b)(a, b) บนระนาบ แล้วจะเห็นว่าการบวกคือการเลื่อน และขนาดของจำนวนเชิงซ้อนคือระยะ