2.3 สร้างและแบ่งครึ่งมุม

ไม้โปรแทรกเตอร์มีขีดทุก 1 องศา ขีดเล็กจนอ่านพลาดได้ง่าย และถ้าวางจุดกึ่งกลางของไม้ไม่ตรงจุดยอดมุม ค่าที่อ่านได้ก็คลาดไปอีก หน้านี้จะสร้างมุมโดยไม่อ่านค่าองศาเลย ใช้วงเวียนจับ "ความกว้างของปากมุม" ไปวางที่อื่นแทน

สร้างมุมให้มีขนาดเท่ากับมุมที่กำหนด

มุมจะกว้างหรือแคบดูได้จากระยะระหว่างแขนทั้งสอง ถ้าเขียนส่วนโค้งรัศมีเท่ากันจากจุดยอด มุมที่กว้างกว่าจะได้ระยะระหว่างจุดตัดบนแขนยาวกว่า วงเวียนจึงใช้ถ่ายระยะนี้ไปสร้างมุมใหม่ได้

เหตุผลคือรูปสามเหลี่ยม $BPQ$ กับ $ERS$ มีด้านยาวเท่ากันทั้งสามคู่ คือ $BP = ER$ $BQ = ES$ และ $PQ = RS$ รูปสามเหลี่ยมที่ด้านยาวเท่ากันทุกคู่มีรูปร่างเหมือนกันทุกอย่าง มุมที่ $B$ กับมุมที่ $E$ จึงเท่ากัน บทที่ 17 จะพิสูจน์เรื่องนี้อย่างเป็นขั้นตอน

แบ่งครึ่งมุม

เลื่อนแถบขั้นที่ดูทีละขั้น แล้วเปลี่ยนขนาดมุม สังเกตว่าส่วนโค้งในขั้นที่ 2 และ 3 ต้องใช้รัศมีเท่ากันเสมอ

ทำไมได้ครึ่งมุมพอดี ขั้นที่ 1 ทำให้ $BP = BQ$ ขั้นที่ 2 และ 3 ทำให้ $PR = QR$ ถ้าพับกระดาษตาม $\overrightarrow{BR}$ จุด $P$ จะทับจุด $Q$ พอดี แขน $\overrightarrow{BA}$ จึงทับแขน $\overrightarrow{BC}$ และมุมสองข้างของรอยพับเท่ากัน

มุม 60 องศา

มุมขนาดพิเศษที่สร้างได้โดยไม่ต้องมีมุมต้นแบบ คือ $60^\circ$ ซึ่งได้จากรูปสามเหลี่ยมที่ด้านยาวเท่ากันทั้งสามด้าน

เหตุผลคือ $AC = AB$ เพราะ $C$ อยู่บนส่วนโค้งรอบ $A$ และ $BC = BA$ เพราะ $C$ อยู่บนส่วนโค้งรอบ $B$ รูปสามเหลี่ยม $ABC$ จึงมีด้านยาวเท่ากันทั้งสามด้าน เรียกว่ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่า มุมทั้งสามมีขนาดเท่ากัน และมุมภายในรูปสามเหลี่ยมรวมกันได้ $180^\circ$ แต่ละมุมจึงเท่ากับ $180^\circ \div 3 = 60^\circ$

ข้อ 2 กับข้อ 3 ใช้ความจริงที่ว่ามุมบนเส้นตรงที่อยู่ติดกันรวมกันได้ $180^\circ$ เสมอ เรียกมุม $180^\circ$ ว่ามุมตรง ใช้เรื่องนี้แปลงมุมเล็กเป็นมุมใหญ่ได้ทุกครั้ง

สรุป

• สร้างมุมให้เท่ามุมที่กำหนด ด้วยการถ่ายรัศมีจากจุดยอดและถ่ายระยะ $PQ$ ระหว่างแขน
• แบ่งครึ่งมุม ส่วนโค้งจากจุดยอดใช้รัศมีใดก็ได้ แต่ส่วนโค้งจาก $P$ และ $Q$ ต้องใช้รัศมีเท่ากัน
• มุม $60^\circ$ ได้จากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า แบ่งครึ่งต่อได้ $30^\circ$ และ $15^\circ$
• มุมที่ติดกันบนเส้นตรงรวมกันได้ $180^\circ$ จึงได้ $120^\circ$ $150^\circ$ $165^\circ$ จากมุมเล็ก