45.1 ลำดับเลขคณิตและเรขาคณิต

นั่งแท็กซี่ไปโรงเรียน มิเตอร์เริ่มที่ $35$ บาท แล้วเพิ่มทุกกิโลเมตรเท่าเดิม ส่วนเชื้อแบคทีเรียในจานเพาะเลี้ยงเพิ่มเป็นสองเท่าทุก $20$ นาที ทั้งสองเรื่องเป็นตัวเลขที่เรียงต่อกันทีละขั้น แต่โตต่างกันมาก ค่าแท็กซี่โตด้วยการบวก ส่วนแบคทีเรียโตด้วยการคูณ หน้านี้จะแยกสองแบบนี้ออกจากกัน และหาพจน์ที่ต้องการได้โดยไม่ต้องไล่ทีละขั้น

ตัวเลขที่เรียงเป็นแถว

สมมติมิเตอร์คิด $35$ บาทสำหรับกิโลเมตรแรก แล้วเพิ่มกิโลเมตรละ $7$ บาท และแบคทีเรียเริ่มที่ $300$ เซลล์ เพิ่มเป็นสองเท่าทุก $20$ นาที เขียนค่าเรียงกันได้ดังนี้

แถวบนเพิ่มทีละ $7$ เท่ากันทุกขั้น แถวล่างคูณ $2$ ทุกขั้น ผลต่างของแถวล่างคือ $300, 600, 1200, 2400$ ไม่คงที่ ตัวเลขที่เรียงกันเป็นแถวแบบนี้เรียกว่าลำดับ

ถ้าโดเมนเป็น $\{1, 2, \ldots, n\}$ เรียกว่าลำดับจำกัด ถ้าโดเมนเป็นจำนวนเต็มบวกทั้งหมดเรียกว่าลำดับอนันต์ สูตรที่บอกพจน์ที่ $n$ ได้ทันทีเรียกว่าพจน์ทั่วไป เช่น $a_n = 2n + 1$ แทน $n = 1, 2, 3$ ได้ $3, 5, 7$ ตามลำดับ $a_2$ แปลว่าพจน์ที่สอง ไม่ใช่ $a$ คูณ $2$

ลำดับเลขคณิต บวกเท่ากันทุกขั้น

ที่มาของ $n - 1$ ดูจากค่าแท็กซี่ กิโลเมตรแรกจ่าย $35$ บาท กิโลเมตรที่สองบวก $7$ หนึ่งครั้ง กิโลเมตรที่สามบวกสองครั้ง จึงเห็นว่าพจน์ที่ $n$ บวก $d$ ไป $n-1$ ครั้ง เพราะพจน์แรกยังไม่ได้บวกเลย ความผิดที่เจอบ่อยคือเขียน $a_1 + nd$ ซึ่งเกินไปหนึ่งขั้น

ลำดับเรขาคณิต คูณเท่ากันทุกขั้น

ลำดับเรขาคณิตหาอัตราส่วนร่วมจากการหาร $r = a_{n+1}/a_n$ ทุกคู่ต้องได้ค่าเดียวกัน เหตุผลเรื่อง $n-1$ เหมือนเดิม พจน์ที่ $n$ ผ่านการคูณ $r$ ไป $n-1$ ครั้ง จึงได้ $a_1r^{n-1}$ ไม่ใช่ $a_1r^n$

อัตราส่วนร่วมเป็นลบหรือเป็นเศษส่วนก็ได้ เช่น $8, -4, 2, -1, \ldots$ มี $r = -\tfrac{1}{2}$ พจน์สลับเครื่องหมายและขนาดเล็กลงเรื่อยๆ ส่วน $r = 0$ ไม่นับ เพราะหารหาอัตราส่วนจากพจน์ที่เป็นศูนย์ไม่ได้

ตรวจชนิดของลำดับ

ก่อนใช้สูตร ต้องแน่ใจว่าลำดับเป็นชนิดนั้นจริง ตรวจผลต่างทุกคู่ที่มี ถ้าคงที่เป็นเลขคณิต ถ้าไม่คงที่ให้ลองหารทุกคู่ ถ้าคงที่เป็นเรขาคณิต ถ้าไม่ใช่ทั้งสองแบบก็ใช้สูตรในหน้านี้ไม่ได้

กราฟของลำดับเป็นจุด ไม่ใช่เส้น

ลองตั้งผลต่างร่วมเป็นศูนย์ จุดทั้งหมดจะมีความสูงเท่ากัน เปลี่ยนเป็นลบหนึ่งแล้วอธิบายว่าทำไมจุดลดลงแต่ยังไม่ควรลากเส้นเชื่อมเป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนทุกจำนวนจริง

จุดของลำดับเลขคณิตเรียงอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน เพราะ $a_n = dn + (a_1 - d)$ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของ $n$ ความชันคือ $d$ ส่วนจุดของลำดับเรขาคณิตที่ $r$ มากกว่าหนึ่งจะเรียงตามเส้นโค้งเอกซ์โพเนนเชียลแบบในบทที่ 37 และชันขึ้นเรื่อยๆ

ย้อนจากสองพจน์หาแบบจำลอง

เมื่อโจทย์บอกชนิดลำดับแน่นอน พจน์สองตำแหน่งช่วยหาผลต่างหรืออัตราส่วนได้โดยนับจำนวนช่องระหว่างตำแหน่ง อย่าใช้ผลต่างของค่าหารด้วยตำแหน่งสุดท้ายโดยตรง เพราะช่วงเริ่มนับจากตำแหน่งที่ให้ ไม่ใช่จากศูนย์ หากไม่บอกชนิดลำดับ สองค่าจะยังไม่กำหนดสูตรเพียงสูตรเดียว

ถ้าช่องระหว่างสองพจน์เป็นจำนวนคู่ เช่นรู้ $a_2 = 12$ กับ $a_4 = 3$ จะได้ $r^2 = \tfrac{1}{4}$ ซึ่งมีทั้ง $r = \tfrac12$ และ $r = -\tfrac12$ ต้องตอบทั้งสองลำดับ เว้นแต่โจทย์บอกว่าทุกพจน์เป็นบวก

สรุป

• เลขคณิตดูผลต่าง เรขาคณิตดูอัตราส่วน ต้องคงที่ทุกคู่ ไม่ใช่แค่คู่แรก
• พจน์ที่ n ผ่านการเปลี่ยนจากพจน์แรก n ลบหนึ่งครั้ง
• ระบุโดเมนและตำแหน่งพจน์ให้ชัด โดยเฉพาะเมื่อพจน์แรกคือตอนเริ่มต้น
• รู้สองพจน์ ให้นับช่องระหว่างตำแหน่ง แล้วหาผลต่างหรืออัตราส่วน

หน้าถัดไปจะไม่ถามพจน์เดียวแล้ว แต่ถามผลรวมของทุกพจน์ เช่นที่นั่งทั้งโรงละคร หรือเงินที่ออมได้ทั้งปี