38.5 พาราโบลา

จานรับสัญญาณดาวเทียมบนหลังคาบ้านมีหัวรับสัญญาณยื่นออกมาตรงกลาง คลื่นจากดาวเทียมที่อยู่ไกลมากเดินทางมาเป็นแนวขนานกัน กระทบผิวจานแล้วสะท้อนไปรวมที่หัวรับจุดเดียว ไฟหน้ารถทำกลับกัน หลอดไฟอยู่ที่จุดพิเศษจุดนั้น แสงสะท้อนผิวโคมออกไปเป็นลำขนาน รูปตัดของจานและโคมไฟทั้งสองแบบคือพาราโบลา และจุดพิเศษที่แสงรวมกันเรียกว่าโฟกัส

บทที่ 25 เรียกกราฟของ $y = ax^2 + bx + c$ ว่าพาราโบลา แต่ยังไม่ได้บอกว่าโฟกัสอยู่ที่ไหน หน้านี้จะนิยามพาราโบลาด้วยระยะ แล้วจะเห็นว่ากราฟในบทที่ 25 ทุกเส้นมีโฟกัสของตัวเอง

นิยามด้วยโฟกัสและไดเรกตริกซ์

นิยาม

พาราโบลา คือเซตของจุดทุกจุดบนระนาบที่อยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเท่ากับระยะห่างจากเส้นตรงคงที่เส้นหนึ่ง จุดคงที่เรียกว่าโฟกัส เส้นตรงคงที่เรียกว่าไดเรกตริกซ์ โดยโฟกัสไม่อยู่บนไดเรกตริกซ์

จุด P บนพาราโบลามี PF เท่ากับ PD เสมอ จุดยอด V อยู่กึ่งกลางระหว่าง F กับไดเรกตริกซ์

ทำไมต้องใช้เส้นตรงคู่กับจุด ถ้าใช้แค่จุดเดียวจะได้วงกลมแบบหน้าที่แล้ว การมีเส้นตรงเป็นตัวเทียบทำให้รูปเปิดออกไม่มีที่สิ้นสุด เพราะยิ่งจุดอยู่ไกล ระยะถึงโฟกัสกับระยะถึงเส้นตรงก็โตไปพร้อมกัน

จุดยอดอยู่บนเส้นที่ลากผ่านโฟกัสตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์ เส้นนี้คือแกนสมมาตร จุดยอดต้องห่างจากโฟกัสเท่ากับห่างจากไดเรกตริกซ์ จึงอยู่กึ่งกลางระหว่างสองสิ่งนี้พอดี ให้ $p$ แทนระยะจากจุดยอดถึงโฟกัสพร้อมเครื่องหมายบอกทิศ

หาสมการรูปมาตรฐาน

วางจุดยอดที่จุดกำเนิด โฟกัส $F(0, p)$ ไดเรกตริกซ์ $y = -p$ จุด $P(x, y)$ ห่างจากโฟกัส $\sqrt{x^2 + (y - p)^2}$ และห่างจากไดเรกตริกซ์ $|y + p|$ เพราะระยะจากจุดถึงเส้นแนวนอนคือผลต่างของพิกัด $y$ ตั้งให้เท่ากันแล้วยกกำลังสอง

$x^2 + (y - p)^2 = (y + p)^2$

กระจายได้ $x^2 + y^2 - 2py + p^2 = y^2 + 2py + p^2$ พจน์ $y^2$ และ $p^2$ ตัดกัน เหลือ

$x^2 = 4py$

ถ้าเขียนเป็น $y = \tfrac{1}{4p}x^2$ ก็คือ $y = ax^2$ ในหน้า 25.2 โดย $a = \tfrac{1}{4p}$ ดังนั้นกราฟ $y = x^2$ มีโฟกัสที่ $\left(0, \tfrac14\right)$ ยิ่ง $p$ ใหญ่ $a$ ยิ่งเล็ก พาราโบลายิ่งบาน ลองเลื่อน $p$ ในกราฟข้างล่าง แล้วเลื่อนจุด $P$ ไปตามเส้น สังเกตว่าความยาวสองเส้นเท่ากันตลอด

เส้นสีเขียวคือ PF เส้นสีม่วงคือระยะจาก P ถึงไดเรกตริกซ์

ถ้าเลื่อนจุดยอดไปที่ $(h, k)$ ทุกอย่างเลื่อนตามไปด้วย แบบเดียวกับการเลื่อนกราฟในหน้า 25.3

สมบัติ

$(x-h)^2=4p(y-k)$ มีจุดยอด $(h,k)$ โฟกัส $(h,k+p)$ ไดเรกตริกซ์ $y=k-p$ แกนสมมาตร $x = h$ ถ้า $p>0$ เปิดขึ้น ถ้า $p<0$ เปิดลง
$(y-k)^2=4p(x-h)$ มีจุดยอด $(h,k)$ โฟกัส $(h+p,k)$ ไดเรกตริกซ์ $x=h-p$ แกนสมมาตร $y = k$ ถ้า $p>0$ เปิดขวา ถ้า $p<0$ เปิดซ้าย

ตัวแปรที่ไม่ยกกำลังสองบอกแกนของรูป ถ้า $y$ ไม่ยกกำลังสอง รูปเปิดขึ้นหรือลงตามแกน $y$ ถ้า $x$ ไม่ยกกำลังสอง รูปเปิดซ้ายหรือขวา

เพื่อวาดให้ได้ความกว้างที่ถูก ให้ดูเส้นที่ผ่านโฟกัสขนานกับไดเรกตริกซ์ แทน $y = p$ ใน $x^2 = 4py$ ได้ $x = \pm 2p$ พาราโบลาจึงกว้าง $|4p|$ ที่ระดับโฟกัส ส่วนของเส้นตรงนี้เรียกว่าเลตัสเรกตัม ได้จุดเพิ่มอีกสองจุดสำหรับวาดกราฟโดยไม่ต้องแทนค่าเพิ่ม

อ่านค่าจากสมการ

ตัวอย่าง 1

หาโฟกัสและไดเรกตริกซ์ของ $(x-1)^2=8(y+2)$ แล้ววาดกราฟคร่าวๆ

เทียบกับ $(x - h)^2 = 4p(y - k)$ ได้ $h=1$ และ $k=-2$ เพราะ $y + 2 = y - (-2)$
$4p=8$ จึงได้ $p=2$ เป็นบวก และ $x$ ยกกำลังสอง กราฟจึงเปิดขึ้น
โฟกัสอยู่เหนือจุดยอด $2$ หน่วย คือ $(1,0)$ ไดเรกตริกซ์อยู่ใต้จุดยอด $2$ หน่วย คือ $y=-4$
ความกว้างที่ระดับโฟกัสคือ $|4p| = 8$ จึงได้จุด $(1 - 4, 0) = (-3, 0)$ และ $(5, 0)$ บนกราฟ ลากโค้งจากสองจุดนี้ผ่านจุดยอด $(1, -2)$

ลองคิดก่อน

ถ้า $4p=12$ ระยะจุดยอดถึงโฟกัสเท่ากับ $12$ หรือไม่

ดูคำตอบ

ไม่ใช่ $p=3$ จึงห่าง $3$ หน่วย สัมประสิทธิ์ในสมการเป็น $4p$ ต้องหารด้วยสี่ก่อน

พาราโบลาไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันของ $x$ ทั้งเส้น ถ้าตัวแปร $y$ ถูกยกกำลังสอง กราฟเปิดซ้ายหรือขวาและอาจมีสองค่า $y$ สำหรับ $x$ เดียว

ตัวอย่าง 2

อ่านจุดยอด โฟกัส และไดเรกตริกซ์ของ $(y-1)^2=-12(x+2)$

$y$ ยกกำลังสอง จึงเทียบกับ $(y-k)^2=4p(x-h)$ ได้ $h=-2$ $k=1$ และ $4p = -12$ จึงได้ $p=-3$
จุดยอด $(-2,1)$ โฟกัสเลื่อนไปตามแกน $x$ คือ $(h+p,k)=(-5,1)$
ไดเรกตริกซ์ $x=h-p=-2 + 3 = 1$ กราฟเปิดซ้ายเพราะ $p<0$

ตรวจด้วยจุดยอดซึ่งอยู่ห่างโฟกัสสามหน่วยและห่างไดเรกตริกซ์สามหน่วยเท่ากัน โฟกัสกับเส้นไดเรกตริกซ์อยู่คนละด้านของจุดยอดตามนิยามระยะ และพาราโบลาเปิดไปทางโฟกัสเสมอ ไม่เคยเปิดเข้าหาไดเรกตริกซ์

หาสมการจากโฟกัสและไดเรกตริกซ์

ตัวอย่าง 3

หาสมการพาราโบลาที่มีโฟกัส $(2, 3)$ และไดเรกตริกซ์ $y = -1$

ไดเรกตริกซ์เป็นเส้นนอน แกนสมมาตรจึงเป็นเส้นตั้ง $x = 2$ ที่ผ่านโฟกัส รูปจึงเป็น $(x - h)^2 = 4p(y - k)$
จุดยอดอยู่กึ่งกลางระหว่างโฟกัสกับไดเรกตริกซ์บนแกนสมมาตร พิกัด $y$ คือ $\tfrac{3 + (-1)}{2} = 1$ จุดยอดจึงเป็น $(2, 1)$
โฟกัสอยู่เหนือจุดยอด $2$ หน่วย จึงได้ $p = 2$ สมการคือ $(x - 2)^2 = 8(y - 1)$
ตรวจกับนิยาม จุด $(6, 3)$ อยู่บนกราฟเพราะ $16 = 8(2)$ ห่างโฟกัส $4$ หน่วยและห่างเส้น $y = -1$ อีก $4$ หน่วย เท่ากันจริง

ทำกำลังสองสมบูรณ์

ถ้าสมการกระจายมาแล้ว ให้ดูว่าตัวแปรไหนยกกำลังสอง เก็บพจน์ของตัวแปรนั้นไว้ข้างหนึ่ง ย้ายทุกอย่างที่เหลือไปอีกข้าง ทำกำลังสองสมบูรณ์ แล้วดึงสัมประสิทธิ์ของอีกตัวแปรออกมาเป็น $4p$

ตัวอย่าง 4

หาจุดยอด โฟกัส และไดเรกตริกซ์ของ $y^2 - 4y - 8x - 12 = 0$

มีแค่ $y$ ที่ยกกำลังสอง เก็บพจน์ $y$ ไว้ซ้าย $y^2 - 4y = 8x + 12$
ครึ่งหนึ่งของ $-4$ คือ $-2$ เติม $4$ ทั้งสองข้าง $(y - 2)^2 = 8x + 16$
ดึง $8$ ออกจากขวามือให้ $x$ อยู่ลำพังในวงเล็บ $(y - 2)^2 = 8(x + 2)$ ขั้นนี้สำคัญ ถ้าไม่ดึงจะอ่าน $h$ ผิดเป็น $-16$
จุดยอด $(-2, 2)$ และ $4p = 8$ ได้ $p = 2$ เปิดขวา โฟกัส $(0, 2)$ ไดเรกตริกซ์ $x = -4$

ตัวอย่าง 5

กราฟของ $y = x^2 - 4x + 3$ จากหน้า 25.3 มีโฟกัสอยู่ที่ใด

ย้ายค่าคงตัว $x^2 - 4x = y - 3$ แล้วเติม $4$ ทั้งสองข้าง $(x - 2)^2 = y + 1$
เทียบกับ $(x - h)^2 = 4p(y - k)$ ได้จุดยอด $(2, -1)$ ตรงกับที่หาไว้ในบทที่ 25 และ $4p = 1$ จึงได้ $p = \tfrac14$
โฟกัส $\left(2, -1 + \tfrac14\right) = \left(2, -\tfrac34\right)$ ไดเรกตริกซ์ $y = -1 - \tfrac14 = -\tfrac54$

ลองคิดก่อน

เพื่อนบอกว่า $y = 2x^2$ มีโฟกัสที่ $\left(0, \tfrac12\right)$ เพราะ $4p = 2$ ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก สมการยังไม่อยู่ในรูป $x^2 = 4py$ ต้องให้ $x^2$ อยู่ลำพังก่อน หารสองได้ $x^2 = \tfrac12 y$ จึงได้ $4p = \tfrac12$ และ $p = \tfrac18$ โฟกัสอยู่ที่ $\left(0, \tfrac18\right)$ ตรวจด้วย $a = \tfrac{1}{4p} = \tfrac{1}{1/2} = 2$ ตรงกับสมการเดิม

จานรับสัญญาณ

ตัวอย่าง 6

จานรับสัญญาณดาวเทียมกว้าง $60$ เซนติเมตร ลึก $10$ เซนติเมตร ต้องติดหัวรับสัญญาณห่างจากก้นจานเท่าไร

วางจุดยอดของจานไว้ที่จุดกำเนิด เปิดขึ้น สมการจึงเป็น $x^2 = 4py$ เลือกแบบนี้เพราะสมการสั้นที่สุด
ขอบจานอยู่ห่างแกน $30$ เซนติเมตร (ครึ่งหนึ่งของความกว้าง) และสูงจากก้น $10$ เซนติเมตร จุด $(30, 10)$ จึงอยู่บนพาราโบลา
แทนค่า $900 = 4p(10) = 40p$ ได้ $p = 22.5$
หัวรับสัญญาณต้องอยู่ที่โฟกัส ห่างจากก้นจาน $22.5$ เซนติเมตร ซึ่งอยู่สูงกว่าขอบจาน เพราะจานนี้ตื้น

หน้าถัดไปจะใช้จุดคงที่สองจุดแทนจุดกับเส้น ผลบวกระยะถึงสองโฟกัสคงที่ให้วงรี ซึ่งเป็นรูปของวงโคจรดาวเคราะห์

สรุป

พาราโบลาคือจุดที่ห่างจากโฟกัสเท่ากับห่างจากไดเรกตริกซ์ จุดยอดอยู่กึ่งกลางระหว่างสองสิ่งนี้
$(x - h)^2 = 4p(y - k)$ เปิดขึ้นลง $(y - k)^2 = 4p(x - h)$ เปิดซ้ายขวา ตามเครื่องหมายของ $p$
พาราโบลาต้องแยก $p$ ออกจาก $4p$ และให้ตัวแปรกำลังสองอยู่ลำพังก่อนอ่านค่า
กว้าง $|4p|$ ที่ระดับโฟกัส ใช้หาจุดเพิ่มตอนวาดกราฟ
กราฟ $y = ax^2$ ในบทที่ 25 คือพาราโบลาที่มี $p = \tfrac{1}{4a}$