8.1 คู่อันดับและระบบพิกัดฉาก

บัตรเข้าห้องสอบเขียนว่า แถวที่ 3 ที่นั่งที่ 5 ถ้าเดินไปนั่งแถวที่ 5 ที่นั่งที่ 3 ก็นั่งผิดที่ ทั้งที่ใช้ตัวเลขชุดเดียวกัน ตัวเลขสองตัวนี้จึงต้องบอกด้วยว่าตัวไหนมาก่อน ตัวไหนมาทีหลัง การจับตัวเลขสองตัวเป็นคู่โดยถือว่าลำดับสำคัญแบบนี้ คือเรื่องแรกของบทนี้

คู่อันดับ

นิยาม

คู่อันดับ (ordered pair) เขียนว่า $(a, b)$ ประกอบด้วยสมาชิกสองตัว $a$ เป็นสมาชิกตัวหน้า และ $b$ เป็นสมาชิกตัวหลัง

คู่อันดับสองคู่เท่ากัน ก็ต่อเมื่อสมาชิกตัวหน้าเท่ากัน และสมาชิกตัวหลังเท่ากัน คือ $(a, b) = (c, d)$ ก็ต่อเมื่อ $a = c$ และ $b = d$

ที่นั่งสอบเขียนเป็นคู่อันดับได้ว่า $(3, 5)$ โดยตกลงกันว่าตัวหน้าคือแถว ตัวหลังคือที่นั่ง ส่วน $(5, 3)$ คือที่นั่งอีกตัวหนึ่ง

ลองคิดก่อน

$(3, 5)$ กับ $(5, 3)$ เท่ากันไหม เพื่อนบอกว่าเท่ากัน เพราะมีเลข 3 กับ 5 เหมือนกัน

ดูคำตอบ

ไม่เท่ากัน สมาชิกตัวหน้าของคู่แรกคือ $3$ แต่ของคู่ที่สองคือ $5$ ซึ่ง $3 \neq 5$ ตามนิยามจึงไม่เท่ากัน เพื่อนกำลังคิดแบบเซต ซึ่งไม่สนลำดับ เซต $\{3, 5\}$ กับ $\{5, 3\}$ เท่ากัน แต่คู่อันดับสนลำดับเสมอ

ตัวอย่าง 1

ถ้า $(x + 2, 9) = (5, 2y - 1)$ จงหาค่า $x$ และ $y$

สมาชิกตัวหน้าต้องเท่ากัน $x + 2 = 5$ จึงได้ $x = 3$
สมาชิกตัวหลังต้องเท่ากัน $9 = 2y - 1$ บวก $1$ ทั้งสองข้างได้ $10 = 2y$ จึงได้ $y = 5$
ตรวจคำตอบ แทนกลับได้ $(3 + 2, 9) = (5, 9)$ และ $(5, 2(5) - 1) = (5, 9)$ เท่ากันจริง

ข้อผิดพลาดที่เจอบ่อยคือจับคู่ข้ามตำแหน่ง เช่นเขียน $x + 2 = 2y - 1$ ตัวหน้าต้องคู่กับตัวหน้า ตัวหลังต้องคู่กับตัวหลังเท่านั้น

ระบบพิกัดฉาก

คู่อันดับของจำนวนใช้บอกตำแหน่งของจุดบนแผ่นกระดาษได้ ด้วยการวางเส้นจำนวนสองเส้นให้ตั้งฉากกันที่ตำแหน่งศูนย์

เส้นจำนวนแนวนอนเรียกว่าแกน $x$ ทางขวาของศูนย์เป็นบวก ทางซ้ายเป็นลบ
เส้นจำนวนแนวตั้งเรียกว่าแกน $y$ ด้านบนของศูนย์เป็นบวก ด้านล่างเป็นลบ
จุดที่แกนทั้งสองตัดกันเรียกว่าจุดกำเนิด (origin) แทนด้วยคู่อันดับ $(0, 0)$

ระบบนี้เรียกว่าระบบพิกัดฉาก ทุกจุดบนระนาบแทนด้วยคู่อันดับ $(x, y)$ ได้คู่เดียว เรียก $x$ ว่าพิกัด $x$ และเรียก $y$ ว่าพิกัด $y$ ของจุดนั้น

วิธีหาจุด (x, y)

เริ่มที่จุดกำเนิด
เดินตามแนวแกน $x$ ตามค่า $x$ บวกไปทางขวา ลบไปทางซ้าย
จากตรงนั้นเดินตามแนวแกน $y$ ตามค่า $y$ บวกขึ้น ลบลง

ตัวอย่าง 2

บอกวิธีเดินจากจุดกำเนิดไปหาจุด $A(4, -1)$ $B(-2, -3)$ และ $C(0, 5)$

$A(4, -1)$ เดินไปทางขวา $4$ หน่วย แล้วลงมา $1$ หน่วย
$B(-2, -3)$ เดินไปทางซ้าย $2$ หน่วย แล้วลงมา $3$ หน่วย
$C(0, 5)$ พิกัด $x$ เป็น $0$ จึงไม่ต้องเดินซ้ายขวา ขึ้นไป $5$ หน่วยตามแกน $y$ จุด $C$ จึงอยู่บนแกน $y$ พอดี

ลองคิดก่อน

เพื่อนจะหาจุด $(2, -3)$ จึงเริ่มจากจุดกำเนิด เดินขึ้นไป $2$ หน่วย แล้วไปทางซ้าย $3$ หน่วย ได้จุดที่ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก เพื่อนอ่านตัวหน้าเป็นการเดินขึ้นลง ซึ่งสลับกัน จุดที่เพื่อนได้คือ $(-3, 2)$ ที่ถูกต้องเดินไปทางขวา $2$ หน่วยก่อน เพราะตัวหน้าคือพิกัด $x$ แล้วจึงลง $3$ หน่วย จำไว้ว่าตัวหน้าคุมซ้ายขวา ตัวหลังคุมขึ้นลง

จตุภาค

แกนทั้งสองแบ่งระนาบออกเป็นสี่ส่วน เรียกแต่ละส่วนว่าจตุภาค (quadrant) นับเป็นจตุภาคที่ 1 ถึง 4 ทวนเข็มนาฬิกา เริ่มจากส่วนขวาบน

ลากจุดสีส้มไปที่ต่างๆ เส้นประบอกว่าจุดอยู่ห่างแกนแต่ละแกนเท่าไร สังเกตเครื่องหมายของพิกัดในแต่ละจตุภาค

ลองลากจุดไปที่ $(0, -4)$ แล้วดูว่าอยู่ในจตุภาคใด

ตำแหน่ง	พิกัด $x$	พิกัด $y$	ตัวอย่าง
จตุภาคที่ 1	บวก	บวก	$(3, 2)$
จตุภาคที่ 2	ลบ	บวก	$(-3, 2)$
จตุภาคที่ 3	ลบ	ลบ	$(-3, -2)$
จตุภาคที่ 4	บวก	ลบ	$(3, -2)$
บนแกน $x$	ใดก็ได้	$0$	$(5, 0)$
บนแกน $y$	$0$	ใดก็ได้	$(0, -4)$

จุดบนแกนไม่อยู่ในจตุภาคใด

จตุภาคเป็นพื้นที่ระหว่างแกน ไม่รวมตัวแกน จุดที่มีพิกัดตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์ เช่น $(0, -4)$ หรือ $(5, 0)$ จึงไม่อยู่ในจตุภาคใดเลย จุดกำเนิดก็เช่นกัน

ตัวอย่าง 3

จุด $P(-5, 1)$ $Q(2, -7)$ $R(-1, 0)$ และ $S(-6, -6)$ อยู่ที่ใด

$P(-5, 1)$ พิกัด $x$ ลบ พิกัด $y$ บวก อยู่ในจตุภาคที่ 2
$Q(2, -7)$ พิกัด $x$ บวก พิกัด $y$ ลบ อยู่ในจตุภาคที่ 4
$R(-1, 0)$ พิกัด $y$ เป็นศูนย์ อยู่บนแกน $x$ ไม่อยู่ในจตุภาคใด
$S(-6, -6)$ ลบทั้งคู่ อยู่ในจตุภาคที่ 3

ระยะทางและพื้นที่จากพิกัด

ถ้าจุดสองจุดอยู่บนเส้นแนวนอนเดียวกัน พิกัด $y$ จะเท่ากัน ระยะห่างคือผลต่างของพิกัด $x$ เอาค่ามากลบค่าน้อย ถ้าอยู่บนเส้นแนวตั้งเดียวกัน ก็ใช้ผลต่างของพิกัด $y$ แบบเดียวกัน

ตัวอย่าง 4

จุด $A(-3, -2)$ $B(2, -2)$ $C(2, 2)$ และ $D(-3, 2)$ เป็นจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า จงหาพื้นที่

$A$ กับ $B$ มีพิกัด $y$ เท่ากันคือ $-2$ จึงอยู่บนเส้นแนวนอนเดียวกัน ด้าน $AB$ ยาว $2 - (-3) = 5$ หน่วย
$B$ กับ $C$ มีพิกัด $x$ เท่ากันคือ $2$ จึงอยู่บนเส้นแนวตั้งเดียวกัน ด้าน $BC$ ยาว $2 - (-2) = 4$ หน่วย
พื้นที่ $5 \times 4 = 20$ ตารางหน่วย

ลองคิดก่อน

ระยะห่างระหว่างจุด $(-3, 1)$ กับ $(4, 1)$ เท่ากับเท่าไร เพื่อนตอบว่า $4 - 3 = 1$ หน่วย

ดูคำตอบ

ไม่ใช่ $1$ เพื่อนลืมเครื่องหมายลบของ $-3$ ระยะห่างคือ $4 - (-3) = 7$ หน่วย นึกภาพบนแกน $x$ ก็ได้ จาก $-3$ ไปถึง $0$ คือ $3$ หน่วย จาก $0$ ไปถึง $4$ อีก $4$ หน่วย รวมเป็น $7$ หน่วย

สรุป

คู่อันดับ $(a, b)$ สนลำดับ $(a, b) = (c, d)$ ก็ต่อเมื่อ $a = c$ และ $b = d$
ระบบพิกัดฉากมีแกน $x$ แนวนอน แกน $y$ แนวตั้ง ตัดกันที่จุดกำเนิด $(0, 0)$
หาจุด $(x, y)$ ให้เดินซ้ายขวาตาม $x$ ก่อน แล้วขึ้นลงตาม $y$
จตุภาคที่ 1 ถึง 4 นับทวนเข็มนาฬิกาจากขวาบน จุดบนแกนไม่อยู่ในจตุภาคใด
จุดบนเส้นแนวนอนเดียวกัน ระยะห่างคือผลต่างของพิกัด $x$