18.2 เส้นขนานและมุมแย้ง

เขียนตัวอักษร Z ให้ขาบนกับขาล่างขนานกัน แล้วดูมุมแหลมสองมุมที่หักเลี้ยว มุมบนกับมุมล่างดูเท่ากันพอดี ไม่ว่าจะเขียน Z ให้เอียงมากหรือน้อย หน้านี้จะอธิบายว่าทำไม และใช้มุมคู่นี้แก้โจทย์ที่ใช้มุมภายในอย่างเดียวแล้วยาก

มุมแย้งคือมุมคู่ไหน

นิยาม

มุมแย้ง คือมุมภายในสองมุมที่อยู่คนละข้างของเส้นตัด และมีจุดยอดอยู่คนละจุด

ในรูปมุมแปดมุมจากหน้า 18.1 มุมแย้งมีสองคู่ คือ $\hat{3}$ กับ $\hat{6}$ และ $\hat{4}$ กับ $\hat{5}$

มุมแย้งสองคู่ คู่สีส้มกับคู่สีเขียว

มุมแย้งหาง่ายถ้ามองหารูปตัว Z เส้นขนานคือขาบนกับขาล่าง เส้นตัดคือเส้นทแยง มุมแย้งคือมุมด้านในที่หักเลี้ยวทั้งสองมุม คู่สีเขียวในรูปเป็นตัว Z ที่กลับด้าน ซึ่งก็ใช้ได้เหมือนกัน

ทำไมมุมแย้งจึงเท่ากัน

ใช้ทฤษฎีบทจากหน้า 18.1 ร่วมกับมุมตรง ให้ $\overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{CD}$ และ $\overleftrightarrow{EF}$ เป็นเส้นตัด

$\hat{3} + \hat{5} = 180^\circ$ เพราะเป็นมุมภายในที่อยู่บนข้างเดียวกันของเส้นตัด และเส้นทั้งสองขนานกัน
$\hat{5} + \hat{6} = 180^\circ$ เพราะ $\hat{5}$ กับ $\hat{6}$ ประกอบกันเป็นมุมตรงบน $\overleftrightarrow{CD}$
ทั้งสองบรรทัดเท่ากับ $180^\circ$ จึงได้ $\hat{3} + \hat{5} = \hat{5} + \hat{6}$
นำ $\hat{5}$ ลบออกทั้งสองข้าง ได้ $\hat{3} = \hat{6}$

ย้อนทางกลับก็ได้ ถ้ารู้ว่า $\hat{3} = \hat{6}$ จะได้ $\hat{3} + \hat{5} = \hat{6} + \hat{5} = 180^\circ$ ตามทฤษฎีบทข้อ 2 ของหน้า 18.1 เส้นทั้งสองจึงขนานกัน

ทฤษฎีบท

ถ้าเส้นตรงสองเส้นขนานกันและมีเส้นตัด แล้วมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน
ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง ทำให้มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน แล้วเส้นตรงคู่นั้นขนานกัน

ใช้มุมแย้งหาขนาดของมุม

ตัวอย่าง 1

กำหนดให้ $\overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{CD}$ มี $\hat{3} = (2x + 10)^\circ$ และ $\hat{6} = (3x - 25)^\circ$ หาค่า $x$ และขนาดของ $\hat{3}$

$\hat{3}$ กับ $\hat{6}$ เป็นมุมแย้ง และเส้นทั้งสองขนานกัน จึงมีขนาดเท่ากัน $2x + 10 = 3x - 25$
ย้ายข้าง $10 + 25 = 3x - 2x$ ได้ $x = 35$
$\hat{3} = 2(35) + 10 = 80^\circ$ ตรวจด้วย $\hat{6} = 3(35) - 25 = 80^\circ$ เท่ากันจริง

โจทย์บางข้อไม่มีเส้นตัดที่ผ่านเส้นขนานทั้งสองเส้นให้เห็น ต้องลากเส้นช่วยเอง

ตัวอย่าง 2

กำหนดให้ $\overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{CD}$ จุด $E$ อยู่ระหว่างเส้นทั้งสอง $B\hat{A}E = 40^\circ$ และ $D\hat{C}E = 30^\circ$ หาขนาดของ $A\hat{E}C$

มุม AEC อยู่ที่จุด E

$\overline{AE}$ กับ $\overline{CE}$ ต่างก็ตัดเส้นขนานแค่เส้นเดียว จึงยังใช้มุมแย้งไม่ได้ ลาก $\overleftrightarrow{EF}$ ผ่าน $E$ ให้ขนานกับ $\overleftrightarrow{AB}$ โดยให้ $F$ อยู่ทางซ้าย
$\overleftrightarrow{EF}$ ขนานกับ $\overleftrightarrow{AB}$ และ $\overleftrightarrow{AB}$ ขนานกับ $\overleftrightarrow{CD}$ จึงได้ $\overleftrightarrow{EF} \parallel \overleftrightarrow{CD}$ ด้วย
$\overleftrightarrow{AE}$ เป็นเส้นตัดของ $\overleftrightarrow{AB}$ กับ $\overleftrightarrow{EF}$ ได้มุมแย้ง $A\hat{E}F = B\hat{A}E = 40^\circ$
$\overleftrightarrow{CE}$ เป็นเส้นตัดของ $\overleftrightarrow{EF}$ กับ $\overleftrightarrow{CD}$ ได้มุมแย้ง $F\hat{E}C = D\hat{C}E = 30^\circ$
$A\hat{E}C = A\hat{E}F + F\hat{E}C = 40^\circ + 30^\circ = 70^\circ$

เส้นประ EF แบ่งมุม AEC เป็นสองส่วน แต่ละส่วนเท่ากับมุมแย้งของมัน

ผลที่ได้จำง่าย มุมที่จุดหักกลางระหว่างเส้นขนาน เท่ากับผลบวกของมุมที่ปลายทั้งสองข้าง แต่ไม่ควรจำเป็นสูตร เพราะถ้ารูปเปลี่ยนไปเล็กน้อยสูตรจะใช้ไม่ได้ ให้จำวิธีลากเส้นขนานผ่านจุดหักแทน

ขนานกับเส้นเดียวกัน

ขั้นที่ 2 ใช้ข้อเท็จจริงว่า เส้นตรงสองเส้นที่ขนานกับเส้นตรงเส้นเดียวกัน ย่อมขนานกัน เหตุผลอยู่ในหน้า 18.3

ใช้มุมแย้งตรวจว่าขนาน

ตัวอย่าง 3

ช่างเชื่อมรั้วเหล็ก มีเหล็กแนวนอนสองเส้นและเหล็กเฉียงหนึ่งเส้นเชื่อมระหว่างกัน วัดมุมแย้งคู่หนึ่งได้ $62^\circ$ กับ $64^\circ$ เหล็กแนวนอนทั้งสองเส้นขนานกันหรือไม่

เหล็กเฉียงคือเส้นตัด มุมที่วัดเป็นมุมแย้ง
$62^\circ \neq 64^\circ$ มุมแย้งไม่เท่ากัน เหล็กทั้งสองเส้นจึงไม่ขนานกัน
ต่างกันแค่ $2^\circ$ ดูด้วยตาแทบไม่เห็น แต่ถ้ารั้วยาว 3 เมตร ระยะห่างระหว่างเหล็กสองเส้นที่ปลายรั้วสองข้างจะต่างกันราว 10 เซนติเมตร ลองวาดรูปย่อส่วนแล้ววัดดูได้

ลองคิดก่อน

$\hat{1}$ กับ $\hat{8}$ อยู่คนละข้างของเส้นตัดและอยู่คนละจุดตัด เพื่อนจึงบอกว่าเป็นมุมแย้ง ถูกหรือไม่ แล้วสองมุมนี้เท่ากันหรือไม่เมื่อ $\overleftrightarrow{AB} \parallel \overleftrightarrow{CD}$

ดูคำตอบ

ไม่ใช่มุมแย้ง เพราะมุมแย้งต้องเป็นมุมภายในทั้งคู่ แต่ $\hat{1}$ กับ $\hat{8}$ เป็นมุมภายนอก ถึงอย่างนั้นสองมุมนี้ก็เท่ากัน พิสูจน์ได้เป็นทอดๆ $\hat{1} = \hat{4}$ เพราะเป็นมุมตรงข้าม $\hat{4} = \hat{5}$ เพราะเป็นมุมแย้ง และ $\hat{5} = \hat{8}$ เพราะเป็นมุมตรงข้าม ตอนเขียนเหตุผลจึงห้ามอ้างว่าเป็นมุมแย้ง ต้องเขียนครบทั้งสามขั้น

สรุป

มุมแย้งคือมุมภายในที่อยู่คนละข้างของเส้นตัด มองหารูปตัว Z
เส้นขนานกันก็ต่อเมื่อมุมแย้งมีขนาดเท่ากัน
ถ้าเส้นตัดไม่ผ่านเส้นขนานทั้งสอง ให้ลากเส้นขนานผ่านจุดหักเพิ่ม
อ้างชื่อมุมให้ตรงตำแหน่ง มุมที่เท่ากันไม่จำเป็นต้องเป็นมุมแย้ง