33.5 ตัวบ่งปริมาณ

หัวหน้าห้องรายงานครูว่า ทุกคนส่งงานแล้ว อีกวันหนึ่งรายงานว่า มีบางคนส่งงานแล้ว สองประโยคนี้ต้องใช้หลักฐานต่างกันมาก ประโยคแรกผิดทันทีเมื่อครูเจอคนไม่ส่งเพียงคนเดียว แม้อีกสามสิบเก้าคนส่งครบ ส่วนประโยคหลังจริงทันทีเมื่อครูเจอสมุดของใครสักคนบนโต๊ะ

คำว่า ทุก และ บาง บอกปริมาณ ไม่ได้บอกว่าใครทำอะไร หน้านี้จะเขียนคำสองคำนี้เป็นสัญลักษณ์ หาค่าความจริง และเขียนนิเสธให้ถูก ซึ่งเป็นจุดที่พลาดกันบ่อยที่สุดในบทนี้

จากประโยคเปิดเป็นประพจน์

หน้า 33.1 บอกว่า $x+1=4$ ยังไม่เป็นประพจน์เพราะไม่รู้ค่า $x$ ประโยคที่มีตัวแปรแบบนี้เรียกว่าประโยคเปิด เขียนแทนด้วย $P(x)$ มีสองวิธีที่ทำให้ประโยคเปิดเป็นประพจน์

แทนค่า $x$ ลงไป เช่นแทน $x=3$ ได้ $3+1=4$ ซึ่งจริง
ไม่แทนค่า แต่บอกปริมาณว่าพูดถึง $x$ ทุกตัวหรือบางตัว

นิยาม

ให้ $U$ เป็นเอกภพสัมพัทธ์ คือเซตของค่าที่ $x$ เป็นได้

$\forall x\,P(x)$ อ่านว่า สำหรับ $x$ ทุกตัว $P(x)$ ประโยคนี้จริงเมื่อแทน $x$ ด้วยสมาชิกทุกตัวของ $U$ แล้วได้ประพจน์จริงหมด
$\exists x\,P(x)$ อ่านว่า มี $x$ อย่างน้อยหนึ่งตัวที่ $P(x)$ ประโยคนี้จริงเมื่อมีสมาชิกของ $U$ อย่างน้อยหนึ่งตัวที่แทนแล้วได้ประพจน์จริง

ต้องบอก $U$ ทุกครั้ง เพราะคำว่า ทุกคน ในห้องเรียนหนึ่งกับทุกคนในโรงเรียนเป็นคนละกลุ่ม ถ้าโจทย์ไม่บอก ให้ถือว่า $U$ คือเซตของจำนวนจริง $\mathbb R$

ในคณิตศาสตร์คำว่า บาง หมายถึงอย่างน้อยหนึ่ง และอาจเป็นทุกตัวได้ ไม่ได้บอกว่าต้องมีตัวที่ไม่เป็นตามเงื่อนไข ถ้าหัวหน้าห้องบอกว่า มีบางคนส่งงานแล้ว ในวันที่ทุกคนส่งครบ หัวหน้าห้องก็ไม่ได้พูดผิด

ตรวจค่าความจริงอย่างไร

ประโยค	ยืนยันว่าจริง	หักล้างว่าเท็จ
$\forall x\,P(x)$	ตรวจครบทุกตัว หรือให้เหตุผลทั่วไป	หาตัวอย่างค้านหนึ่งตัว
$\exists x\,P(x)$	หาพยานหนึ่งตัว	แสดงว่าไม่มีตัวใดผ่านเลย

สองแถวนี้กลับข้างกันพอดี งานที่ง่ายของประโยคหนึ่งคืองานที่ยากของอีกประโยค สำหรับ $\forall$ ถ้า $U$ มีสมาชิกจำกัดให้ตรวจครบทุกตัว ถ้า $U$ มีสมาชิกเป็นอนันต์ต้องให้เหตุผลที่ใช้ได้กับทุกตัว การพบตัวอย่างที่จริงจำนวนมากยังไม่พิสูจน์ว่าจริงทั้งหมด

U มีสมาชิกห้าตัว ตัวเลขบนคือ x² จุดสีส้มทำให้ x² ≤ 1 จริง จุดสีดำไม่ผ่าน

จากรูป $\exists x\,[x^2\le1]$ จริง เพราะมีพยานอย่าง $x=0$ แต่ $\forall x\,[x^2\le1]$ เท็จ เพราะมีตัวอย่างค้าน $x=2$ ตัวเดียวก็พอ

ตัวอย่าง 1

ให้ $U=\{-2,-1,0,1,2\}$ หาค่าความจริงของ $\forall x\,[x^2\ge0]$ และ $\exists x\,[x^2=2]$

ประโยคแรกเป็น ทุก และ $U$ มีห้าตัว ตรวจครบได้ กำลังสองของ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ คือ $4$ $1$ $0$ $1$ $4$ ไม่มีตัวใดติดลบ ประโยคแรกจริง
ประโยคหลังเป็น มี ต้องหาพยานที่ทำให้ $x^2=2$ ค่ากำลังสองที่เกิดขึ้นได้มีแค่ $0$ $1$ $4$ ไม่มี $2$
ไม่มีพยานเลยสักตัว ประโยคหลังจึงเท็จ สังเกตว่าการบอกว่า $\exists$ เท็จต้องตรวจทุกตัว เหมือนการบอกว่า $\forall$ จริง

ตัวอย่าง 2

ให้ $U=\mathbb R$ หาค่าความจริงของ $\forall x\,[x^2+1>0]$ และ $\forall x\,[x^2\ge x]$

$U$ มีสมาชิกเป็นอนันต์ ตรวจทีละตัวไม่ได้ ต้องหาเหตุผลที่ใช้ได้กับทุกตัว จำนวนจริงทุกตัวยกกำลังสองแล้วไม่ติดลบ คือ $x^2\ge0$
บวก $1$ ทั้งสองข้าง ได้ $x^2+1\ge1$ ซึ่งมากกว่า $0$ แน่นอน ประโยคแรกจริง
ประโยคที่สอง ถ้าลองแทน $x=0$ $1$ $2$ $3$ $-1$ จะผ่านหมด ทำให้อยากตอบว่าจริง แต่ยังไม่ได้ลองเศษส่วน
ลอง $x=\tfrac12$ ได้ $x^2=\tfrac14$ ซึ่งน้อยกว่า $\tfrac12$ จึงเป็นตัวอย่างค้าน ประโยคที่สองเท็จ

นิเสธของ ทุก และ บาง

ถ้า $U$ มีสมาชิกแค่สามตัว $a$ $b$ $c$ ประโยค $\forall x\,P(x)$ ก็คือ $P(a)\wedge P(b)\wedge P(c)$ และ $\exists x\,P(x)$ ก็คือ $P(a)\vee P(b)\vee P(c)$ ใช้กฎของเดอมอร์แกนจากหน้า 33.4 กับประโยคแรก

\sim[P(a)\wedge P(b)\wedge P(c)]\equiv\sim P(a)\vee\sim P(b)\vee\sim P(c)

ฝั่งขวาคือ มีอย่างน้อยหนึ่งตัวที่ $P$ ไม่จริง นี่คือที่มาของกฎข้างล่าง

สมบัติ

$\sim(\forall x\,P(x))\equiv\exists x\,\sim P(x)$ $\sim(\exists x\,P(x))\equiv\forall x\,\sim P(x)$

การนิเสธต้องเปลี่ยนตัวบ่งปริมาณและปฏิเสธข้อความข้างใน ทำสองอย่างพร้อมกันเสมอ เช่น ไม่ใช่ว่าทุกคนผ่าน คือ มีอย่างน้อยหนึ่งคนไม่ผ่าน ไม่ใช่ ทุกคนไม่ผ่าน

ตัวอย่าง 3

นิเสธของ $\forall x\in\mathbb R,\ x^2>0$ คืออะไร และนิเสธนั้นจริงหรือไม่

เปลี่ยน $\forall$ เป็น $\exists$ และปฏิเสธข้อความข้างใน นิเสธของ $x^2>0$ คือ $x^2\le0$ เพราะจำนวนที่ไม่มากกว่า $0$ คือจำนวนที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $0$
ได้ $\exists x\in\mathbb R,\ x^2\le0$
หาพยาน ต้องการ $x^2$ ที่ไม่บวก ซึ่งเกิดได้ค่าเดียวคือ $x=0$ ได้ $0\le0$ จริง
นิเสธจริง ประโยคเดิมจึงเท็จ ซึ่งตรงกับที่ $x=0$ เป็นตัวอย่างค้านของประโยคเดิม

ตัวอย่าง 4

ให้ $U=\mathbb Z$ เขียนนิเสธของ $\exists x\,[x>3\wedge x^2\lt10]$ แล้วบอกว่าประโยคเดิมจริงหรือเท็จ

เปลี่ยน $\exists$ เป็น $\forall$ แล้วปฏิเสธข้างใน ข้างในเป็น และ จึงใช้เดอมอร์แกนต่ออีกชั้น
นิเสธของ $x>3$ คือ $x\le3$ นิเสธของ $x^2\lt10$ คือ $x^2\ge10$ และ และ เปลี่ยนเป็น หรือ ได้ $\forall x\,[x\le3\vee x^2\ge10]$
หาค่าความจริง จำนวนเต็มที่มากกว่า $3$ ตัวเล็กที่สุดคือ $4$ ซึ่ง $4^2=16$ และยิ่ง $x$ มากขึ้น $x^2$ ก็ยิ่งมาก จึงไม่มีจำนวนเต็มใดที่มากกว่า $3$ และกำลังสองน้อยกว่า $10$
ประโยคเดิมเท็จ นิเสธจึงจริง ตรวจนิเสธได้ด้วย จำนวนเต็มตัวใดที่ไม่ได้น้อยกว่าหรือเท่ากับ $3$ ต้องมีค่าอย่างน้อย $4$ จึงมีกำลังสองอย่างน้อย $16$ ซึ่งผ่านเงื่อนไข $x^2\ge10$

ลองคิดก่อน

เพื่อนเขียนนิเสธของ มีนักเรียนบางคนในห้องได้คะแนนเต็ม ว่า มีนักเรียนบางคนในห้องไม่ได้คะแนนเต็ม ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก เพื่อนปฏิเสธข้างในแต่ลืมเปลี่ยนตัวบ่งปริมาณ ในห้องที่บางคนได้เต็มและบางคนไม่ได้ ทั้งประโยคเดิมและประโยคของเพื่อนจริงพร้อมกัน จึงเป็นนิเสธกันไม่ได้ นิเสธที่ถูกคือ นักเรียนทุกคนในห้องไม่ได้คะแนนเต็ม

พยานอาจเปลี่ยนตามเอกภพ

ประโยคเปิดเดียวกันเมื่อเปลี่ยนเซตของตัวแปรอาจเปลี่ยนค่าความจริง ตรวจชนิดจำนวนก่อนแก้สมการแล้วคัดคำตอบที่อยู่ในเซตนั้น

ตัวอย่าง 5

ตรวจ $\exists x\,[2x=1]$ เมื่อเอกภพเป็น $\mathbb Z$ และเมื่อเป็น $\mathbb R$

แก้สมการก่อนโดยยังไม่สนเอกภพ หารด้วย $2$ ทั้งสองข้าง ได้ $x=\tfrac12$ เพียงค่าเดียว
ใน $\mathbb Z$ ค่า $\tfrac12$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม จึงไม่อยู่ในเอกภพ และไม่มีค่าอื่นให้เลือก ประโยคเป็นเท็จ
ใน $\mathbb R$ ค่านี้อยู่ในเอกภพ เป็นพยานได้ ประโยคเป็นจริง

ลองคิดก่อน

ข้อความ $\exists x\,[x^2=2]$ มีค่าความจริงเหมือนกันใน $\mathbb Q$ และ $\mathbb R$ หรือไม่

ดูคำตอบ

ไม่เหมือน ในจำนวนจริงมีพยาน $\sqrt2$ แต่ในจำนวนตรรกยะไม่มี เพราะบทที่ 11 แสดงแล้วว่า $\sqrt2$ และ $-\sqrt2$ เป็นจำนวนอตรรกยะ ต้องอ่านเอกภพสัมพัทธ์ทุกครั้ง

อย่าอ่านคำว่า มีบางตัว ว่าหมายถึงตัวใดก็ได้ พยานต้องอยู่ในเอกภพและทำให้ประโยคข้างในจริงพร้อมกัน การหาคำตอบสมการโดยละเอกภพไว้เป็นเพียงขั้นกลาง

บทถัดไปเป็นเรื่องจำนวนจริง ซึ่งจะใช้คำว่า สำหรับจำนวนจริงทุกตัว และ มีจำนวนจริงที่ อยู่ตลอด เช่นเมื่อพูดถึงสมบัติของการบวกและการคูณ อ่านให้ออกว่าประโยคนั้นเป็น $\forall$ หรือ $\exists$ ก่อนจะเชื่อหรือหักล้าง

สรุป

ประโยคเปิดเป็นประพจน์ได้เมื่อแทนค่า หรือเมื่อมีตัวบ่งปริมาณ และต้องระบุเอกภพสัมพัทธ์
ทุก ใช้เหตุผลทั่วไปหรือการตรวจครบเพื่อยืนยัน ใช้ตัวอย่างค้านหนึ่งตัวเพื่อหักล้าง
บาง ใช้พยานหนึ่งตัวเพื่อยืนยัน และต้องตรวจทุกตัวเพื่อหักล้าง บาง อาจเป็นทุกตัวก็ได้
นิเสธต้องเปลี่ยนตัวบ่งปริมาณและปฏิเสธเงื่อนไขพร้อมกัน ถ้าข้างในมี และ หรือ หรือ ให้ใช้เดอมอร์แกนต่อ
ประโยคเดียวกันอาจจริงในเอกภพหนึ่งและเท็จในอีกเอกภพ