descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 40 เมทริกซ์ตรงกับหนังสือ เพิ่มเติม ม.5 เล่ม 1 บทที่ 2เพิ่มเติม

40.3 ดีเทอร์มิแนนต์

ระบบสมการสองสมการอาจบอกข้อมูลใหม่สองชิ้นจริงๆ หรืออาจเป็นสมการเดียวกันที่คูณด้วยจำนวนแล้วเขียนซ้ำ เช่น x+2y=6x + 2y = 6 กับ 2x+4y=122x + 4y = 12 ซึ่งดูเหมือนสองข้อแต่ให้ข้อมูลแค่ข้อเดียว เราอยากได้ตัวเลขหนึ่งตัวที่คำนวณจากสัมประสิทธิ์ แล้วบอกได้ทันทีว่าเป็นกรณีไหน ตัวเลขนั้นคือดีเทอร์มิแนนต์ และมันยังบอกต่อไปด้วยว่าเมทริกซ์มีผกผันหรือไม่ ซึ่งเป็นเรื่องของหน้า 40.4

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 2×2

นิยาม

ให้ A=[abcd]A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} ดีเทอร์มิแนนต์ของ AA คือ det⁡A=ad−bc\det A = ad - bc บางครั้งเขียนแทนด้วยเส้นตรงสองข้าง ∣abcd∣\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}

จำว่าผลคูณแนวทแยงหลัก (ซ้ายบนไปขวาล่าง) ลบผลคูณแนวทแยงรอง (ขวาบนไปซ้ายล่าง) ผลที่ได้เป็นจำนวนหนึ่งตัว ไม่ใช่เมทริกซ์ และนิยามได้เฉพาะเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้น เมทริกซ์ 2×32 \times 3 ไม่มีดีเทอร์มิแนนต์

ลองกับระบบตอนต้นหน้า สัมประสิทธิ์คือ [1224]\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} ได้ 1(4)−2(2)=01(4) - 2(2) = 0 ส่วนระบบ 2x+y=52x + y = 5 กับ x+y=3x + y = 3 ได้ 2(1)−1(1)=12(1) - 1(1) = 1 ไม่เป็นศูนย์ ดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์เมื่อแถวหนึ่งเป็นสัดส่วนของอีกแถว คือเมื่อสมการหนึ่งเป็นการคูณซ้ำของอีกสมการ

ตัวอย่าง 1

หา det⁡[3214]\det \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} และ det⁡[253−1]\det \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}

  1. ตัวแรก คูณแนวทแยงหลัก 3(4)=123(4) = 12 คูณแนวทแยงรอง 2(1)=22(1) = 2 แล้วลบ ได้ 12−2=1012 - 2 = 10
  2. ตัวที่สอง แนวทแยงหลัก 2(−1)=−22(-1) = -2 แนวทแยงรอง 5(3)=155(3) = 15
  3. ได้ −2−15=−17-2 - 15 = -17 ดีเทอร์มิแนนต์ติดลบได้ ไม่ผิด ระวังลืมวงเล็บแล้วเขียน −2+15-2 + 15

ดีเทอร์มิแนนต์คือพื้นที่ที่มีเครื่องหมาย

มองคอลัมน์ทั้งสองของ [3112]\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} เป็นจุด (3,1)(3, 1) และ (1,2)(1, 2) บนระนาบ ลากเส้นจากจุดกำเนิดไปยังสองจุดนี้แล้วเติมเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน มุมที่สี่อยู่ที่ (4,3)(4, 3)

(0, 0)(3, 1)(1, 2)(4, 3)
สี่เหลี่ยมด้านขนานที่คอลัมน์ (3,1)(3, 1) และ (1,2)(1, 2) สร้าง อยู่ในกรอบประขนาด 4×34 \times 3

หาพื้นที่โดยเอากรอบสี่เหลี่ยมผืนผ้า 4×3=124 \times 3 = 12 ลบส่วนที่อยู่นอกรูป ส่วนนอกรูปมีสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปที่มีขา 33 กับ 11 รวม 33 ตารางหน่วย สามเหลี่ยมอีกสองรูปที่มีขา 11 กับ 22 รวม 22 ตารางหน่วย และสี่เหลี่ยมเล็ก 1×11 \times 1 ที่มุมอีกสองรูป รวม 22 ตารางหน่วย พื้นที่จึงเป็น 12−3−2−2=512 - 3 - 2 - 2 = 5 ซึ่งเท่ากับ det⁡=3(2)−1(1)=5\det = 3(2) - 1(1) = 5 พอดี

ทำแบบเดียวกันกับคอลัมน์ทั่วไป (a,c)(a, c) และ (b,d)(b, d) จะได้ (a+b)(c+d)−ac−bd−2bc=ad−bc(a + b)(c + d) - ac - bd - 2bc = ad - bc เสมอ ขนาดของดีเทอร์มิแนนต์ 2×22 \times 2 จึงเป็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่คอลัมน์ทั้งสองสร้าง ส่วนเครื่องหมายบอกทิศ ถ้าสลับสองคอลัมน์ ค่าจะกลายเป็น −5-5 รูปเดิมแต่หมุนกลับทิศ และถ้าสองคอลัมน์อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน รูปจะแบนจนพื้นที่เป็นศูนย์ ซึ่งตรงกับกรณีแถวหรือคอลัมน์เป็นสัดส่วนกัน

ตัวอย่าง 2

หาพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด (0,0)(0, 0) (4,1)(4, 1) และ (1,3)(1, 3)

  1. สามเหลี่ยมนี้คือครึ่งหนึ่งของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างจาก (4,1)(4, 1) และ (1,3)(1, 3) เพราะเส้นทแยงมุมแบ่งสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นสามเหลี่ยมเท่ากันสองรูป
  2. วางสองจุดเป็นคอลัมน์ det⁡[4113]=4(3)−1(1)=11\det \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = 4(3) - 1(1) = 11
  3. พื้นที่สามเหลี่ยม =12∣11∣=112= \tfrac{1}{2} \lvert 11 \rvert = \tfrac{11}{2} ตารางหน่วย ใส่ค่าสัมบูรณ์ไว้เผื่อดีเทอร์มิแนนต์ติดลบ เพราะพื้นที่ติดลบไม่ได้

ดีเทอร์มิแนนต์ 3×3 ด้วยวิธีของซาร์รัส

สำหรับเมทริกซ์ 3×33 \times 3 มีวิธีจัดผลคูณให้ครบโดยไม่ต้องจำสูตรยาว ให้เขียนคอลัมน์ที่หนึ่งและสองซ้ำไว้ทางขวาของเมทริกซ์ แล้วลากเส้นทแยง

  • เส้นทแยงลง (ซ้ายบนไปขวาล่าง) มีสามเส้น คูณสมาชิกบนแต่ละเส้นแล้วบวกกัน
  • เส้นทแยงขึ้น (ซ้ายล่างไปขวาบน) มีสามเส้น คูณสมาชิกบนแต่ละเส้นแล้วบวกกัน
  • ดีเทอร์มิแนนต์คือผลรวมเส้นลง ลบด้วยผลรวมเส้นขึ้น
∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣a11a12a21a22a31a32\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}

ตัวอย่าง 3

หา det⁡[2130−14121]\det \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix} ด้วยวิธีของซาร์รัส

  1. เขียนคอลัมน์ 2,0,12, 0, 1 และ 1,−1,21, -1, 2 ซ้ำทางขวา เพื่อให้เส้นทแยงทั้งหกเส้นมีสมาชิกครบเส้นละสามตัว
  2. เส้นลงสามเส้น 2(−1)(1)+1(4)(1)+3(0)(2)=−2+4+0=22(-1)(1) + 1(4)(1) + 3(0)(2) = -2 + 4 + 0 = 2
  3. เส้นขึ้นสามเส้น เริ่มจากแถวล่าง 1(−1)(3)+2(4)(2)+1(0)(1)=−3+16+0=131(-1)(3) + 2(4)(2) + 1(0)(1) = -3 + 16 + 0 = 13
  4. ดีเทอร์มิแนนต์ =2−13=−11= 2 - 13 = -11

วิธีของซาร์รัสใช้ได้กับ 3×33 \times 3 เท่านั้น ถ้าลองลากเส้นทแยงกับ 4×44 \times 4 จะได้ผลคูณแค่ 88 พจน์ แต่ดีเทอร์มิแนนต์ 4×44 \times 4 มี 2424 พจน์ จึงต้องใช้วิธีที่ใช้ได้ทุกขนาด คือการกระจายโคแฟกเตอร์

ไมเนอร์ โคแฟกเตอร์ และการกระจาย

ให้ AA เป็นเมทริกซ์ 3×33 \times 3 ถ้าตัดแถวที่ ii และคอลัมน์ที่ jj ออก จะเหลือเมทริกซ์ 2×22 \times 2 ดีเทอร์มิแนนต์ของตัวที่เหลือเรียกว่าไมเนอร์ Mij(A)M_{ij}(A) และโคแฟกเตอร์คือ Cij(A)=(−1)i+jMij(A)C_{ij}(A) = (-1)^{i+j} M_{ij}(A) เครื่องหมาย (−1)i+j(-1)^{i+j} เรียงเป็นลายตารางหมากรุก

[+−+−+−+−+]\begin{bmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{bmatrix}

ดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับผลรวมของสมาชิกในแถวใดแถวหนึ่ง (หรือคอลัมน์ใดคอลัมน์หนึ่ง) คูณกับโคแฟกเตอร์ของมัน เช่นกระจายตามแถวที่หนึ่ง

det⁡A=a11C11+a12C12+a13C13\det A = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13}

จะเลือกแถวหรือคอลัมน์ไหนก็ได้ค่าเดียวกัน จึงควรเลือกแถวที่มีศูนย์มาก เพราะสมาชิกศูนย์ทำให้ไม่ต้องคำนวณโคแฟกเตอร์ตัวนั้นเลย

ตัวอย่าง 4

หา det⁡[120314201]\det \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} โดยกระจายตามแถวที่หนึ่ง

  1. แถวที่หนึ่งคือ 1,2,01, 2, 0 เครื่องหมายตามตำแหน่งคือ +,−,++, -, + สมาชิกตัวที่สามเป็นศูนย์ จึงเหลือแค่สองพจน์
  2. M11M_{11} ตัดแถว 11 คอลัมน์ 11 เหลือ ∣1401∣=1\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 จึงได้ C11=+1C_{11} = +1
  3. M12M_{12} ตัดแถว 11 คอลัมน์ 22 เหลือ ∣3421∣=3−8=−5\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3 - 8 = -5 จึงได้ C12=−(−5)=5C_{12} = -(-5) = 5
  4. det⁡A=1(1)+2(5)+0=11\det A = 1(1) + 2(5) + 0 = 11 ระวังเครื่องหมายสองชั้น ลบจากตำแหน่ง กับลบจากไมเนอร์ คูณกันได้บวก

ลองคิดก่อน

เพื่อนกระจายเมทริกซ์ [120314201]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix} ตามแถวที่สอง โดยใช้เครื่องหมาย +,−,++, -, + เหมือนแถวแรก ได้ 3(2)−1(1)+4(−4)=−113(2) - 1(1) + 4(-4) = -11 ซึ่งคนละค่ากับตัวอย่าง 4 ผิดตรงไหน

ดูคำตอบ

แถวที่สองมีเครื่องหมาย −,+,−-, +, - เพราะ (−1)2+1=−1(-1)^{2+1} = -1 ต้องใช้ลายหมากรุกตามตำแหน่งจริง ไม่ใช่เริ่มบวกทุกแถว ไมเนอร์ของแถวสองคือ M21=2M_{21} = 2 M22=1M_{22} = 1 M23=−4M_{23} = -4 ที่ถูกคือ −3(2)+1(1)−4(−4)=−6+1+16=11-3(2) + 1(1) - 4(-4) = -6 + 1 + 16 = 11 ตรงกับตัวอย่าง 4 ค่าที่เพื่อนได้ติดลบพอดีเพราะเครื่องหมายสลับทุกพจน์

กรณีพิเศษที่ควรรู้คือเมทริกซ์สามเหลี่ยม ซึ่งสมาชิกใต้แนวทแยงหลักเป็นศูนย์หมด (หรือเหนือแนวทแยงเป็นศูนย์หมด) กระจายตามคอลัมน์แรกจะเหลือพจน์เดียวทุกครั้ง ดีเทอร์มิแนนต์จึงเท่ากับผลคูณของแนวทแยงหลัก เช่น det⁡[21003400−1]=2(3)(−1)=−6\det \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} = 2(3)(-1) = -6

สมบัติของดีเทอร์มิแนนต์

ให้ AA และ BB เป็นเมทริกซ์จัตุรัสมิติ n×nn \times n และ kk เป็นจำนวนจริง

สมบัติ

  • det⁡(AB)=det⁡A⋅det⁡B\det(AB) = \det A \cdot \det B
  • det⁡(At)=det⁡A\det(A^t) = \det A
  • det⁡(kA)=kndet⁡A\det(kA) = k^n \det A
  • สลับสองแถว (หรือสองคอลัมน์) ดีเทอร์มิแนนต์เปลี่ยนเครื่องหมาย
  • ถ้ามีแถวหนึ่งเป็นศูนย์ทั้งแถว หรือมีสองแถวเป็นสัดส่วนกัน ดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์
  • คูณแถวเดียวด้วย kk ดีเทอร์มิแนนต์คูณด้วย kk

ข้อ det⁡(At)=det⁡A\det(A^t) = \det A เห็นได้จากรูป 2×22 \times 2 เพราะ [acbd]\begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} ก็ได้ ad−cbad - cb เท่าเดิม ผลคือทุกสมบัติที่พูดถึงแถวใช้กับคอลัมน์ได้ด้วย ข้อ det⁡(kA)\det(kA) มาจากข้อสุดท้าย การคูณทั้งเมทริกซ์ด้วย kk คือการคูณทุกแถวด้วย kk ซึ่งมี nn แถว ดีเทอร์มิแนนต์จึงถูกคูณด้วย kk ทั้งหมด nn ครั้ง ในภาพพื้นที่ ขยายด้านทั้งสองของสี่เหลี่ยมด้านขนานเป็นสองเท่า พื้นที่เพิ่มเป็นสี่เท่า ไม่ใช่สองเท่า

ลองคิดก่อน

ถ้าเมทริกซ์ AA มิติ 2×22 \times 2 มี det⁡A=5\det A = 5 เพื่อนตอบว่า det⁡(3A)=15\det(3A) = 15 ถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก 3A3A คูณทั้งสองแถวด้วย 33 ดีเทอร์มิแนนต์จึงถูกคูณด้วย 33 สองครั้ง ได้ det⁡(3A)=32(5)=45\det(3A) = 3^2(5) = 45 ถ้า AA เป็น 3×33 \times 3 จะได้ 333^3 คูณ ความผิดแบบนี้มาจากการคิดว่าดีเทอร์มิแนนต์เป็นเชิงเส้นเหมือนการบวก ซึ่งไม่ใช่

ตัวอย่าง 5

ให้ AA และ BB เป็นเมทริกซ์มิติ 3×33 \times 3 ที่ det⁡A=2\det A = 2 และ det⁡B=−3\det B = -3 หา det⁡(2ABt)\det(2AB^t)

  1. แยกเป็นสามส่วน คือสเกลาร์ 22 เมทริกซ์ AA และเมทริกซ์ BtB^t แล้วใช้สมบัติทีละข้อ
  2. สเกลาร์ 22 คูณเมทริกซ์ 3×33 \times 3 จึงออกมาเป็น 23=82^3 = 8 ได้ det⁡(2ABt)=8det⁡(ABt)\det(2AB^t) = 8 \det(AB^t)
  3. det⁡(ABt)=det⁡A⋅det⁡(Bt)=det⁡A⋅det⁡B=2(−3)=−6\det(AB^t) = \det A \cdot \det(B^t) = \det A \cdot \det B = 2(-3) = -6
  4. ดังนั้น det⁡(2ABt)=8(−6)=−48\det(2AB^t) = 8(-6) = -48

ดีเทอร์มิแนนต์ที่เป็นศูนย์บอกว่าเมทริกซ์ทำให้พื้นที่แบนลงเหลือศูนย์ ข้อมูลบางส่วนจึงหายไปและย้อนกลับไม่ได้ หน้าถัดไปจะใช้ข้อนี้ตัดสินว่าเมทริกซ์ใดมีผกผัน และใช้ ad−bcad - bc เป็นตัวหารในสูตรผกผัน

สรุป

  • det⁡[abcd]=ad−bc\det \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc เป็นจำนวน นิยามเฉพาะเมทริกซ์จัตุรัส
  • ขนาดของดีเทอร์มิแนนต์ 2×22 \times 2 คือพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนานที่คอลัมน์สร้าง เครื่องหมายบอกทิศ
  • 3×33 \times 3 ใช้วิธีของซาร์รัส หรือกระจายโคแฟกเตอร์ Cij=(−1)i+jMijC_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} ตามแถวที่มีศูนย์มาก
  • det⁡(AB)=det⁡Adet⁡B\det(AB) = \det A \det B และ det⁡(At)=det⁡A\det(A^t) = \det A
  • det⁡(kA)=kndet⁡A\det(kA) = k^n \det A ไม่ใช่ kdet⁡Ak \det A