25.1 ฟังก์ชันกำลังสอง

โยนลูกบอลขึ้นฟ้าตรงๆ ลูกบอลจะลอยขึ้นช้าลงเรื่อยๆ จนหยุดนิ่งที่จุดสูงสุด แล้วตกกลับลงมา ถ้าปล่อยมือที่ความสูง 1 เมตร ด้วยความเร็ว 20 เมตรต่อวินาที ความสูง $h$ เมตร เมื่อเวลาผ่านไป $t$ วินาที เขียนได้ประมาณนี้

h = 1 + 20t - 5t^2

ลองแทนค่า $t$ ทีละวินาที

$t$ (วินาที)	0	1	2	3	4
$h$ (เมตร)	1	16	21	16	1

ความสูงขึ้นไปถึง 21 เมตรที่วินาทีที่ 2 แล้วลดลงในแบบเดียวกับตอนขึ้น ค่าที่วินาทีที่ 1 กับ 3 เท่ากัน ค่าที่วินาทีที่ 0 กับ 4 ก็เท่ากัน สมการที่มีพจน์ $t^2$ แบบนี้คือฟังก์ชันกำลังสอง ซึ่งเป็นเรื่องของบทนี้ทั้งบท

ฟังก์ชันกำลังสองคืออะไร

นิยาม

ฟังก์ชันกำลังสองคือฟังก์ชันที่เขียนได้ในรูป

y = ax^2 + bx + c

เมื่อ $a$ $b$ และ $c$ เป็นจำนวนจริง และ $a \neq 0$

ที่ต้องมี $a \neq 0$ เพราะถ้า $a = 0$ พจน์ $x^2$ จะหายไป เหลือ $y = bx + c$ ซึ่งเป็นความสัมพันธ์เชิงเส้นที่เรียนมาแล้วตอน ม.1 ส่วน $b$ กับ $c$ เป็นศูนย์ได้

ตัวอย่าง 1

ฟังก์ชันใดต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันกำลังสอง ถ้าเป็น ให้บอกค่า $a$ $b$ และ $c$

(1) $y = 3x^2 - 2x + 1$ (2) $y = 4 - x^2$ (3) $y = (x - 1)(x + 3)$ (4) $y = 2x + 5$ (5) $y = x^3 - x$

$y = 3x^2 - 2x + 1$ เป็น ได้ $a = 3$ $b = -2$ $c = 1$ ระวังเครื่องหมายลบ $b$ คือ $-2$ ไม่ใช่ $2$
$y = 4 - x^2$ เป็น เรียงใหม่ได้ $y = -x^2 + 0x + 4$ จึงได้ $a = -1$ $b = 0$ $c = 4$
$y = (x - 1)(x + 3)$ ดูไม่ออกจนกว่าจะกระจาย ได้ $y = x^2 + 2x - 3$ จึงเป็น มี $a = 1$ $b = 2$ $c = -3$
$y = 2x + 5$ ไม่เป็น เพราะไม่มีพจน์ $x^2$ คือ $a = 0$
$y = x^3 - x$ ไม่เป็น เพราะมีพจน์ $x^3$ ซึ่งเขียนในรูป $ax^2 + bx + c$ ไม่ได้

ลองคิดก่อน

$y = (x + 2)^2 - x^2$ เป็นฟังก์ชันกำลังสองไหม ดูแล้วมี $x^2$ ถึงสองที่

ดูคำตอบ

ไม่เป็น กระจายก่อนจะเห็นว่า $(x + 2)^2 - x^2 = x^2 + 4x + 4 - x^2 = 4x + 4$ พจน์ $x^2$ หักล้างกันหมด เหลือแค่ฟังก์ชันเชิงเส้น ดูหน้าตาสมการอย่างเดียวจึงตัดสินไม่ได้ ต้องจัดให้อยู่ในรูป $ax^2 + bx + c$ ก่อนเสมอ

กราฟหน้าตาเป็นยังไง

ลองหากราฟของ $y = x^2 - 4x + 3$ แบบที่ทำตอน ม.1 คือแทนค่า $x$ หลายค่า แล้วจุดคู่อันดับลงบนระนาบ

$x$	−1	0	1	2	3	4	5
$y$	8	3	0	−1	0	3	8

จุดจากตารางข้างบน ติ๊กช่องเพื่อต่อจุดด้วยเส้นโค้ง

กราฟของฟังก์ชันกำลังสองทุกตัวเป็นเส้นโค้งรูปนี้ เรียกว่าพาราโบลา (parabola) และมีส่วนที่ต้องรู้จักสองส่วน

จุดยอด (vertex) คือจุดที่กราฟเลี้ยวกลับ ในรูปนี้คือ $(2, -1)$ ซึ่งเป็นจุดต่ำสุดของกราฟ
แกนสมมาตร (axis of symmetry) คือเส้นตั้งที่ผ่านจุดยอด ในรูปนี้คือเส้น $x = 2$ พับกระดาษตามเส้นนี้ ซีกซ้ายกับซีกขวาของกราฟจะทับกันพอดี

ดูในตารางก็เห็นความสมมาตร ค่า $y$ ที่ $x = 1$ กับ $x = 3$ เท่ากัน ที่ $x = 0$ กับ $x = 4$ ก็เท่ากัน เพราะอยู่ห่างจาก $x = 2$ เท่ากัน

เส้นโค้ง ไม่ใช่เส้นหักมุม

ตอนต่อจุดในกระดาษ ให้ลากเป็นเส้นโค้งเรียบผ่านทุกจุด ตรงจุดยอดต้องมน ไม่แหลมเป็นตัว V เพราะระหว่าง $x = 1$ กับ $x = 3$ ยังมีจุดอื่นอีกนับไม่ถ้วน เช่น $x = 1.5$ ได้ $y = -0.75$ ซึ่งอยู่ต่ำกว่าเส้นตรงที่ต่อจาก $(1, 0)$ ไป $(2, -1)$

การแทนค่าทีละจุดแบบนี้ช้าและไม่รู้ว่าต้องแทนกี่จุดถึงจะเห็นจุดยอด หน้าต่อไปจะเริ่มอ่านรูปกราฟจากสมการโดยตรง เริ่มจากรูปที่ง่ายที่สุด $y = ax^2$

สรุป

ฟังก์ชันกำลังสองเขียนได้ในรูป $y = ax^2 + bx + c$ โดย $a \neq 0$
ก่อนตัดสินว่าเป็นหรือไม่ ต้องกระจายและจัดรูปก่อน
กราฟเป็นพาราโบลา มีจุดยอดหนึ่งจุด และสมมาตรรอบเส้นตั้งที่ผ่านจุดยอด