49.6 แบบฝึกหัด

1. ค่าเฉลี่ยคือผลรวมของข้อมูลหารด้วยจำนวนข้อมูล
2. ผลรวม $3+5+7+9=24$
3. มีข้อมูล $4$ ตัว จึงได้ $\bar x=\tfrac{24}{4}=6$
4. ตรวจด้วยระยะจากค่าเฉลี่ย $-3,-1,1,3$ รวมกันได้ $0$ ตามสมบัติของค่าเฉลี่ย

1. มัธยฐานต้องเรียงข้อมูลก่อน ได้ $1,4,6,9$
2. มีข้อมูล $4$ ตัวซึ่งเป็นจำนวนคู่ จึงไม่มีตัวกลางตัวเดียว ต้องใช้สองตัวกลางคือตัวที่ $2$ และ $3$ ได้ $4$ กับ $6$
3. มัธยฐาน $=\tfrac{4+6}{2}=5$ ค่านี้ไม่ได้อยู่ในข้อมูลก็ได้

ค่าเฉลี่ยใช้ขนาดของข้อมูลทุกตัว ถ้าค่าสุดโต่งใหญ่ขึ้น ผลรวมก็ใหญ่ขึ้น ค่าเฉลี่ยจึงถูกดึงตาม

มัธยฐานใช้แค่ตำแหน่งกลางหลังเรียง ค่าสุดโต่งอยู่ปลายแถวอยู่แล้ว จะใหญ่ขึ้นเท่าไรก็ยังอยู่ปลายแถว ตัวกลางจึงไม่เปลี่ยน เช่น $40,45,45,50,220$ มีค่าเฉลี่ย $80$ แต่มัธยฐาน $45$ ตรงกับคนส่วนใหญ่มากกว่า

ดังนั้นมัธยฐานทนต่อค่าสุดโต่งได้ดีกว่า

1. ค่าเฉลี่ย $\bar x=\tfrac{1+3+5}{3}=3$
2. ระยะจากค่าเฉลี่ย $-2,0,2$ ยกกำลังสองได้ $4,0,4$ รวม $8$
3. ข้อมูลเป็นตัวอย่าง จึงหารด้วย $n-1=3-1=2$ ไม่ใช่ $n=3$
4. ได้ $s^2=\tfrac{8}{2}=4$

ให้คะแนนเดิมเป็น $x_i$ และค่าเฉลี่ยเดิมเป็น $\bar x$ เมื่อทุกคนได้เพิ่มห้าคะแนน คะแนนใหม่คือ $x_i+5$

1. ผลรวมใหม่เพิ่มขึ้น $5n$ หารด้วย $n$ จึงได้ค่าเฉลี่ยใหม่ $\bar x+5$ ค่าเฉลี่ยเพิ่มห้า
2. ระยะจากค่าเฉลี่ยใหม่คือ $(x_i+5)-(\bar x+5)=x_i-\bar x$ เท่าเดิมทุกตัว
3. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคำนวณจากระยะเหล่านี้เท่านั้น จึงคงเดิม

การเลื่อนข้อมูลทั้งชุดย้ายตำแหน่ง แต่ไม่เปลี่ยนว่าข้อมูลห่างกันเท่าไร

1. ค่าเฉลี่ยคูณจำนวนคนได้ผลรวมคะแนน ห้อง ก รวม $10(50)=500$ ห้อง ข รวม $30(70)=2100$
2. ผลรวมคะแนนสองห้อง $500+2100=2600$
3. จำนวนคนรวม $10+30=40$
4. ค่าเฉลี่ยรวม $\tfrac{2600}{40}=65$ ใกล้ $70$ มากกว่า $50$ เพราะห้อง ข มีคนมากกว่าสามเท่า

1. ระยะจากค่าเฉลี่ย $82-70=12$ คะแนน
2. หารด้วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเพื่อเปลี่ยนเป็นจำนวนเท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน $z=\tfrac{12}{8}=1.5$
3. คะแนนนี้สูงกว่าค่าเฉลี่ยหนึ่งจุดห้าเท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

1. ข้อมูลเรียงแล้ว มี $n=7$ ตัว
2. ตำแหน่งของ $Q_1$ คือ $\tfrac{7+1}{4}=2$ เป็นจำนวนเต็ม จึงไม่ต้องแทรกค่า
3. ข้อมูลตัวที่ $2$ คือ $6$ ดังนั้น $Q_1=6$

1. ไม่รู้ค่ารายคน จึงให้ทุกคนในช่วงมีค่าเท่ากับจุดกึ่งกลางของช่วง ได้ $1,3,5,7$ ชั่วโมง
2. คูณความถี่กับจุดกึ่งกลางเพื่อประมาณผลรวมของแต่ละช่วง $5(1)=5$ $8(3)=24$ $4(5)=20$ $3(7)=21$
3. รวมกัน $\sum f_ix_i=5+24+20+21=70$ ชั่วโมง
4. หารด้วยจำนวนคน $N=5+8+4+3=20$ ได้ $\bar x\approx\tfrac{70}{20}=3.5$ ชั่วโมง
5. ตรวจ ค่าเฉลี่ยอยู่ในช่วง $2\le x<4$ ซึ่งมีคนมากที่สุด จึงสมเหตุสมผล

1. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกล้วยหอม $12$ กรัมมากกว่าของส้ม $9$ กรัม แต่กล้วยหอมก็หนักกว่าด้วย จึงต้องเทียบการกระจายกับค่าเฉลี่ยของแต่ละชนิด
2. กล้วยหอม $\text{CV}=\tfrac{12}{140}\times100\approx 8.57$ เปอร์เซ็นต์
3. ส้ม $\text{CV}=\tfrac{9}{95}\times100\approx 9.47$ เปอร์เซ็นต์
4. ส้มมีสัมประสิทธิ์การแปรผันมากกว่า จึงมีขนาดไม่สม่ำเสมอมากกว่าเมื่อเทียบกับน้ำหนักของตัวเอง คำตอบคือ $9.47$ เปอร์เซ็นต์