descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 18 เส้นขนานตรงกับหนังสือ ม.2 เล่ม 2 บทที่ 3

18.4 เส้นขนานและรูปสามเหลี่ยม

ตัดกระดาษเป็นรูปสามเหลี่ยมรูปไหนก็ได้ ฉีกมุมทั้งสามออกมา แล้ววางเรียงให้จุดยอดชนกันและขอบติดกัน มุมทั้งสามจะต่อกันเป็นเส้นตรงพอดี ทำกับสามเหลี่ยมผอมสูงหรืออ้วนเตี้ยก็ได้ผลเหมือนเดิม การทดลองบอกว่าน่าจะจริงเสมอ แต่ยังไม่ใช่เหตุผล หน้านี้จะใช้เส้นขนานอธิบายว่าทำไม

มุมภายในทั้งสามมุมรวมกันได้ 180°

ให้ ABCABC เป็นรูปสามเหลี่ยมใดๆ ลาก DE↔\overleftrightarrow{DE} ผ่านจุด AA ให้ขนานกับ BC‾\overline{BC}

ABCDE
มุมสีเดียวกันมีขนาดเท่ากัน มุมสามสีที่จุด A เรียงกันเป็นมุมตรง
  1. AB‾\overline{AB} เป็นเส้นตัดของเส้นขนาน DE↔\overleftrightarrow{DE} กับ BC↔\overleftrightarrow{BC} ได้มุมแย้ง DA^B=AB^CD\hat{A}B = A\hat{B}C
  2. AC‾\overline{AC} ก็เป็นเส้นตัดของเส้นขนานคู่เดียวกัน ได้มุมแย้ง EA^C=AC^BE\hat{A}C = A\hat{C}B
  3. มุมสามมุมที่จุด AA บน DE↔\overleftrightarrow{DE} ประกอบกันเป็นมุมตรง DA^B+BA^C+EA^C=180∘D\hat{A}B + B\hat{A}C + E\hat{A}C = 180^\circ
  4. แทนค่าจากขั้นที่ 1 และ 2 ได้ AB^C+BA^C+AC^B=180∘A\hat{B}C + B\hat{A}C + A\hat{C}B = 180^\circ

เหตุผลนี้ไม่ได้ใช้ขนาดของมุมใดเลย จึงใช้ได้กับรูปสามเหลี่ยมทุกรูป ตรงกับการฉีกกระดาษ มุมสีส้มกับสีเขียวที่จุด AA คือมุม BB กับมุม CC ที่ย้ายขึ้นไปวางเรียงกับมุม AA

ทฤษฎีบท

ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180∘180^\circ

ลากจุด AA ไปที่อื่น แล้วดูว่าผลบวกยังเป็น 180∘180^\circ หรือไม่ จากนั้นติ๊กช่องเพื่อแสดงเส้นขนานผ่าน AA

ลองลากจุด AA ไปทางซ้ายจนมุม BB เป็นมุมป้าน แล้วดูว่ามุม AA กับมุม CC เหลือรวมกันเท่าไร

ตัวอย่าง 1

รูปสามเหลี่ยม ABCABC มี BA^C=48∘B\hat{A}C = 48^\circ และ AB^C=67∘A\hat{B}C = 67^\circ หาขนาดของ AC^BA\hat{C}B

  1. มุมภายในทั้งสามรวมกัน 180∘180^\circ จึงได้ AC^B=180∘−48∘−67∘A\hat{C}B = 180^\circ - 48^\circ - 67^\circ
  2. AC^B=65∘A\hat{C}B = 65^\circ

ตัวอย่าง 2

มุมภายในทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีอัตราส่วน 2:3:42 : 3 : 4 หาขนาดของแต่ละมุม

  1. ให้มุมทั้งสามเป็น 2k2k 3k3k และ 4k4k องศา
  2. 2k+3k+4k=1802k + 3k + 4k = 180 ได้ 9k=1809k = 180 จึงได้ k=20k = 20
  3. มุมทั้งสามคือ 40∘40^\circ 60∘60^\circ และ 80∘80^\circ รวมกันได้ 180∘180^\circ จริง

ตัวอย่าง 3

รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วรูปหนึ่งมีมุมยอดขนาด 40∘40^\circ มุมที่ฐานแต่ละมุมมีขนาดเท่าไร

  1. มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีขนาดเท่ากัน ตามที่เรียนในบทที่ 17 ให้มีขนาดมุมละ yy องศา
  2. 40+y+y=18040 + y + y = 180 ได้ 2y=1402y = 140
  3. y=70y = 70 มุมที่ฐานมีขนาดมุมละ 70∘70^\circ

ผลที่ตามมา

จากทฤษฎีบทนี้ได้ข้อสรุปอีกหลายข้อ ทุกข้อมาจากการนับให้ครบ 180∘180^\circ

  • รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มุมแหลมสองมุมรวมกันได้ 180∘−90∘=90∘180^\circ - 90^\circ = 90^\circ
  • รูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามีมุมเท่ากันทั้งสามมุม จึงมีขนาดมุมละ 180∘÷3=60∘180^\circ \div 3 = 60^\circ
  • ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีมุมเท่ากันสองคู่ มุมคู่ที่สามจะเท่ากันด้วย เพราะต่างก็เป็น 180∘180^\circ ลบผลบวกของสองมุมแรก

ลองคิดก่อน

เพื่อนวาดรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม 100∘100^\circ และ 85∘85^\circ ได้หรือไม่

ดูคำตอบ

ไม่ได้ สองมุมนี้รวมกันได้ 185∘185^\circ เกิน 180∘180^\circ ไปแล้ว มุมที่สามจะต้องติดลบ ข้อนี้บอกด้วยว่ารูปสามเหลี่ยมมีมุมป้านหรือมุมฉากได้อย่างมากหนึ่งมุม เพราะสองมุมที่ไม่น้อยกว่า 90∘90^\circ รวมกันก็ได้อย่างน้อย 180∘180^\circ แล้ว

มุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม

ต่อด้าน BC‾\overline{BC} ของรูปสามเหลี่ยม ABCABC ออกไปทาง CC ถึงจุด DD มุม AC^DA\hat{C}D ที่เกิดขึ้นเรียกว่ามุมภายนอกของรูปสามเหลี่ยม มุมภายใน AC^BA\hat{C}B ที่อยู่ติดกับมันเรียกว่ามุมประชิดของมุมภายนอกนั้น ส่วนมุม AA กับมุม BB เป็นมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิด

ABCD
มุมภายนอก ACD สีม่วง เท่ากับมุม A สีส้มรวมกับมุม B สีเขียว
  1. AC^D+AC^B=180∘A\hat{C}D + A\hat{C}B = 180^\circ เพราะประกอบกันเป็นมุมตรงบน BD↔\overleftrightarrow{BD}
  2. BA^C+AB^C+AC^B=180∘B\hat{A}C + A\hat{B}C + A\hat{C}B = 180^\circ เพราะเป็นมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม
  3. ทั้งสองบรรทัดมี AC^BA\hat{C}B และรวมกันได้ 180∘180^\circ เท่ากัน จึงได้ AC^D=BA^C+AB^CA\hat{C}D = B\hat{A}C + A\hat{B}C

ทฤษฎีบท

ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมออกไป ขนาดของมุมภายนอกที่เกิดขึ้นจะเท่ากับผลบวกของขนาดของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิดของมุมภายนอกนั้น

สมบัตินี้ทำให้หามุมภายนอกได้ในขั้นเดียว ไม่ต้องหามุมภายในที่สามก่อน

ตัวอย่าง 4

รูปสามเหลี่ยม ABCABC มี BA^C=64∘B\hat{A}C = 64^\circ และ AB^C=51∘A\hat{B}C = 51^\circ ต่อ BC‾\overline{BC} ไปถึง DD หาขนาดของ AC^DA\hat{C}D และ AC^BA\hat{C}B

  1. AC^DA\hat{C}D เป็นมุมภายนอก มุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิดคือ BA^CB\hat{A}C กับ AB^CA\hat{B}C จึงได้ AC^D=64∘+51∘=115∘A\hat{C}D = 64^\circ + 51^\circ = 115^\circ
  2. AC^B=180∘−115∘=65∘A\hat{C}B = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ
  3. ตรวจ 64∘+51∘+65∘=180∘64^\circ + 51^\circ + 65^\circ = 180^\circ

ตัวอย่าง 5

รูปสามเหลี่ยม ABCABC มี BA^C=(x+25)∘B\hat{A}C = (x + 25)^\circ และ AB^C=(2x−10)∘A\hat{B}C = (2x - 10)^\circ ต่อ BC‾\overline{BC} ไปถึง DD ได้ AC^D=(4x−15)∘A\hat{C}D = (4x - 15)^\circ หาค่า xx และขนาดของมุมทั้งสาม

  1. มุมภายนอกเท่ากับผลบวกของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิด (x+25)+(2x−10)=4x−15(x + 25) + (2x - 10) = 4x - 15
  2. 3x+15=4x−153x + 15 = 4x - 15 ได้ x=30x = 30
  3. BA^C=55∘B\hat{A}C = 55^\circ AB^C=50∘A\hat{B}C = 50^\circ และ AC^D=105∘A\hat{C}D = 105^\circ ตรวจ 55∘+50∘=105∘55^\circ + 50^\circ = 105^\circ

ลองคิดก่อน

ที่จุดยอดแต่ละจุดของรูปสามเหลี่ยม ต่อด้านออกไปให้เกิดมุมภายนอกจุดละหนึ่งมุม มุมภายนอกทั้งสามมุมรวมกันได้เท่าไร เพื่อนตอบว่า 180∘180^\circ เหมือนมุมภายใน ถูกหรือไม่

ดูคำตอบ

ไม่ถูก ที่จุดยอดแต่ละจุด มุมภายนอกกับมุมภายในรวมกันได้ 180∘180^\circ สามจุดรวมกันได้ 3×180∘=540∘3 \times 180^\circ = 540^\circ ในนั้นเป็นมุมภายใน 180∘180^\circ มุมภายนอกทั้งสามจึงรวมกันได้ 540∘−180∘=360∘540^\circ - 180^\circ = 360^\circ เช่นสามเหลี่ยมด้านเท่ามีมุมภายนอกมุมละ 120∘120^\circ สามมุมรวมกันได้ 360∘360^\circ

สรุป

  • มุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันได้ 180∘180^\circ พิสูจน์ด้วยการลากเส้นขนานผ่านจุดยอดแล้วใช้มุมแย้ง
  • รูปสามเหลี่ยมมีมุมป้านหรือมุมฉากได้อย่างมากหนึ่งมุม
  • มุมภายนอกเท่ากับผลบวกของมุมภายในที่ไม่ใช่มุมประชิดของมัน
  • มุมภายนอกกับมุมประชิดของมันรวมกันได้ 180∘180^\circ