19.1 การให้เหตุผลและการพิสูจน์

ฝนวาดเส้นตรงสองเส้นตัดกันลงในสมุดสี่แบบ แล้วใช้โพรแทรกเตอร์วัดมุมสองมุมที่อยู่ตรงข้ามกัน ได้ผลแบบนี้

แบบที่	มุมซ้าย	มุมขวาที่อยู่ตรงข้าม
1	$40^\circ$	$40^\circ$
2	$72^\circ$	$71^\circ$
3	$105^\circ$	$105^\circ$
4	$133^\circ$	$134^\circ$

ฝนสรุปว่ามุมที่อยู่ตรงข้ามกันมีขนาดเท่ากันเสมอ ข้อสรุปนี้ถูก แต่ตารางของฝนยังไม่ได้แสดงว่ามันถูก มีปัญหาสองข้อ

แบบที่ 2 กับแบบที่ 4 วัดได้ต่างกัน $1^\circ$ ฝนไม่รู้ว่าเป็นเพราะวัดคลาดเอง หรือมุมไม่เท่ากันจริง
วัดได้แค่สี่แบบ ยังมีเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกันในแบบอื่นอีกนับไม่ถ้วนที่ยังไม่ได้วัด

การวัดหรือการลองหลายตัวอย่างช่วยให้เดาได้ว่าอะไรน่าจะจริง แต่ถ้าต้องการรู้ว่าจริงทุกกรณี ต้องใช้การพิสูจน์ คือใช้ข้อเท็จจริงที่ยอมรับแล้ว ต่อกันทีละขั้นด้วยเหตุผล จนได้ข้อสรุปที่ต้องการ

ข้อความแบบ ถ้า ... แล้ว ...

สมบัติทางเรขาคณิตส่วนใหญ่เขียนได้ในรูป "ถ้า ... แล้ว ..." ส่วนหลังคำว่า ถ้า คือสิ่งที่รู้อยู่แล้ว ส่วนหลังคำว่า แล้ว คือสิ่งที่ต้องแสดงว่าจริง

นิยาม

ในข้อความ "ถ้า $p$ แล้ว $q$ "

$p$ คือสิ่งที่กำหนดให้ (เหตุ)
$q$ คือสิ่งที่ต้องพิสูจน์ (ผล)

ข้อความที่พิสูจน์แล้วว่าเป็นจริงเรียกว่าทฤษฎีบท

ก่อนพิสูจน์ ต้องเขียนสองส่วนนี้ด้วยชื่อจุดในรูปให้ชัด จะได้รู้ว่าเริ่มจากอะไรและต้องไปจบที่ไหน

ตัวอย่าง 1

ข้อความ "ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมที่อยู่ตรงข้ามกันมีขนาดเท่ากัน" อะไรคือสิ่งที่กำหนดให้ และอะไรคือสิ่งที่ต้องพิสูจน์ เขียนโดยใช้รูปข้างล่าง

มุมสีส้มสองมุมอยู่ตรงข้ามกัน มุมสีเขียวคือมุม COB

ส่วนหลังคำว่า ถ้า คือ เส้นตรงสองเส้นตัดกัน เขียนเป็นสิ่งที่กำหนดให้ว่า $\overleftrightarrow{AB}$ กับ $\overleftrightarrow{CD}$ ตัดกันที่จุด $O$
ส่วนหลังคำว่า แล้ว คือ มุมที่อยู่ตรงข้ามกันเท่ากัน ในรูปมีมุมตรงข้ามสองคู่ เลือกคู่หนึ่งมาพิสูจน์ได้ เพราะอีกคู่ทำแบบเดียวกัน
สิ่งที่ต้องพิสูจน์คือ $A\hat{O}C = B\hat{O}D$

ข้อความบางข้อไม่ได้เขียนด้วยคำว่า ถ้า กับ แล้ว แต่เปลี่ยนรูปได้ เช่น "มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วมีขนาดเท่ากัน" เขียนใหม่ได้เป็น "ถ้ารูปสามเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว แล้วมุมที่ฐานมีขนาดเท่ากัน"

เขียนการพิสูจน์เป็นตาราง

การพิสูจน์ในบทนี้เขียนเป็นตารางสองช่อง ช่องซ้ายคือข้อความ ที่ได้ในแต่ละขั้น ช่องขวาคือเหตุผล ที่ทำให้ข้อความนั้นจริง ใส่เลขกำกับแต่ละบรรทัด บรรทัดหลังจะอ้างถึงบรรทัดก่อนได้

เหตุผลที่ใช้ได้มีแค่ไม่กี่แบบ

สิ่งที่กำหนดให้
บทนิยาม เช่น จุดกึ่งกลางแบ่งส่วนของเส้นตรงเป็นสองส่วนยาวเท่ากัน
สมบัติที่ยอมรับกันแล้ว เช่น มุมที่อยู่บนเส้นตรงรวมกันได้ $180^\circ$ หรือสมบัติของการเท่ากัน
ทฤษฎีบทที่พิสูจน์ไว้แล้ว รวมทั้งที่เรียนในบทที่ 17 และ 18

"ดูจากรูป" หรือ "วัดแล้วเท่ากัน" ไม่นับเป็นเหตุผล เพราะรูปอาจวาดไม่ตรง และการวัดคลาดได้อย่างที่ฝนเจอ

ทฤษฎีบท

ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมที่อยู่ตรงข้ามกันมีขนาดเท่ากัน

กำหนดให้ $\overleftrightarrow{AB}$ กับ $\overleftrightarrow{CD}$ ตัดกันที่จุด $O$ ตามรูปในตัวอย่าง 1

ต้องการพิสูจน์ว่า $A\hat{O}C = B\hat{O}D$

พิสูจน์

ข้อความ	เหตุผล
(1) $A\hat{O}C + C\hat{O}B = 180^\circ$	$A$ $O$ $B$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน มุมที่อยู่บนเส้นตรงรวมกันได้ $180^\circ$
(2) $C\hat{O}B + B\hat{O}D = 180^\circ$	$C$ $O$ $D$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
(3) $A\hat{O}C + C\hat{O}B = C\hat{O}B + B\hat{O}D$	จาก (1) และ (2) สิ่งที่เท่ากับสิ่งเดียวกันย่อมเท่ากัน
(4) $A\hat{O}C = B\hat{O}D$	นำ $C\hat{O}B$ ลบออกทั้งสองข้างของ (3)

สังเกตว่ามุมสีเขียว $C\hat{O}B$ เป็นตัวเชื่อม มันอยู่ติดกับมุมสีส้มทั้งสองมุม จึงใช้ $180^\circ$ ได้สองครั้ง แล้วหักออกเหลือแค่มุมที่ต้องการ ไม่ต้องรู้ว่ามุมแต่ละมุมกี่องศาเลย เส้นตรงสองเส้นจะตัดกันแบบไหน ข้อสรุปก็จริงเสมอ

พิสูจน์แล้วจึงใช้เป็นเหตุผลในข้ออื่นได้ ต่อไปเขียนสั้นๆ ว่า "มุมตรงข้าม"

ตัวอย่าง 2

เส้นตรง $AB$ กับ $CD$ ตัดกันที่ $O$ ตามรูปในตัวอย่าง 1 ถ้า $A\hat{O}C = 58^\circ$ มุมอีกสามมุมมีขนาดเท่าใด พร้อมเหตุผล

$B\hat{O}D = 58^\circ$ เพราะเป็นมุมตรงข้ามกับ $A\hat{O}C$
$C\hat{O}B = 180^\circ - 58^\circ = 122^\circ$ เพราะ $A\hat{O}C$ กับ $C\hat{O}B$ อยู่บนเส้นตรง $AB$ รวมกันได้ $180^\circ$
$A\hat{O}D = 122^\circ$ เพราะเป็นมุมตรงข้ามกับ $C\hat{O}B$
ตรวจ มุมทั้งสี่รอบจุด $O$ รวมกันได้ $58 + 122 + 58 + 122 = 360$ องศา

ลองคิดก่อน

แบงก์เขียนพิสูจน์ทฤษฎีบทมุมตรงข้ามแบบนี้ บรรทัดไหนใช้ไม่ได้

ข้อความ	เหตุผล
(1) $A\hat{O}C = B\hat{O}D$	เป็นมุมตรงข้าม
(2) $A\hat{O}C + C\hat{O}B = 180^\circ$	มุมที่อยู่บนเส้นตรง

ดูคำตอบ

บรรทัด (1) ใช้ไม่ได้ เพราะเอาสิ่งที่ต้องพิสูจน์มาเป็นเหตุผลของตัวเอง เหมือนตอบว่า "จริงเพราะมันจริง" ทฤษฎีบทมุมตรงข้ามจะใช้เป็นเหตุผลได้ก็ต่อเมื่อพิสูจน์เสร็จแล้ว ระหว่างที่กำลังพิสูจน์มันอยู่ ใช้ไม่ได้ ยิ่งไปกว่านั้น บรรทัดแรกก็คือข้อสรุปแล้ว บรรทัดที่เหลือจึงไม่ได้ช่วยอะไร ลำดับที่ถูกต้องเริ่มจากสิ่งที่รู้แล้ว และข้อสรุปต้องอยู่บรรทัดสุดท้าย

ขั้นตอนเขียนการพิสูจน์

วาดรูปและตั้งชื่อจุด ถ้าโจทย์ไม่มีรูป
เขียนสิ่งที่กำหนดให้ และสิ่งที่ต้องพิสูจน์ ด้วยชื่อจุดในรูป
มองหาทางเชื่อมจากสิ่งที่กำหนดให้ไปหาสิ่งที่ต้องพิสูจน์ บางทีคิดย้อนจากปลายทางง่ายกว่า เช่น จะได้มุมสองมุมเท่ากัน อาจต้องหารูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ
เขียนตารางข้อความกับเหตุผล บรรทัดสุดท้ายต้องเป็นสิ่งที่ต้องพิสูจน์พอดี

ข้อ 3 คือส่วนที่ต้องคิดจริง หน้าถัดไปจะฝึกกับเครื่องมือที่ใช้บ่อยที่สุด คือรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ

สรุป

การวัดหรือลองหลายตัวอย่างช่วยให้เดา การพิสูจน์ทำให้รู้ว่าจริงทุกกรณี
ข้อความ "ถ้า $p$ แล้ว $q$ " มี $p$ เป็นสิ่งที่กำหนดให้ และ $q$ เป็นสิ่งที่ต้องพิสูจน์
เขียนการพิสูจน์เป็นตารางข้อความกับเหตุผล เหตุผลต้องเป็นสิ่งที่กำหนดให้ บทนิยาม สมบัติที่ยอมรับแล้ว หรือทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้ว
ห้ามใช้สิ่งที่ต้องพิสูจน์เป็นเหตุผล และห้ามอ้างว่าดูจากรูป
มุมที่อยู่ตรงข้ามกันมีขนาดเท่ากัน