descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 49 การวิเคราะห์และนำเสนอข้อมูลเชิงปริมาณตรงกับหนังสือ พื้นฐาน ม.6 บทที่ 3 และเพิ่มเติม ม.6 เล่ม 2 บทที่ 3พื้นฐานเพิ่มเติม

49.5 ควอร์ไทล์ เปอร์เซ็นไทล์ และคะแนนมาตรฐาน

คะแนนแปดสิบอาจสูงมากในวิชาหนึ่งแต่ธรรมดาในอีกวิชา ต้องรู้ตำแหน่งเมื่อเทียบกับคนอื่น ไม่ใช้คะแนนดิบเพียงอย่างเดียว

บอกตำแหน่งได้สองวิธี วิธีแรกนับลำดับ เช่นคะแนนนี้สูงกว่าคนประมาณร้อยละ 7070 ของห้อง ซึ่งเป็นควอร์ไทล์และเปอร์เซ็นไทล์ที่เริ่มไว้ในบทที่ 26 วิธีที่สองวัดระยะ เช่นคะแนนนี้สูงกว่าค่าเฉลี่ยสองเท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ซึ่งคือคะแนนมาตรฐาน หน้านี้ทำทั้งสองวิธี แล้วใช้คะแนนมาตรฐานเทียบคะแนนต่างวิชาที่ยากง่ายไม่เท่ากัน

ตำแหน่งหลังเรียงข้อมูล

หน้านี้ใช้ตำแหน่ง Qj=j(n+1)/4Q_j=j(n+1)/4 และ Pk=k(n+1)/100P_k=k(n+1)/100 ในข้อมูลเรียงจากน้อยไปมาก ถ้าตำแหน่งไม่เป็นจำนวนเต็มให้แทรกระหว่างค่าข้างเคียงตามสัดส่วน วิธีนี้ใช้เมื่อดัชนีอยู่ในช่วงข้อมูล วิธีซอฟต์แวร์และหนังสือบางแหล่งต่างกัน จึงต้องระบุข้อตกลงและไม่ผสมสูตร

ควอร์ไทล์แบ่งข้อมูลเป็นสี่ส่วน เดไซล์ แบ่งเป็นสิบส่วน มีตำแหน่ง Dk=k(n+1)/10D_k=k(n+1)/10 และเปอร์เซ็นไทล์แบ่งเป็นร้อยส่วน สามแบบนี้คือเรื่องเดียวกันที่แบ่งละเอียดต่างกัน Q1=P25Q_1=P_{25} Q2=D5=P50Q_2=D_5=P_{50} ซึ่งก็คือมัธยฐาน และ Q3=P75Q_3=P_{75} เปอร์เซ็นไทล์ที่ kk อ่านว่าข้อมูลประมาณร้อยละ kk มีค่าไม่เกินค่านี้

ตัวอย่าง 1

ข้อมูลเรียง 2,4,6,8,10,12,142,4,6,8,10,12,14 หา Q1,Q3Q_1,Q_3

  1. n=7n=7 ตำแหน่ง Q1=(7+1)/4=2Q_1=(7+1)/4=2 และ Q3=6Q_3=6
  2. ได้ Q1=4,Q3=12Q_1=4,Q_3=12 พิสัยระหว่างควอร์ไทล์ 88

ตำแหน่งเศษส่วนและการแทรกค่า

สูตรตำแหน่งอาจให้ค่าระหว่างดัชนี ถ้าใช้ข้อตกลงแทรกเชิงเส้น ให้เศษของตำแหน่งเป็นสัดส่วนระยะระหว่างสองค่าที่ติดกัน วิธีนี้เป็นนิยามเชิงคำนวณ ไม่ได้แปลว่ามีคนอยู่ที่ดัชนีครึ่งคน และผลอาจต่างจากวิธีควอร์ไทล์อื่นที่ใช้แบ่งครึ่งข้อมูล

ตัวอย่าง 2

ข้อมูลเรียง 2,4,8,10,142,4,8,10,14 ใช้ตำแหน่ง Q1=(n+1)/4Q_1=(n+1)/4 หา Q1Q_1

  1. ตำแหน่งคือ 6/4=1.56/4=1.5 อยู่ครึ่งทางระหว่างตัวที่หนึ่งกับสอง
  2. แทรกค่า 2+0.5(4−2)=32+0.5(4-2)=3
  3. จึงได้ Q1=3Q_1=3 ภายใต้ข้อตกลงนี้ แม้ไม่มีข้อมูลเท่ากับสามจริง

ตัวอย่าง 3

คะแนนสอบเก็บเต็ม 5050 ของนักเรียน 1515 คนเรียงแล้วเป็น

18,21,23,25,26,28,30,31,33,34,36,38,41,44,4718,21,23,25,26,28,30,31,33,34,36,38,41,44,47

จงหา P70P_{70} และ D3D_3 แล้วแปลความหมาย

  1. ข้อมูลเรียงแล้ว n=15n=15 ตำแหน่งของ P70P_{70} คือ 70(15+1)100=11.2\tfrac{70(15+1)}{100}=11.2 อยู่ระหว่างตัวที่ 1111 กับ 1212 ค่อนไปทางตัวที่ 1111
  2. นับจากซ้าย ตัวที่ 1111 คือ 3636 ตัวที่ 1212 คือ 3838 ห่างกัน 22 คะแนน เศษ 0.20.2 ของตำแหน่งบอกให้เดินไป 0.20.2 ของระยะนี้ ได้ P70=36+0.2(2)=36.4P_{70}=36+0.2(2)=36.4
  3. ตำแหน่งของ D3D_3 คือ 3(15+1)10=4.8\tfrac{3(15+1)}{10}=4.8 ตัวที่ 44 คือ 2525 ตัวที่ 55 คือ 2626 ได้ D3=25+0.8(1)=25.8D_3=25+0.8(1)=25.8
  4. แปลผล นักเรียนประมาณร้อยละ 7070 ได้ไม่เกิน 36.436.4 คะแนน และประมาณร้อยละ 3030 ได้ไม่เกิน 25.825.8 คะแนน คนที่ได้ 3838 จึงอยู่ในกลุ่มราวร้อยละ 3030 ที่คะแนนสูงที่สุดของกลุ่มนี้

ตรวจวิธีคิด

ถ้าต้องทำงานเทียบกับซอฟต์แวร์ ให้บอกชื่อวิธีหาตำแหน่ง ไม่ปรับคำตอบให้ตรงเครื่องมือโดยไม่ตรวจนิยาม โดยเฉพาะชุดเล็กที่วิธีต่างกันอาจให้ค่าค่อนข้างต่าง

แผนภาพกล่องและค่าผิดปกติ

บทที่ 26 วาดแผนภาพกล่องจากค่าห้าค่า คือค่าต่ำสุด Q1Q_1 Q2Q_2 Q3Q_3 และค่าสูงสุด แล้วลากเส้นจากกล่องไปถึงค่าต่ำสุดและสูงสุดเสมอ ปัญหาคือถ้ามีค่าหนึ่งหลุดไปไกลมาก เส้นจะยาวจนดูเหมือนข้อมูลกระจายสม่ำเสมอไปถึงตรงนั้น ทั้งที่จริงมีแค่ค่าเดียว ม.ปลาย จึงแยกค่าที่อยู่ไกลผิดสังเกตออกมาด้วยเกณฑ์ที่ใช้พิสัยระหว่างควอร์ไทล์เป็นไม้บรรทัด

นิยาม

ให้ IQR=Q3−Q1\text{IQR}=Q_3-Q_1 ข้อมูลที่น้อยกว่า Q1−1.5 IQRQ_1-1.5\,\text{IQR} หรือมากกว่า Q3+1.5 IQRQ_3+1.5\,\text{IQR} เรียกว่าค่าผิดปกติ ในแผนภาพกล่องให้วาดค่าผิดปกติเป็นจุดแยก แล้วลากเส้นจากกล่องไปถึงข้อมูลตัวที่ไกลที่สุดที่ยังไม่ผิดปกติ

ใช้ IQR\text{IQR} แทนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเพราะ IQR\text{IQR} คำนวณจากครึ่งกลางของข้อมูล ค่าผิดปกติที่เรากำลังหาจึงไม่ไปขยายไม้บรรทัดที่ใช้ตัดสินตัวมันเอง

ตัวอย่าง 4

คะแนนสอบย่อยของนักเรียน 1111 คนเรียงแล้วเป็น 4,11,12,13,14,15,15,16,17,18,194,11,12,13,14,15,15,16,17,18,19 มีค่าผิดปกติหรือไม่ แล้วอธิบายว่าแผนภาพกล่องหน้าตาเป็นอย่างไร

  1. n=11n=11 ตำแหน่ง Q1=124=3Q_1=\tfrac{12}{4}=3 Q2=6Q_2=6 Q3=9Q_3=9 เป็นจำนวนเต็มทั้งหมด อ่านได้ Q1=12Q_1=12 Q2=15Q_2=15 Q3=17Q_3=17
  2. IQR=17−12=5\text{IQR}=17-12=5 คูณ 1.51.5 ได้ระยะเผื่อ 7.57.5 คะแนน
  3. เกณฑ์ล่าง 12−7.5=4.512-7.5=4.5 เกณฑ์บน 17+7.5=24.517+7.5=24.5
  4. คะแนน 44 น้อยกว่า 4.54.5 จึงเป็นค่าผิดปกติ ส่วนคะแนนสูงสุด 1919 ไม่ถึง 24.524.5 จึงไม่มีค่าผิดปกติด้านบน
  5. วาดกล่องจาก 1212 ถึง 1717 เส้นมัธยฐานที่ 1515 เส้นขวาลากถึง 1919 เส้นซ้ายลากถึง 1111 ซึ่งเป็นข้อมูลตัวที่น้อยที่สุดที่ไม่ผิดปกติ แล้ววาดจุดแยกที่ 44
เกณฑ์ล่าง 4.5246810121416182022
คะแนน 4 อยู่นอกเกณฑ์ล่าง จึงวาดเป็นจุดแยก เส้นซ้ายหยุดที่ 11

ลองคิดก่อน

เพื่อนเจอค่าผิดปกติ 44 คะแนนแล้วลบทิ้งจากข้อมูล เพื่อให้ค่าเฉลี่ยของห้องดูดีขึ้น ทำได้ไหม

ดูคำตอบ

ไม่ควรทำ ค่าผิดปกติแปลว่าควรตรวจสอบ ไม่ได้แปลว่าผิด ถ้าตรวจแล้วพบว่าบันทึกผิด เช่นพิมพ์ 1414 เป็น 44 จึงแก้ได้ แต่ถ้าเป็นคะแนนจริงของนักเรียนที่ป่วยวันสอบ ข้อมูลนี้บอกเรื่องสำคัญที่ครูต้องรู้ การลบทิ้งทำให้รายงานสวยกว่าความจริง ถ้ากังวลว่าค่านี้ดึงค่าเฉลี่ย ให้รายงานมัธยฐานคู่กันแทน

คะแนนมาตรฐาน

สมบัติ

สำหรับประชากรที่ σ>0\sigma>0 คะแนนมาตรฐานคือ z=(x−μ)/σz=(x-\mu)/\sigma บอกว่าค่านั้นห่างจากค่าเฉลี่ยกี่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ค่า zz บวกอยู่เหนือค่าเฉลี่ยและลบอยู่ต่ำกว่า

สูตรนี้ทำสองขั้นที่เห็นในหน้า 49.3 ลบค่าเฉลี่ยเพื่อย้ายจุดศูนย์ไปไว้ที่ค่าเฉลี่ย แล้วหารด้วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเพื่อเปลี่ยนหน่วยเป็นจำนวนเท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ผลคือคะแนนมาตรฐานของทั้งชุดมีค่าเฉลี่ย 00 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 11 เสมอ ไม่ว่าข้อมูลเดิมจะมีหน่วยอะไร ข้อมูลต่างวิชาหรือต่างหน่วยจึงมาอยู่บนไม้บรรทัดเดียวกันได้

คะแนนมาตรฐานคำนวณได้โดยไม่จำเป็นต้องแจกแจงปกติ แต่การแปลงเป็นความน่าจะเป็นด้วยตารางปกติต้องมีสมมติฐานเพิ่มตามบทที่ 50

ตัวอย่าง 5

คะแนน 7575 ในวิชาที่เฉลี่ย 6060 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1010 ได้คะแนนมาตรฐานเท่าไร

  1. z=(75−60)/10=1.5z=(75-60)/10=1.5
  2. จึงอยู่เหนือค่าเฉลี่ยหนึ่งจุดห้าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ยังไม่ได้บอกเปอร์เซ็นไทล์โดยไม่รู้การแจกแจง

ลองคิดก่อน

ได้ z=1z=1 แปลว่าอยู่เปอร์เซ็นไทล์ที่หนึ่งหรือไม่

ดูคำตอบ

ไม่ใช่ หนึ่งคือระยะหนึ่งส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเหนือค่าเฉลี่ย เปอร์เซ็นไทล์ต้องอาศัยรูปร่างการแจกแจงหรือข้อมูลลำดับสะสม

เทียบคะแนนสองวิชาด้วยคะแนนมาตรฐาน

ตัวอย่าง 6

ปลายภาคนี้ฝนได้คณิตศาสตร์ 7272 คะแนน ซึ่งห้องเฉลี่ย 6060 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 88 และได้ภาษาอังกฤษ 8080 คะแนน ซึ่งห้องเฉลี่ย 7474 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 66 ฝนทำวิชาใดได้ดีกว่าเมื่อเทียบกับเพื่อนในห้อง

  1. คะแนนดิบภาษาอังกฤษสูงกว่า แต่ข้อสอบสองวิชายากง่ายไม่เท่ากัน จึงต้องเทียบแต่ละวิชากับเพื่อนในวิชานั้นก่อน
  2. คณิตศาสตร์ z=72−608=1.5z=\tfrac{72-60}{8}=1.5 คือสูงกว่าค่าเฉลี่ยหนึ่งจุดห้าเท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
  3. ภาษาอังกฤษ z=80−746=1z=\tfrac{80-74}{6}=1 สูงกว่าค่าเฉลี่ยหนึ่งเท่าของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
  4. ฝนทำคณิตศาสตร์ได้ดีกว่าเมื่อเทียบกับห้อง แม้คะแนนดิบจะน้อยกว่า เพราะห้องทำคณิตศาสตร์ได้น้อยกว่าโดยรวม การได้ 1212 คะแนนเหนือค่าเฉลี่ยในวิชานี้จึงโดดเด่นกว่า 66 คะแนนเหนือค่าเฉลี่ยในวิชาที่ทุกคนได้ใกล้ๆ กัน

เมื่อต้องรวมคะแนนหลายวิชาเพื่อจัดอันดับ เช่นคัดตัวแทนไปแข่งขัน การบวกคะแนนดิบทำให้วิชาที่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานใหญ่มีน้ำหนักมากเกินไป เพราะในวิชานั้นคะแนนห่างกันได้มาก ผลรวมคะแนนมาตรฐานให้ทุกวิชามีน้ำหนักเท่ากัน

ตัวอย่าง 7

วิชาคณิตศาสตร์มีค่าเฉลี่ย 5555 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1212 วิชาภาษาอังกฤษมีค่าเฉลี่ย 7070 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 55 ต้นได้คณิตศาสตร์ 7979 ภาษาอังกฤษ 7272 ส่วนเมย์ได้คณิตศาสตร์ 6161 ภาษาอังกฤษ 8080 ถ้าคัดคนที่มีผลรวมคะแนนมาตรฐานสูงกว่า ควรเลือกใคร

  1. ผลรวมคะแนนดิบ ต้นได้ 79+72=15179+72=151 เมย์ได้ 61+80=14161+80=141 ถ้าดูแค่นี้ต้นนำ 1010 คะแนน
  2. คะแนนมาตรฐานของต้น คณิตศาสตร์ 79−5512=2\tfrac{79-55}{12}=2 ภาษาอังกฤษ 72−705=0.4\tfrac{72-70}{5}=0.4 รวม 2.42.4
  3. คะแนนมาตรฐานของเมย์ คณิตศาสตร์ 61−5512=0.5\tfrac{61-55}{12}=0.5 ภาษาอังกฤษ 80−705=2\tfrac{80-70}{5}=2 รวม 2.52.5
  4. เมย์มีผลรวมคะแนนมาตรฐานสูงกว่า จึงควรเลือกเมย์ ต้นได้เปรียบในคะแนนดิบเพราะคณิตศาสตร์มีส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานใหญ่ คะแนนที่ห่างจากค่าเฉลี่ยมากจึงพาผลรวมขึ้นไปได้มาก ส่วนภาษาอังกฤษที่ทุกคนได้ใกล้กัน การนำเพื่อน 1010 คะแนนถือว่าเก่งมากแล้ว

คะแนนมาตรฐานยังเป็นประตูไปสู่บทที่ 50 เมื่อข้อมูลมีรูปร่างแบบโค้งระฆัง ค่า zz จะบอกได้ว่ามีคนประมาณร้อยละเท่าไรอยู่ต่ำกว่าคะแนนนั้น ซึ่งเชื่อมวิธีวัดตำแหน่งสองแบบในหน้านี้เข้าด้วยกัน

สรุป

  • เรียงข้อมูลก่อนหาตำแหน่ง
  • บอกวิธีคำนวณควอร์ไทล์และการแทรกค่า เดไซล์และเปอร์เซ็นไทล์ใช้หลักเดียวกัน
  • ค่าที่น้อยกว่า Q1−1.5 IQRQ_1-1.5\,\text{IQR} หรือมากกว่า Q3+1.5 IQRQ_3+1.5\,\text{IQR} เป็นค่าผิดปกติ วาดเป็นจุดแยกและต้องตรวจสอบ ไม่ใช่ลบทิ้ง
  • คะแนนมาตรฐานวัดระยะสัมพัทธ์ ไม่ใช่ร้อยละโดยตรง
  • เทียบหรือรวมคะแนนต่างวิชาด้วยคะแนนมาตรฐาน ไม่ใช่คะแนนดิบ