descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 17 ความเท่ากันทุกประการตรงกับหนังสือ ม.2 เล่ม 2 บทที่ 2

17.2 รูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ

ช่างเชื่อมเหล็กต้องทำโครงหลังคารูปสามเหลี่ยม 2020 ชิ้นให้เหมือนกันทุกชิ้น ถ้าต้องวัดด้านสามด้านกับมุมสามมุมทุกชิ้น ก็ต้องวัดถึง 120120 ครั้ง ช่างไม่ทำอย่างนั้น เขาตัดเหล็กสองเส้นให้ยาวตามแบบ วางบนแท่นที่ล็อกมุมระหว่างสองเส้นไว้ แล้วเชื่อมเหล็กเส้นที่สามปิดปลาย ทุกชิ้นออกมาเหมือนกันเอง หน้านี้อธิบายว่าทำไมวิธีนี้ได้ผล

ครบหกคู่คือเท่ากันทุกประการ

นิยาม

รูปสามเหลี่ยมสองรูปเท่ากันทุกประการ เมื่อจับคู่จุดยอดได้ โดยด้านคู่ที่สมนัยกันยาวเท่ากันทั้งสามคู่ และมุมคู่ที่สมนัยกันมีขนาดเท่ากันทั้งสามคู่

นิยามนี้ตรงกับการทับกันสนิทในหน้า 17.1 เพราะถ้าด้านและมุมเท่ากันครบทุกคู่ ยกรูปหนึ่งไปวางบนอีกรูปก็ทับกันพอดี

ข่าวดีคือไม่ต้องตรวจครบทั้งหกคู่ ย้อนไปที่บทที่ 2 หน้า 2.5 เมื่อรู้ด้านสองด้านกับมุมในระหว่าง ทุกคนสร้างรูปสามเหลี่ยมแล้วได้รูปเดียวกัน อาจหันคนละทางแต่ทับกันได้ แปลว่าข้อมูลสามอย่างนี้กำหนดรูปสามเหลี่ยมไว้ทั้งรูปแล้ว ด้านที่สามกับมุมอีกสองมุมไม่มีทางเป็นค่าอื่นได้

เงื่อนไข ด้าน มุม ด้าน

ด้าน มุม ด้าน (ด.ม.ด.)

ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีด้านยาวเท่ากันสองคู่ และมุมในระหว่างด้านคู่ที่ยาวเท่ากันนั้นมีขนาดเท่ากัน แล้วรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเท่ากันทุกประการ

ABCDEF
AB = DE มุม A เท่ากับมุม D และ AC = DF จึงได้ ABC กับ DEF เท่ากันทุกประการแบบ ด.ม.ด.

ในรูปใช้เครื่องหมายแบบที่หนังสือใช้ ขีดบนด้านที่มีจำนวนเท่ากันบอกว่าด้านยาวเท่ากัน และส่วนโค้งที่มุมที่มีจำนวนเท่ากันบอกว่ามุมมีขนาดเท่ากัน

ทำไมจึงทับกันสนิท ลองนึกภาพยก △DEF\triangle DEF ไปวางให้ DD ทับ AA และให้ DEDE วางตามแนว ABAB

  1. DE=ABDE = AB จุด EE จึงทับ BB พอดี
  2. D^=A^\hat{D} = \hat{A} แขน DFDF จึงวางตามแนว ACAC ถ้าแขนชี้ไปอีกฝั่งก็พลิกรูปก่อน
  3. DF=ACDF = AC จุด FF จึงทับ CC พอดี
  4. จุดยอดทับกันครบสามจุด ด้าน EFEF กับ BCBC ก็ทับกันเอง รูปทั้งสองจึงทับกันสนิท

คำว่ามุมในระหว่างสำคัญที่สุดในเงื่อนไขนี้ มันคือมุมที่ด้านสองด้านนั้นมาพบกัน วิธีหาเร็วคือดูชื่อด้าน ด้าน ABAB กับด้าน ACAC มีตัวอักษรร่วมคือ AA มุมในระหว่างจึงเป็นมุมที่จุดยอด AA คือ BA^CB\hat{A}C

ตัวอย่าง 1

△ABC\triangle ABC มี AB=5AB = 5 เซนติเมตร BC=7BC = 7 เซนติเมตร และ B^=40∘\hat{B} = 40^\circ วัด ACAC ได้ประมาณ 4.54.5 เซนติเมตร และวัด C^\hat{C} ได้ประมาณ 45∘45^\circ ส่วน △PQR\triangle PQR มี PQ=5PQ = 5 เซนติเมตร QR=7QR = 7 เซนติเมตร และ Q^=40∘\hat{Q} = 40^\circ จงบอกว่ารูปสามเหลี่ยมสองรูปนี้เท่ากันทุกประการหรือไม่ แล้วหาความยาวของ PRPR และขนาดของ P^\hat{P}

  1. ด้าน ABAB กับ BCBC มีตัวอักษรร่วมคือ BB มุมในระหว่างคือ B^\hat{B} ส่วนด้าน PQPQ กับ QRQR มีตัวอักษรร่วมคือ QQ มุมในระหว่างคือ Q^\hat{Q}
  2. AB=PQ=5AB = PQ = 5 B^=Q^=40∘\hat{B} = \hat{Q} = 40^\circ และ BC=QR=7BC = QR = 7 ครบ ด้าน มุม ด้าน จึงได้ △ABC≅△PQR\triangle ABC \cong \triangle PQR (ด.ม.ด.) โดย AA BB CC สมนัยกับ PP QQ RR
  3. PRPR สมนัยกับ ACAC จึงยาวประมาณ 4.54.5 เซนติเมตร และ R^\hat{R} สมนัยกับ C^\hat{C} จึงมีขนาดประมาณ 45∘45^\circ
  4. P^=180∘−40∘−45∘=95∘\hat{P} = 180^\circ - 40^\circ - 45^\circ = 95^\circ โดยประมาณ ซึ่งเท่ากับ A^\hat{A} ตามที่ควรเป็น

ตัวอย่างนี้ไม่ต้องสร้างรูป △PQR\triangle PQR เลย ก็รู้ความยาวของด้านที่สามและขนาดของมุมที่เหลือ เพราะรู้แล้วว่ามันเท่ากันทุกประการกับรูปที่วัดไว้แล้ว

ด้านร่วม

รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่อยู่ติดกันมักใช้ด้านบางด้านร่วมกัน ด้านนั้นยาวเท่ากับตัวเองเสมอ จึงนับเป็นด้านคู่หนึ่งที่ยาวเท่ากันได้เลย เรียกว่าด้านร่วม

ตัวอย่าง 2

ในรูป BA=BCBA = BC และ AB^D=CB^DA\hat{B}D = C\hat{B}D ถ้า BA=10BA = 10 เซนติเมตร BD=12BD = 12 เซนติเมตร และ AD=7AD = 7 เซนติเมตร จงหาความยาวรอบรูปของ △CBD\triangle CBD

ABCD10712
รูปสามเหลี่ยม ABD กับ CBD ใช้ด้าน BD ร่วมกัน
  1. BA=BCBA = BC เพราะโจทย์กำหนดให้
  2. AB^D=CB^DA\hat{B}D = C\hat{B}D เพราะโจทย์กำหนดให้ มุมนี้อยู่ระหว่าง BABA กับ BDBD และระหว่าง BCBC กับ BDBD พอดี
  3. BD=BDBD = BD เพราะเป็นด้านร่วม
  4. ครบ ด้าน มุม ด้าน จึงได้ △ABD≅△CBD\triangle ABD \cong \triangle CBD (ด.ม.ด.) โดย AA สมนัยกับ CC
  5. CDCD สมนัยกับ ADAD จึงได้ CD=7CD = 7 เซนติเมตร
  6. ความยาวรอบรูปของ △CBD\triangle CBD คือ BC+BD+CD=10+12+7=29BC + BD + CD = 10 + 12 + 7 = 29 เซนติเมตร

ลองคิดก่อน

△ABC\triangle ABC กับ △DEF\triangle DEF มี AB=DEAB = DE BC=EFBC = EF และ A^=D^\hat{A} = \hat{D} เพื่อนสรุปว่าเท่ากันทุกประการแบบ ด.ม.ด. เพราะมีด้านสองคู่กับมุมหนึ่งคู่ครบแล้ว สรุปแบบนี้ได้ไหม

ดูคำตอบ

ไม่ได้ ด้าน ABAB กับ BCBC มีตัวอักษรร่วมคือ BB มุมในระหว่างจึงเป็น B^\hat{B} ไม่ใช่ A^\hat{A} ข้อมูลชุดนี้คือ ด้าน ด้าน มุม ที่มุมไม่ได้อยู่ระหว่างสองด้าน ซึ่งไม่รับประกันว่ารูปจะเท่ากันทุกประการ หน้า 17.4 จะวาดรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่ตรงตามข้อมูลแบบนี้ทุกข้อ แต่หน้าตาต่างกันชัดเจน

สรุป

  • รูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการมีด้านยาวเท่ากันสามคู่ และมุมขนาดเท่ากันสามคู่
  • ไม่ต้องตรวจครบหกคู่ ด้านสองคู่กับมุมในระหว่างหนึ่งคู่ก็พอ เรียกว่า ด.ม.ด.
  • มุมในระหว่างอยู่ที่จุดยอดซึ่งเป็นตัวอักษรร่วมของชื่อด้านทั้งสอง
  • ด้านที่รูปสองรูปใช้ร่วมกันเรียกว่าด้านร่วม นับเป็นด้านคู่ที่ยาวเท่ากันได้ทันที