10.3 บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ช่างก่อสร้างจะวางผังห้องให้มุมห้องเป็นมุมฉาก แต่ไม้ฉากในมือยาวแค่คืบเดียว ใช้วัดผนังยาวหลายเมตรไม่แม่น ช่างบางคนใช้เชือกเส้นเดียวแทน ทำเครื่องหมายแบ่งเชือกเป็น 12 ช่วงเท่าๆ กัน แล้วดึงเชือกให้ตึงเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว 3 ช่วง 4 ช่วง และ 5 ช่วง มุมระหว่างด้าน 3 ช่วงกับ 4 ช่วงจะเป็นมุมฉากพอดี

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในหน้า 10.1 บอกว่าถ้ามีมุมฉาก ด้านจะสัมพันธ์กันแบบ $c^2 = a^2 + b^2$ แต่เรื่องเชือกของช่างใช้ทางกลับกัน คือรู้ด้านก่อน แล้วสรุปว่ามีมุมฉาก หน้านี้จะดูว่าการสรุปทางกลับแบบนี้ทำได้จริงหรือเปล่า

บทกลับคืออะไร

ข้อความแบบ "ถ้า ... แล้ว ..." มีสองส่วน ส่วนหลัง "ถ้า" คือเหตุ ส่วนหลัง "แล้ว" คือผล สลับเหตุกับผลจะได้ข้อความใหม่ เรียกว่าบทกลับ (converse) ของข้อความเดิม

	ข้อความ
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส	ถ้ารูปสามเหลี่ยมมีมุม $C$ เป็นมุมฉาก แล้ว $c^2 = a^2 + b^2$
บทกลับ	ถ้ารูปสามเหลี่ยมมี $c^2 = a^2 + b^2$ แล้วมุม $C$ เป็นมุมฉาก

ข้อความที่จริง บทกลับของมันไม่จำเป็นต้องจริงด้วย เช่น "ถ้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส แล้วมีด้านสี่ด้าน" จริง แต่บทกลับ "ถ้ามีด้านสี่ด้าน แล้วเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส" ไม่จริง เพราะรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าก็มีสี่ด้าน บทกลับจึงต้องมีเหตุผลของมันเอง ซึ่งโชคดีที่บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นจริง

บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ถ้ารูปสามเหลี่ยมมีด้านยาว $a$ $b$ และ $c$ หน่วย และ $c^2 = a^2 + b^2$ แล้วรูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมีมุมฉากอยู่ตรงข้ามด้านที่ยาว $c$

ดูเหตุผล

สร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากอีกรูปหนึ่ง ให้ด้านประกอบมุมฉากยาว $a$ และ $b$ เท่ากับรูปเดิม
ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปใหม่ยกกำลังสองได้ $a^2 + b^2$ ซึ่งเท่ากับ $c^2$ ด้านนั้นจึงยาว $c$
รูปเดิมกับรูปใหม่มีด้านยาวเท่ากันทั้งสามคู่ รูปสามเหลี่ยมที่ด้านยาวเท่ากันทั้งสามคู่ต้องมีรูปร่างเดียวกัน มุมจึงเท่ากันทุกมุม (เรื่องนี้คือความเท่ากันทุกประการแบบ ด.ด.ด. ในบทที่ 17)
รูปใหม่มีมุมฉากตรงข้ามด้าน $c$ รูปเดิมจึงมีมุมฉากตรงข้ามด้าน $c$ ด้วย

ลองดูบทกลับด้วยตาตัวเอง กราฟข้างล่างให้ $AB$ ยาว 5 หน่วยคงที่ ลากจุด $C$ ไปตามจุดตัดของเส้นตาราง แล้วดูว่า $a^2 + b^2$ เท่ากับ $c^2 = 25$ เมื่อไร

หาตำแหน่งของ $C$ ที่ทำให้ $a^2 + b^2 = 25$ พอดี มีกี่ตำแหน่ง ตอนนั้นมุม $C$ วัดได้กี่องศา

บนกราฟนี้มีสองตำแหน่งคือ $C$ ที่ $(1, 2)$ และ $(4, 2)$ ถ้า $C$ อยู่ที่ $(1, 2)$ จะได้ $b^2 = 1 + 4 = 5$ และ $a^2 = 16 + 4 = 20$ รวมได้ $25$ พอดี ทั้งที่ $a$ กับ $b$ ไม่ใช่จำนวนเต็ม บทกลับใช้กับความยาวทุกแบบ ไม่จำเป็นต้องเป็นชุดตัวเลขพีทาโกรัส

ตรวจว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่

ถ้ามีมุมฉาก มุมฉากต้องอยู่ตรงข้ามด้านที่ยาวที่สุด จึงตรวจแค่แบบเดียวพอ

หาด้านที่ยาวที่สุด แล้วยกกำลังสอง
ยกกำลังสองอีกสองด้านแล้วบวกกัน
ถ้าเท่ากัน เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ถ้าไม่เท่ากัน ไม่เป็น

ตัวอย่าง 1

รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาวต่อไปนี้ รูปใดเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

(1) $9, 40, 41$ (2) $6, 7, 9$ (3) $1.5, 2, 2.5$

ด้านยาวที่สุดคือ $41$ ได้ $41^2 = 1{,}681$ และ $9^2 + 40^2 = 81 + 1{,}600 = 1{,}681$ เท่ากัน จึงเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ด้านยาวที่สุดคือ $9$ ได้ $9^2 = 81$ แต่ $6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85$ ไม่เท่ากัน จึงไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ด้านยาวที่สุดคือ $2.5$ ได้ $2.5^2 = 6.25$ และ $1.5^2 + 2^2 = 2.25 + 4 = 6.25$ เท่ากัน จึงเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สังเกตว่าชุดนี้คือ $3, 4, 5$ หารด้วย $2$

ตัวอย่าง 2

กลับไปที่เชือกของช่างต้นหน้า ทำไมเชือก 12 ช่วงที่ดึงเป็นด้าน 3 ช่วง 4 ช่วง และ 5 ช่วง จึงได้มุมฉาก และมุมฉากอยู่ตรงไหน

ด้านยาวที่สุดคือ 5 ช่วง ได้ $5^2 = 25$ และ $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ เท่ากัน
ตามบทกลับ รูปนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มุมฉากอยู่ตรงข้ามด้าน 5 ช่วง คือมุมที่ด้าน 3 ช่วงกับด้าน 4 ช่วงมาบรรจบกัน
ช่างจึงวางมุมนั้นไว้ที่มุมห้อง ถ้าห้องใหญ่ ใช้ช่วงละ 1 เมตร ได้เชือกยาว 12 เมตร มุมก็ยังเป็นมุมฉาก เพราะ $3, 4, 5$ คูณจำนวนใดก็ยังเป็นชุดตัวเลขพีทาโกรัส

มุมฉากอยู่ที่ไหน

รู้แล้วว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มุมฉากอยู่ตรงข้ามด้านที่ยาวที่สุด ใช้วิธีเดียวกับตัวอย่างที่ 1 ของหน้า 10.1 คือหามุมที่ชื่อไม่อยู่ในชื่อของด้านนั้น

ตัวอย่าง 3

รูปสามเหลี่ยม $PQR$ มี $PQ = 15$ $QR = 20$ และ $PR = 25$ เซนติเมตร มุมใดเป็นมุมฉาก

ด้านยาวที่สุดคือ $PR = 25$ ได้ $25^2 = 625$
$PQ^2 + QR^2 = 225 + 400 = 625$ เท่ากัน จึงเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
ด้าน $PR$ ไม่มีตัว $Q$ มุมฉากจึงอยู่ที่มุม $Q$

ลองคิดก่อน

เพื่อนตรวจรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว $5$ $13$ และ $12$ โดยคิดว่า $5^2 + 13^2 = 194$ ไม่เท่ากับ $12^2 = 144$ จึงสรุปว่าไม่เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เพื่อนสรุปถูกไหม

ดูคำตอบ

ไม่ถูก เพื่อนเอาด้านตามลำดับที่โจทย์เขียน ตัวสุดท้ายไม่จำเป็นต้องยาวที่สุด ด้านที่ยาวที่สุดคือ $13$ ต้องตรวจ $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ เท่ากัน จึงเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และมุมฉากอยู่ตรงข้ามด้านยาว $13$

ถ้าไม่เท่ากัน

ในกราฟข้างบนจะเห็นว่าเมื่อ $a^2 + b^2$ มากกว่า $c^2$ มุม $C$ เล็กกว่ามุมฉาก และเมื่อ $a^2 + b^2$ น้อยกว่า $c^2$ มุม $C$ ใหญ่กว่ามุมฉาก ใช้ดูคร่าวๆ ได้ว่ารูปสามเหลี่ยมเกือบเป็นมุมฉากแค่ไหน แต่ถ้าโจทย์ถามว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่ ใช้แค่เท่ากันหรือไม่เท่ากันก็พอ

สรุป

บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ถ้า $c^2 = a^2 + b^2$ แล้วรูปสามเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีมุมฉากตรงข้ามด้าน $c$
ตรวจด้วยด้านที่ยาวที่สุดเท่านั้น เทียบกำลังสองของมันกับผลบวกกำลังสองของอีกสองด้าน
มุมฉากอยู่ตรงข้ามด้านที่ยาวที่สุด
บทกลับของข้อความที่จริงไม่จำเป็นต้องจริงเสมอ บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัสจริงเพราะมีเหตุผลรองรับ