26.2 แผนภาพกล่อง

แผนภาพจุดในบทที่ 16 แสดงข้อมูลทุกตัว เหมาะกับข้อมูลไม่กี่สิบตัว แต่ถ้าเป็นส่วนสูงของนักเรียนทั้งโรงเรียน 900 คน จุดจะกองกันจนอ่านไม่ออก หน้านี้จะย่อข้อมูลทั้งชุดเหลือแค่ห้าค่า แล้ววาดเป็นรูปที่เล็กแต่ยังบอกได้ว่าข้อมูลอยู่ตรงไหนและกระจายแค่ไหน

ค่าห้าค่าและแผนภาพกล่อง

นิยาม

แผนภาพกล่อง (box plot) คือแผนภาพที่สร้างจากค่าห้าค่าของข้อมูล คือ ค่าต่ำสุด $Q_1$ $Q_2$ $Q_3$ และค่าสูงสุด วาดเหนือเส้นจำนวนที่มีสเกลสม่ำเสมอ ประกอบด้วย

กล่อง รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ด้านซ้ายอยู่ที่ $Q_1$ ด้านขวาอยู่ที่ $Q_3$
เส้นตั้งในกล่อง ที่ตำแหน่ง $Q_2$ หรือมัธยฐาน
เส้นสองเส้นที่ยื่นออกจากกล่อง เส้นซ้ายจาก $Q_1$ ไปถึงค่าต่ำสุด เส้นขวาจาก $Q_3$ ไปถึงค่าสูงสุด

ตัวอย่าง 1

สร้างแผนภาพกล่องของคะแนนสอบย่อย 11 คนจากหน้า 26.1 คือ 9 10 11 12 13 14 14 15 16 17 18

หาค่าห้าค่า ค่าต่ำสุดคือ 9 ค่าสูงสุดคือ 18 และจากตัวอย่าง 1 หน้า 26.1 ได้ $Q_1 = 11$ $Q_2 = 14$ $Q_3 = 16$
วาดเส้นจำนวนที่ครอบคลุม 9 ถึง 18 แบ่งช่องห่างเท่ากันทีละ 1 คะแนน ในรูปข้างล่างเริ่มที่ 8 และจบที่ 20 เพื่อให้มีที่ว่างสองข้าง
วาดกล่องเหนือเส้นจำนวน ด้านซ้ายตรงกับ 11 ด้านขวาตรงกับ 16
ขีดเส้นตั้งในกล่องตรงกับ 14
ลากเส้นจากด้านซ้ายของกล่องไปถึง 9 และจากด้านขวาของกล่องไปถึง 18 มีขีดสั้นๆ ที่ปลายเส้นทั้งสองข้าง

รูปข้างล่างวาดแผนภาพกล่องไว้เหนือแผนภาพจุดของข้อมูลชุดเดียวกัน เส้นประลากจากกล่องลงมาให้เห็นว่าควอร์ไทล์แต่ละตัวตรงกับข้อมูลตัวไหน

แผนภาพกล่องของคะแนนสอบย่อย 11 คน วาดเหนือแผนภาพจุดของข้อมูลชุดเดียวกัน

แต่ละส่วนมีข้อมูลประมาณหนึ่งในสี่

ห้าค่าแบ่งแผนภาพกล่องออกเป็นสี่ส่วน คือเส้นซ้าย ครึ่งซ้ายของกล่อง ครึ่งขวาของกล่อง และเส้นขวา เพราะควอร์ไทล์แบ่งข้อมูลเป็นสี่ส่วนที่มีจำนวนเท่าๆ กัน แต่ละส่วนจึงมีข้อมูลประมาณหนึ่งในสี่ หรือร้อยละ 25 ของทั้งหมด

ในรูปข้างบน นับจุดที่อยู่ระหว่างเส้นประได้ส่วนละ 2 จุด ตรงกับรูปช่องสิบเอ็ดช่องในหน้า 26.1 จุดที่ทับเส้นประพอดีคือตัวควอร์ไทล์เอง

ลองลากจุดในแผนภาพจุดข้างล่าง แผนภาพกล่องข้างบนจะเปลี่ยนตามทันที

ลองทำสามอย่าง (1) ลากจุดที่ 18 ไปที่ 20 แล้วดูว่ากล่องขยับไหม (2) ลากจุดที่ 9 กับ 10 ไปไว้ที่ 13 ทั้งคู่ แล้วดูว่า $Q_1$ เปลี่ยนเป็นเท่าไร (3) ทำให้กล่องแคบที่สุดเท่าที่ทำได้ โดยค่าต่ำสุดกับค่าสูงสุดยังอยู่ที่เดิม

ข้อ (1) ทำให้เห็นสิ่งสำคัญ คะแนนสูงสุดเปลี่ยนจาก 18 เป็น 20 มีแค่เส้นขวาที่ยาวขึ้น กล่องไม่ขยับเลย เพราะ $Q_1$ $Q_2$ $Q_3$ ขึ้นกับลำดับของข้อมูล ไม่ได้ขึ้นกับว่าค่าที่สูงที่สุดสูงแค่ไหน

เมื่อข้อมูลมีค่าที่อยู่ห่างจากกลุ่ม

ตัวอย่าง 2

สร้างแผนภาพกล่องของเงินค่าขนมวันละ 40 45 50 50 55 60 65 70 80 100 บาท จากตัวอย่าง 2 หน้า 26.1 แล้วบอกว่าทำไมเส้นขวาจึงยาวกว่าเส้นซ้ายมาก

ค่าห้าค่าคือ ค่าต่ำสุด 40 $Q_1 = 48.75$ $Q_2 = 57.5$ $Q_3 = 72.5$ และค่าสูงสุด 100 บาท
ข้อมูลอยู่ระหว่าง 40 ถึง 100 วาดเส้นจำนวนตั้งแต่ 35 ถึง 105 ขีดทุก 5 บาท เขียนตัวเลขทุก 10 บาท
วาดกล่องจาก 48.75 ถึง 72.5 ขีดเส้นตั้งที่ 57.5 แล้วลากเส้นไปถึง 40 และ 100
เส้นซ้ายยาว $48.75 - 40 = 8.75$ บาท เส้นขวายาว $100 - 72.5 = 27.5$ บาท ยาวกว่ากันมากเพราะมีเพื่อนคนหนึ่งได้ 100 บาท ห่างจากคนอื่นในกลุ่มบนซึ่งได้ 70 และ 80 บาท

เงินค่าขนมต่อวันของนักเรียน 10 คน (บาท) ตัวเลขเหนือรูปคือค่าห้าค่า

เส้นขวาที่ยาวไม่ได้แปลว่ามีคนได้ค่าขนมช่วง 72.5 ถึง 100 บาทหลายคน ส่วนนี้ยังมีข้อมูลประมาณหนึ่งในสี่เท่ากับส่วนอื่น แต่ข้อมูลในส่วนนี้อยู่ห่างกันมาก หน้า 26.3 จะอ่านความยาวของแต่ละส่วนให้ละเอียดขึ้น

ลองคิดก่อน

เพื่อนวาดแผนภาพกล่องของค่าขนมชุดนี้ โดยเขียนแค่ห้าค่า 40 48.75 57.5 72.5 100 ไว้ใต้รูป วางห่างกันเท่าๆ กันทุกค่า ได้กล่องที่ซ้ายขวาสมดุลสวยงาม รูปของเพื่อนผิดตรงไหน

ดูคำตอบ

แผนภาพกล่องต้องวาดบนเส้นจำนวนที่มีสเกลสม่ำเสมอ ระยะบนรูปต้องตรงกับผลต่างของค่าจริง 72.5 ถึง 100 ห่างกัน 27.5 บาท แต่ 40 ถึง 48.75 ห่างกันแค่ 8.75 บาท เส้นขวาจึงต้องยาวกว่าเส้นซ้ายราวสามเท่า พอวางห่างเท่ากันหมด รูปจะบอกว่าข้อมูลกระจายสองข้างพอๆ กัน ซึ่งไม่จริง ข้อมูลสำคัญที่ว่ามีคนหนึ่งได้ค่าขนมสูงกว่ากลุ่มมากก็หายไปด้วย เป็นความผิดพลาดแบบเดียวกับการตัดค่าที่ไม่มีข้อมูลออกจากแผนภาพจุดในบทที่ 16

สรุป

แผนภาพกล่องสร้างจากห้าค่า ค่าต่ำสุด $Q_1$ $Q_2$ $Q_3$ ค่าสูงสุด
กล่องอยู่จาก $Q_1$ ถึง $Q_3$ มีเส้นตั้งที่ $Q_2$ เส้นสองข้างยื่นไปถึงค่าต่ำสุดและค่าสูงสุด
ต้องวาดบนเส้นจำนวนที่มีสเกลสม่ำเสมอ ระยะบนรูปจึงมีความหมาย
แต่ละส่วนในสี่ส่วนมีข้อมูลประมาณร้อยละ 25 ส่วนที่ยาวไม่ได้มีข้อมูลมากกว่า
ค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุดเปลี่ยน กล่องไม่จำเป็นต้องเปลี่ยน