descartesclytie0x/descartes-math-platform
บทที่ 35 เลขยกกำลังตรงกับหนังสือ พื้นฐาน ม.5 บทที่ 1พื้นฐาน

35.2 การจัดรูปนิพจน์ที่มีราก

ช่างไม้ตัดแผ่นไม้อัดเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสพื้นที่ 7272 ตารางเซนติเมตร ด้านยาว 72\sqrt{72} เซนติเมตร เครื่องคิดเลขบอกว่าประมาณ 8.4858.485 แต่ตัวเลขนี้ยาวไม่จบและคำนวณต่อด้วยมือลำบาก ถ้าเขียนแทนเป็น 626\sqrt{2} จะเห็นทันทีว่าด้านนี้ยาวเป็น 66 เท่าของเส้นทแยงมุมของจัตุรัสด้าน 11 เซนติเมตร (จากทฤษฎีบทพีทาโกรัสในบทที่ 10) และถ้าต้องบวกกับด้านยาว 8=22\sqrt{8} = 2\sqrt{2} ก็ได้ 828\sqrt{2} ทันที

หน้านี้รวบรวมเครื่องมือจัดรูปนิพจน์ที่มีราก ทั้งคูณ หาร ถอดตัวประกอบออกจากราก บวกลบ และทำส่วนให้ไม่มีราก

คูณและหารรากอันดับเดียวกัน

ลองคำนวณสองแบบ 4×9=2×3=6\sqrt{4} \times \sqrt{9} = 2 \times 3 = 6 และ 4×9=36=6\sqrt{4 \times 9} = \sqrt{36} = 6 ได้เท่ากัน ไม่ใช่เรื่องบังเอิญ ถ้ายกกำลังสอง ab\sqrt{a}\sqrt{b} จะได้ (a)2(b)2=ab(\sqrt{a})^2(\sqrt{b})^2 = ab ตามสมบัติ (xy)n=xnyn(xy)^n = x^n y^n ในบทที่ 14 แปลว่า ab\sqrt{a}\sqrt{b} เป็นจำนวนที่ยกกำลังสองได้ abab และไม่ติดลบ จึงเป็นรากหลักของ abab พอดี เหตุผลเดียวกันใช้กับอันดับ nn ใดก็ได้

สมบัติ

ให้ nn เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 11 ถ้า nn เป็นคู่ให้ a≥0a \ge 0 และ b≥0b \ge 0 ถ้า nn เป็นคี่ aa และ bb เป็นจำนวนจริงใดก็ได้

  • abn=an bn\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b}
  • abn=anbn\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} เมื่อ b≠0b \ne 0

การแยก ab=ab\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b ในจำนวนจริงต้องใช้ a,b≥0a,b\ge0 การแยกตัวติดลบอาจทำให้นิพจน์ใหม่ไม่มีความหมาย แม้ผลคูณเดิมเป็นบวกก็ตาม เช่น (−4)(−9)=36=6\sqrt{(-4)(-9)} = \sqrt{36} = 6 มีค่า แต่ −4\sqrt{-4} กับ −9\sqrt{-9} ไม่มีค่าในจำนวนจริง

สมบัตินี้ใช้กับรากอันดับเดียวกันเท่านั้น 2×23\sqrt{2} \times \sqrt[3]{2} รวมเป็นรากเดียวด้วยวิธีนี้ไม่ได้ หน้าถัดไปจะมีเครื่องมือสำหรับกรณีนั้น

ตัวอย่าง 1

หาค่าของ 50 2\sqrt{50}\,\sqrt{2} 43 163\sqrt[3]{4}\,\sqrt[3]{16} และ 753\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}}

  1. 50\sqrt{50} กับ 2\sqrt{2} แยกกันไม่ใช่จำนวนเต็ม แต่ผลคูณข้างใน 50×2=10050 \times 2 = 100 เป็นกำลังสองสมบูรณ์ จึงรวมก่อน 50 2=100=10\sqrt{50}\,\sqrt{2} = \sqrt{100} = 10
  2. อันดับสามเหมือนกัน รวมเป็น 4×163=643\sqrt[3]{4 \times 16} = \sqrt[3]{64} และ 43=644^3 = 64 จึงได้ 44
  3. การหารก็รวมได้แบบเดียวกัน 753=753=25=5\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\dfrac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5
  4. ทั้งสามข้อใช้หลักเดียวกัน ถ้าแต่ละรากหาค่าไม่ได้ ให้ลองรวมเป็นรากเดียวแล้วดูว่าข้างในเป็นกำลังสมบูรณ์หรือไม่

ถอดรากด้วยตัวประกอบกำลังสมบูรณ์

ถ้าจำนวนในรากไม่ใช่กำลังสมบูรณ์ทั้งหมด อาจมีส่วนหนึ่งที่ถอดออกได้ เลือกตัวประกอบที่เป็นกำลังตามอันดับรากแล้วคงส่วนที่เหลือไว้ วิธีนี้คือใช้สมบัติการคูณจากหัวข้อที่แล้วในทิศกลับ คือแยกรากเดียวเป็นผลคูณของสองราก โดยให้รากหนึ่งถอดได้ลงตัว

วิธีหาตัวประกอบที่ถอดได้ซึ่งไม่ต้องเดา คือแยกตัวประกอบเฉพาะ แล้วจับกลุ่มตัวที่ซ้ำกันกลุ่มละ nn ตัวตามอันดับราก กลุ่มที่ครบออกมานอกรากได้ตัวเดียว ตัวที่ไม่ครบกลุ่มอยู่ในรากต่อ

ตัวอย่าง 2

จัดรูป 72\sqrt{72} และ 543\sqrt[3]{54}

  1. แยกตัวประกอบ 72=2×2×2×3×372 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 รากที่สองจับคู่ได้ (2×2)(2 \times 2) กับ (3×3)(3 \times 3) เหลือ 22 หนึ่งตัว ส่วนที่ถอดได้คือ 2×3=62 \times 3 = 6 แปลว่า 72=36(2)72=36(2) และทั้งสองตัวไม่ติดลบ จึงได้ 72=62\sqrt{72}=6\sqrt2
  2. 54=2×3×3×354 = 2 \times 3 \times 3 \times 3 รากที่สามต้องจับกลุ่มละสามตัว ได้ (3×3×3)(3 \times 3 \times 3) หนึ่งกลุ่ม เหลือ 22 นั่นคือ 54=27(2)54=27(2) จึงได้ 543=323\sqrt[3]{54}=3\sqrt[3]2
  3. ตรวจด้วยยกกำลังกลับ (62)2=36×2=72(6\sqrt2)^2=36 \times 2 = 72 และ (323)3=27×2=54(3\sqrt[3]2)^3=27 \times 2 = 54

เลือกกำลังสมบูรณ์ที่ใหญ่ช่วยให้จัดรูปครั้งเดียวจบ ถ้าแยก 72=4(18)72=4(18) จะได้ 2182\sqrt{18} ซึ่งยังถอดรากต่อได้ คำตอบควรไม่มีตัวประกอบกำลังสมบูรณ์ซ่อนอยู่ในราก

รูปข้างล่างแสดงว่าทำไม 8=22\sqrt{8} = 2\sqrt{2} บนกระดาษจุด จัตุรัสเอียงทางซ้ายมีพื้นที่ 22 ตารางหน่วย ด้านจึงยาว 2\sqrt{2} จัตุรัสเอียงทางขวามีพื้นที่ 88 ตารางหน่วย ด้านยาว 8\sqrt{8} และแต่ละด้านผ่านจุดบนตารางพอดีตรงกลาง แบ่งเป็นสองท่อนที่ยาวท่อนละ 2\sqrt{2}

2√28√2√2
ด้านของจัตุรัสพื้นที่ 8 ยาวเท่ากับด้านของจัตุรัสพื้นที่ 2 สองท่อนต่อกัน

บวกและลบราก

32+523\sqrt{2} + 5\sqrt{2} คิดได้แบบเดียวกับ 3x+5x=8x3x + 5x = 8x ในบทที่ 15 คือมองว่า 2\sqrt{2} เป็นของหนึ่งชิ้น สามชิ้นรวมห้าชิ้นได้แปดชิ้น จึงได้ 828\sqrt{2} เรียกพจน์ที่มีรากตัวเดียวกันว่าพจน์คล้าย ส่วน 2+3\sqrt{2} + \sqrt{3} เป็นพจน์ไม่คล้าย เหมือน x+yx + y ที่รวมเป็นพจน์เดียวไม่ได้

ปัญหาคือพจน์คล้ายมักซ่อนอยู่ 50\sqrt{50} กับ 8\sqrt{8} ดูไม่เหมือนกัน แต่จัดรูปแล้วเป็น 525\sqrt{2} กับ 222\sqrt{2} จึงต้องถอดตัวประกอบออกจากรากทุกพจน์ก่อน แล้วค่อยรวม

ตัวอย่าง 3

ทำให้เป็นรูปอย่างง่าย (1) 50+18−8\sqrt{50} + \sqrt{18} - \sqrt{8} (2) 212−27+32\sqrt{12} - \sqrt{27} + \sqrt{3}

  1. ข้อ (1) ทุกพจน์มีตัวประกอบ 22 เหลืออยู่ ลองหากำลังสองสมบูรณ์ที่ใหญ่ที่สุด 50=25(2)50 = 25(2) 18=9(2)18 = 9(2) 8=4(2)8 = 4(2) ได้ 52+32−225\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 2\sqrt{2}
  2. ตอนนี้เป็นพจน์คล้ายทั้งหมด รวมสัมประสิทธิ์ 5+3−2=65 + 3 - 2 = 6 ได้ 626\sqrt{2}
  3. ข้อ (2) 12=4(3)12 = 4(3) จึงได้ 212=2×23=432\sqrt{12} = 2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} อย่าลืมคูณ 22 ที่อยู่หน้ารากเดิมด้วย และ 27=9(3)27 = 9(3) ได้ 27=33\sqrt{27} = 3\sqrt{3}
  4. รวม 43−33+3=(4−3+1)3=234\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + \sqrt{3} = (4 - 3 + 1)\sqrt{3} = 2\sqrt{3}

ลองคิดก่อน

เพื่อนเขียน 2+8=10\sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{10} และ 9+16=3+4=7\sqrt{9 + 16} = 3 + 4 = 7 ผิดตรงไหน

ดูคำตอบ

สมบัติของรากใช้กับการคูณและการหาร ไม่ใช้กับการบวก ข้อแรกจัดรูปก่อน 8=22\sqrt{8} = 2\sqrt{2} ได้ 2+22=32\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2} ซึ่งประมาณ 4.244.24 ส่วน 10\sqrt{10} ประมาณ 3.163.16 ต่างกันชัดเจน ดูจากรูปก็ได้ ด้าน 2\sqrt{2} ต่อกับด้าน 8\sqrt{8} ได้ความยาวสามท่อน

ข้อที่สองต้องบวกในรากก่อน 9+16=25=5\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ไม่ใช่ 77 ถ้าคิดเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากด้าน 33 กับ 44 ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 55 ซึ่งสั้นกว่าทางอ้อม 3+43 + 4

ทำส่วนให้ไม่มีราก

ถ้าคำตอบเป็น 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} การหาค่าด้วยมือต้องหาร 11 ด้วย 1.41421…1.41421\ldots ซึ่งยาก แต่ 22\dfrac{\sqrt{2}}{2} ซึ่งเท่ากัน หาค่าได้ง่ายเพราะเอา 1.414211.41421 หารสองได้ประมาณ 0.70710.7071 อีกเหตุผลคือคำตอบแบบเดียวกันจะเขียนออกมาหน้าตาเดียวกัน เทียบกันง่าย จึงนิยมเขียนผลลัพธ์ให้ส่วนไม่มีราก

เครื่องมือคือคูณด้วยเศษส่วนที่มีค่าเท่ากับ 11 เช่น 22\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} ค่าของนิพจน์จึงไม่เปลี่ยน แต่ส่วนกลายเป็น 2 2=2\sqrt{2}\,\sqrt{2} = 2 ถ้าส่วนเป็นแบบ a−b\sqrt{a} - b ให้คูณด้วย a+b\sqrt{a} + b ทั้งเศษและส่วน เพราะผลต่างกำลังสองในบทที่ 20 ให้ (a−b)(a+b)=a−b2(\sqrt{a} - b)(\sqrt{a} + b) = a - b^2 ซึ่งไม่มีรากเหลือ

ตัวอย่าง 4

เขียน 63\dfrac{6}{\sqrt{3}} และ 45−1\dfrac{4}{\sqrt{5} - 1} ให้ส่วนไม่มีราก

  1. ข้อแรก คูณทั้งเศษและส่วนด้วย 3\sqrt{3} ได้ 633 3=633\dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}\,\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} ส่วนเป็น 33 เพราะ (3)2=3(\sqrt{3})^2 = 3
  2. ตัด 66 กับ 33 ได้ 232\sqrt{3} ตรวจด้วยการประมาณ 61.732≈3.46\dfrac{6}{1.732} \approx 3.46 และ 2×1.732≈3.462 \times 1.732 \approx 3.46 ตรงกัน
  3. ข้อที่สอง ส่วนเป็น 5−1\sqrt{5} - 1 ถ้าคูณด้วย 5\sqrt{5} อย่างเดียว ส่วนจะเป็น 5−55 - \sqrt{5} ยังมีรากเหลือ จึงคูณด้วย 5+1\sqrt{5} + 1 แทน
  4. ส่วนกลายเป็น (5)2−12=5−1=4(\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4 เศษเป็น 4(5+1)4(\sqrt{5} + 1) ตัด 44 ได้ 5+1\sqrt{5} + 1

ลองคิดก่อน

เพื่อนทำ 63\dfrac{6}{\sqrt{3}} โดยคูณ 3\sqrt{3} ที่ส่วนอย่างเดียว ได้ 63=2\dfrac{6}{3} = 2 ผิดตรงไหน

ดูคำตอบ

คูณที่ส่วนอย่างเดียวคือการหารนิพจน์ด้วย 3\sqrt{3} อีกรอบ ค่าจึงเปลี่ยน ตรวจด้วยตัวเลข 63≈3.46\dfrac{6}{\sqrt{3}} \approx 3.46 ไม่ใช่ 22 ต้องคูณทั้งเศษและส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน ซึ่งเท่ากับคูณด้วย 11 คำตอบที่ถูกคือ 232\sqrt{3}

สรุป

  • คูณหรือหารรากอันดับเดียวกัน รวมเป็นรากเดียวได้ ถ้าอันดับคู่ต้องตรวจว่าตัวในรากไม่ติดลบก่อน
  • ถอดตัวประกอบกำลังสมบูรณ์ที่ใหญ่ที่สุดออกจากราก ใช้การแยกตัวประกอบเฉพาะช่วยหา
  • บวกลบได้เฉพาะพจน์คล้าย จัดรูปทุกพจน์ก่อนรวม และ a+b\sqrt{a + b} ไม่เท่ากับ a+b\sqrt{a} + \sqrt{b}
  • ทำส่วนให้ไม่มีรากด้วยการคูณทั้งเศษและส่วน ถ้าส่วนเป็น a−b\sqrt{a} - b ใช้ a+b\sqrt{a} + b

สมบัติในหน้านี้ต้องใช้รากอันดับเดียวกัน หน้าถัดไปจะเขียนรากเป็นเลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นเศษส่วน ทำให้คูณ 2\sqrt{2} กับ 23\sqrt[3]{2} หรือถอดรากซ้อนรากได้ด้วยกฎของเลขยกกำลังที่รู้จักแล้ว